92
Issue 14(49), Volume 1 | ISSN 3030-377X | 15.06.2025
SCIENCE SHINE
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISHDA VEKTORLARNING
TADBIQI
Xudoyqulov Rustamjon
O‘ktam
o‘g‘li
GulDU matematika kafedra
o‘qituvchisi
Jangibayev Ilhom Usmonqul
o‘g‘li
GulDU matematika kafedra
o‘qituvchisi
Annotatsiya.
Ushbu ishda algebraik tenglama va tengsizliklarni yechishda
vektorlar nazariyasining
qo‘llanilishi
yoritilgan. Dastlab vektorlar, ularning xossalari,
ustida bajariladigan amallar hamda koordinatalar orqali ifodalanishi haqida nazariy
ma’lumotlar
beriladi.
So‘ngra
vektorlar yordamida tenglama va tengsizliklarni
geometrik va algebraik usullar bilan yechish metodikasi
ko‘rib
chiqiladi. Ishning
amaliy qismida turli darajadagi tenglama va tengsizliklarga vektorlar vositasida
yechim topish
bo‘yicha
mashqlar keltirilgan.
Kalit
so‘zlar:
vektor, vektorning moduli, tenglama, algebraik tenglama va
tengsizlik, skalyar
ko‘paytma,
koordinatalar, geometrik usul, geometrik tasvir,
vektorlar tadbiqi, analitik usul.
Vektorlar geometriya va algebrani
bog‘lovchi
ko‘prikdir.
Ular yordamida
geometrik masalalarni yechish ham, algebraik masalalarni yechish ham mumkin.
Lekin
ta’lim
jarayonini mukammallashtirishda masalalarni yechish uchun vektor
algebrasining keng imkoniyatlaridan yetarlicha foydalanilmayapti.
Vektorlar algebrani geometriyalashtirish va geometriyani algebralashtirish,
soddaroq qilib aytganda, algebrani geometriyaga va geometriyani algebraga
“aylantirish”
imkonini beradi.
Bundan
tashqari vektorlar
axborotlarni
“ixchamlashtirish”ga
va uni
ko‘rsatmali
qilishga imkon beradi va shu bilan birga,
isbotlarni qidirib topishni osonlashtiradi.
Ikki vektorning skalyar
ko‘paytmasi
tushunchasi maktab kursida 8-sinfda
kiritilib, natijasi vektor
bo‘lmay
balki son
bo‘lishi
va
ko‘pgina
xossalari sonlar
ustidagi amallarni bajarishdagi xossalarga
o‘xshashini
ta’kidlash
lozim. Shu bilan
birga vektorlarni skalyar
ko‘paytirishning
o‘ziga
xos xossalari talabalarga alohida
uqtiriladi.
93
Issue 14(49), Volume 1 | ISSN 3030-377X | 15.06.2025
SCIENCE SHINE
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
Ikki vektorning skalyar
ko‘paytmasi
tushunchasi kiritilib, uning asosiy xossalari
ko‘rilgandan
keyin, geometrik masalalar bilan bir qatorda algebraik masalalarni
yeshishga keng imkoniyatlar ochiladi.
Algebrani
“geometriyalashtirish”
da vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi
va uning
xossalari, shuningdek koordinatalarda yozilgan vektorning moduldagi ifodasi katta
rol
o‘ynaydi.
Bu qanday amalga oshiriladi?
Ma’lumki,
( , )
a x y
vektorning moduli
2
2
a
x
y
=
+
formula
bo‘yicha
hisoblanadi. Lekin bu tenglikni teskari tartibda ham
qo‘llash
mumkin:
2
2
x
y
a
+
=
, bundan
2
2
x
y
+
ko‘rinishdagi
istalgan ifoda aniq geometrik
ma’noga
ega ekanligi kelib chiqadi, umuman, vektorlar haqida gapirish bu qandaydir
vektorning moduli haqida gapirish demakdir. Shuningdek, ikkita
1
2
( , )
a x y
va
2
2
( , )
b x y
vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi
(
)
1
2
1
2
a b
x x
y y
=
+
formula
bo‘yicha
hissoblanadi. Bu tenglikni
o‘ngdan
chapga qarab
o‘qib,
1
2
1
2
x x
y y
a b
+
=
ga ega
bo‘lamiz.
