International Conference
“
Science of the 21st century: society and digitalization
”
Conference Proceedings. Scope Academic House, January 30, 2021, Sheffield, UK.
82
ON PROBLEM FOR A THIRD-ORDER EQUATION WITH MULTIPLE
CHARACTERISTICS
Kurbanov O. T.
1
Settiev Sh.R.
2
1
Kurbanov Odiljon Tukhtamuradovich., associate professor
Department of «Digital
Economics and Mathematical Disciplines»
, Plekhanov Russian University of
Economics, Tashkent Branch (Uzbekistan)
2
Settiev
Shamsuddin Rajabovich, associate professor Department of «Digital
Economics and Mathematical Disciplines», Plekhanov Russian Universit
y of
Economics, Tashkent Branch (Uzbekistan)
The regular solvability is investigated of the problem for a third-order equation with
multiple characteristics. The existence and uniqueness theorems for regular solutions
are proved by the method of regularization and energy integrals.
Key words: boundary problems, Airy function, Volterra II type equation, integral
equation.
Найти в области
0
,
0
);
,
(
=
t
х
t
х
D
ограниченное решение уравнения
xxx
t
u
u
=
(1)
удовлетворяюшее условиям
(
)
0
),
(
0
,
=
x
x
x
u
(2)
0
,
0
)
(
,
)
(
)
,
(
)
(
0
=
t
t
x
t
dx
t
x
u
t
x
(3)
где
),
(
t
x
)
(
)
(
x
u
t
известные непрерывные фукции своих
аргументов в интервале
)
+
;
0
, такие что
=
)
0
(
0
)
(
)
0
(
x
dx
x
(4)
Из
-
за
линейности уравнения, достаточно изучитъ случай, когда
0
)
(
=
x
.
I. Сушествование решения
1.Эквивалентное интегралъное уравнение
Предположим, что
задача (1)
-
(3) имеет решение
).
,
(
t
x
u
Пустъ
)
(
)
,
0
(
t
t
u
=
.
Так как
)
,
(
t
x
u
непрерывное и ограниченное решение уравнения (1) ,
удовлетворяющее условию (2)
-
(3), то его можно представить в виде:
International Conference
“
Science of the 21st century: society and digitalization
”
Conference Proceedings. Scope Academic House, January 30, 2021, Sheffield, UK.
83
(
)
( )
d
x
r
t
x
U
t
x
u
t
−
−
=
0
,
)
,
(
(5)
где
(
)
(
)
3
/
1
1
,
−
=
−
t
t
x
U
−
3
/
1
)
(
t
x
f
,
t
(6)
( )
(
)
d
t
t
f
−
=
3
cos
-
функция Эйри.
Следователъно
−
=
)
(
0
0
)
(
t
x
t
t
x
t
x
U
−
)
,
(
dx
d
)
(
Меняя порядок интегрерования, имеем
=
)
(
t
(
)
−
−
−
t
t
t
x
U
t
U
0
)
),
(
(
,
0
[
d
)
(
(7)
Теорема 1
.
Если сушествует и единственное непрерывное решение
)
(
t
уравнения (7)
с условием
,
0
)
0
(
=
то существует и единственное решение задачи (1) –
(3).
Доказательство.
Предположим, что задача (1) –
(3) имеет единственное решение
)
,
(
t
x
u
и
кроме того пусть (7) имеет непрерывное решение
)
(
t
удовлетворяющее
условию
)
0
(
=0. Следовательно,
)
(
t
единственно. Если не так, тогда
существует решения
)
(
1
t
и
)
(
2
t
уравнения (7), такие что
)
(
1
t
).
(
2
t
Множество
=
)
,
(
t
x
u
i
−
−
t
x
t
x
U
0
)
,
(
,
)
(
d
i
2
,
1
=
i
(8)
является решением (1) –
(2). Из (8) и
)
(
)
(
2
1
t
t
имеем что
)
,
(
)
,
(
2
1
t
x
u
t
x
u
которое
противоречит предположению единственности
решения задачи (1)
- (3).
Пусть теперь (7) имеет единственное непрерывное решение
)
(
t
с
условием
0
)
0
(
=
. Из этого предположения следует, что
)
,
(
t
x
u
определяемое
формулой (5) является решением (1)
-
(3). Следовательно,
(
)
t
x
u
,
единственно.
Исследуем существование и единственности решение (7).
Пусть
International Conference
“
Science of the 21st century: society and digitalization
”
Conference Proceedings. Scope Academic House, January 30, 2021, Sheffield, UK.