Bundan kelib chiqadiki,
1
2
1
2
x x
y y
+
ko‘rinishdagi
istalgan ifodani c va
2
2
( , )
b x y
vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi
deb qarashimiz mumkin. Xuddi shu
holatni ayrim algebraik tenglamalarni va tengsizliklarda yechish bilan namoyish
etamiz.
1-Masala.
Agar
1
a b c
+ + =
bo‘lsa,
4
1
4
1
4
1
21
a
b
c
+ +
+ +
+
tengsizlikni isbotlang.
Yechish:
(1;1;1)
x
va
( 4
1; 4
1; 4
1)
y
a
b
c
+
+
+
vektorni
ko‘rib
chiqamiz, u
holda
2
2
2
1
1
1
3
x
=
+ +
=
va
(
) (
) (
)
2
2
2
4
1
4
1
4
1
y
a
b
c
=
+
+
+
+
+
=
(
)
4
1 4
1 4
1
4
3
4 1 3
7
a
b
c
a b c
=
+ +
+ +
+ =
+ +
+ =
+ =
a b
a b
tengsizlikga
ko‘ra
4
1
4
1
4
1
7
3
21
a
b
c
+ +
+ +
+ =
=
Bunda tenglik
1
3
a b c
= = =
bo‘lgandagina
o‘rinli
bo‘ladi.
2- Masala.
Agar
1
x y z
+ + =
bo‘lsa
2
2
2
1
3
x
y
z
+
+
ekanligini isbotlang.
94
Issue 14(49), Volume 1 | ISSN 3030-377X | 15.06.2025
SCIENCE SHINE
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
Yechish:
( , , )
a x y z
va
(1,1,1)
b
vektorlarni qaraymiz. Ularning skalyar
ko‘paytmasi
a b
x y z
= + +
hamda
2
2
2
2
a
x
y
z
=
+
+
va
2
3.
b
=
Ammo
( )
2
2
,
a b
a
b
.
Shuning uchun
(
)
2
2
2
1 3
x
y
z
+
+
, bundan esa
(
)
2
2
2
1
3
x
y
z
+
+
kelib chiqadi.
Tenglik
1
3
x y z
= = =
da bajariladi.
3-Masala.
Agar
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1
bo‘lsa,
u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang.
√7𝑎 + 1 + √7𝑏 + 1 + √7𝑐 + 1 ≤ √30
Yechish:
Aytaylik ildiz ostidagi ifoda nomanfiy
bo‘lsin,
quyidagi ikki vektorni
qaraymiz:
𝑝⃗(1; 1; 1)
va
𝑞⃗(√7𝑎 + 1; √7𝑏 + 1; √7𝑐 + 1)
bo‘lsin.
𝑝⃗
va
𝑞⃗
vektorlar
uchun
(𝑝⃗ ∙ 𝑞⃗)
2
≤ 𝑝⃗
2
∙ 𝑞⃗
2
o‘rinli.
Bundan
(√7𝑎 + 1 + √7𝑏 + 1 + √7𝑐 + 1)
2
≤ (1 + 1 + 1)(7𝑎 + 1 + 7𝑏 + 1 + 7𝑐 + 1)
= 3(7(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 3) = 3 ∙ 10 = 30
yoki
√7𝑎 + 1 + √7𝑏 + 1 + √7𝑐 + 1 ≤ √30
ekanligi kelib chiqadi.
4- Masala.
Agar
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ ⋯ + 𝑥
𝑛
= 𝑠𝑖𝑛𝜑
va
𝑦
1
+ 𝑦
2
+ ⋯ + 𝑦
𝑛
= 𝑐𝑜𝑠𝜑
bo‘lsa,
u holda quyidagi tengsizlikni isbotlang.
√𝑥
1
2
+ 𝑦
1
2
+ √𝑥
2
2
+ 𝑦
2
2
+ ⋯ + √𝑥
𝑛
2
+ 𝑦
𝑛
2
≥ 1
Yechish:
Koordinatalari
𝑎⃗
1
(𝑥
1
; 𝑦
1
), 𝑎⃗
2
(𝑥
2
; 𝑦
2
), … , 𝑎⃗
𝑛
(𝑥
𝑛
; 𝑦
𝑛
)
bo‘lgan
vektorlar berilgan
bo‘lsin,
u holda
|𝑎⃗
1
| = √𝑥
1
2
+ 𝑦
1
2
, |𝑎⃗
2
| = √𝑥
2
2
+ 𝑦
2
2
, … , |𝑎⃗
𝑛
| = √𝑥
𝑛
2
+ 𝑦
𝑛
2
bo‘ladi.
Quyidagi vektorni olamiz.
𝑎⃗ = 𝑎⃗
1
+ 𝑎⃗
2
+ ⋯ + 𝑎⃗
𝑛
bundan
𝑎⃗(𝑥
1
+ 𝑥
2
+ ⋯ + 𝑥
𝑛
; 𝑦
1
+ 𝑦
2
+ ⋯ + 𝑦
𝑛
) ⇒ |𝑎⃗| = √𝑠𝑖𝑛
2
𝜑 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝜑 = 1
Bizga
ma’lumki,
|𝑎⃗
1
| + |𝑎⃗
2
| + ⋯ + |𝑎⃗
𝑛
| ≥ |𝑎⃗
1
+ 𝑎⃗
2
+ ⋯ + 𝑎⃗
𝑛
| = |𝑎⃗|
tengsizlik
o‘rinli.
Bu tengsizlikdan esa
95
Issue 14(49), Volume 1 | ISSN 3030-377X | 15.06.2025
SCIENCE SHINE
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
√𝑥
1
2
+ 𝑦
1
2
+ √𝑥
2
2
+ 𝑦
2
2
+ ⋯ + √𝑥
𝑛
2
+ 𝑦
𝑛
2
≥ 1
ekanligi kelib chiqadi.
5- Masala.
Ushbu tenglamani yeching.
2
1
3
2
1
x
x
x
x
+ +
− =
+
.
Yechish:
( ,1)
a x
va
(
)
1
, 3
b
x
x
+
−
vektorlarni
ko‘rib
chiqamiz. U holda
berilgan tenglamani
a b
a b
=
ko‘rinishda
yozish mumkin, chunki
|𝑎⃗| = √𝑥
2
+ 1
2
1
a
x
=
+
va
2.
b
=
Tenglik
a
va
b
vektorlarning koordinatalari faqat proporsional
bo‘lgandagina
bajariladi.
0
x
=
berilgan tenglamaning ildizi
bo‘lmaganligi
sababli proporsionallik
sharti
1
3
x
x
x
+
=
−
ko‘rinishda
yozish mumkin, bu yerdan
3
2
3
1 0
x
x
x
−
+ + =
(
0)
x
yoki
2
(
1)(
2
1) 0
x
x
x
−
−
− =
ga ega
bo‘lamiz.
Shuning uchun berilgan
tenglamaning ildizlari
1
1
x
=
va
2
1
2
x
= +
bo‘ladi.
Ko‘pchilik
o‘quvchilar
bunday
ko‘rinishdagi
tenglamalarni
“sof”
algebraik
yo‘l
bilan yechishga harakat qiladilar va bu jarayon uzundan-uzoq
bo‘ladi.
Afsuski,ular
chet ildizlar paydo
bo‘lishi
sabablarini
ko‘rsatishda
turli-tuman xatoliklarga
yo‘l
qo‘yadilar.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
H. Norjigitov, A.X. Nuraliyev
“
Matematikadan olimpiada
masalalari”
Toshkent 2020.
2.
Sh. Ismailov, A.
Qo‘chqorov,
B. Abdurahmonov. Tengsizliklar-I.
Isbotlashning klassik usullari / Toshkent, 2008 y.
3.
Sh. Ismailov, O. Ibrogimov. Tengsizliklar-II. Isbotlashning zamonaviy
usullari / Toshkent, 2008 y.
4.
M Dosanov, F Narbayev, R Xudoyqulov,
“
Chiziqli fazolar qism
fazolarining to
‘g
‘ri
yig
‘indisi
va uning
xossalari”,
Fan, ta'lim, madaniyat va
innovatsiya 3 (4), 107-115.