84
1
)
(
C
t
)
;
0
и
0
)
0
(
=
(a)
)
;
0
)
(
1
C
t
x
,
x
( )
t
,
0
t
0
(б)
Предположим, что (7) имеет непрерывное решение
)
(
t
с условием
.
0
)
0
(
=
Покажем, что
)
(
t
удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра II
рода. Из этого следует существование, единственность и устойчивость решения
(7).
Из (7) имеем
t
f
0
)
0
(
( )
( )
+
=
−
t
t
d
t
0
3
( ( )
) ( )
d
t
t
t
x
U
−
;
1
(10)
Умножив обе части уравнения (10) на
3
/
2
)
(
1
t
z
−
и проинтегрировав по
t
от 0 до
z
, далее меняя порядок интегрирования и дифференцируя по
z
имеем
2
3
)
0
(
f
dz
d
z
=
)
(
( )
( )
(
) ( )
(
)
−
−
+
0
3
/
2
0
,
t
z
dt
d
t
t
x
U
t
t
,
t
z
(11)
или
+
−
=
z
dt
t
z
t
dz
d
f
z
0
3
/
2
)
(
)
(
)
0
(
2
3
)
(
−
z
dt
t
z
t
F
dz
d
f
0
3
/
2
,
)
(
)
(
)
0
(
2
3
𝑧 > 0
(12)
Исследуем правую частъ (12)
)
(
)
(
)
(
)
0
(
2
3
)
(
)
(
)
0
(
2
3
0
0
3
/
2
/
3
/
2
z
Q
dt
t
z
t
f
dt
t
z
t
dz
d
f
z
z
=
−
=
−
(13)
)
−
=
t
d
t
t
x
U
t
F
0
)
(
),
(
(
)
(
(14)
Так как
)
;
0
)
(
1
C
t
x
для
,
0
,
0
)
(
t
t
x
следует что
)
;
0
)
(
1
C
t
F
с условием
0
)
0
(
=
F
.
Следователъно
−
=
t
d
t
t
x
U
dt
d
t
F
0
/
)
(
)
),
(
(
)
(
и
−
=
−
z
z
dt
t
z
t
F
f
dt
t
z
t
F
dz
d
f
0
0
3
/
1
/
3
/
2
)
(
)
(
)
0
(
2
3
)
(
)
(
)
0
(
2
3
(15)
Поэтому
International Conference
“
Science of the 21st century: society and digitalization
”
Conference Proceedings. Scope Academic House, January 30, 2021, Sheffield, UK.
85
3
/
1
0
0
)
(
)
(
)
),
(
(
)
0
(
2
3
)
(
)
(
t
z
dt
d
t
t
t
x
U
f
z
Q
z
z
t
−
−
+
=
Меняя порядок интегриравание,
имеем
−
−
+
=
z
z
d
f
t
z
dt
t
t
t
x
U
f
z
Q
z
0
3
/
1
)
(
)
(
);
(
(
)
0
(
2
3
)
(
)
(
,
или
+
=
z
d
f
z
K
z
Q
z
0
)
(
)
;
(
)
(
)
(
(16)
Таким образом, любое решение (7) должно удовлетворяют уравнению (16).
Так как Q(z) непрерывная функция с условием
0
)
0
(
=
Q
и можно показать, что
)
;
(
z
K
функция со слабой особенностью для 𝑧 > 𝜏, следует что (16) имеет
единственное непрерывное решение
)
(
z
удовлетворяющее условию
0
)
0
(
=
.
Это найденное решение
)
(
t
и является решением уравнения (7).
Теорема 2
Если
)
;
0
)
(
1
C
t
и
0
)
0
(
=
,
(17)
)
;
0
)
(
1
C
t
x
,
0
)
(
t
x
0
t
тогда (7) имеет единственное непрерывное решение
)
(
z
для всех
0
z
,
такое что
.
0
)
0
(
=
Кроме того,
)
(
z
определяется уравнением (16).
Теорема 3
Если имеет место условия (17), тогда задача (1)
-
(3) имеет единственное
решение.
References
1.
L.Cattabriga. Un problem al contorno per una equazione parabolica di ordin
dispari. Amali della Souola Normale Superiore di Pisa a Matematicha. Seria III. Vol
XIII.Fasc.II. 1959.
–
P.163-203.
2. J.R. Cannon. The solution of heat equation subject to the specification of energy,
Rice University, Houston,
Texas. Vol. XXI, №2, 1963.
- P.155-160.
