24
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Journal home page:
https://inscience.uz/index.php/socinov/index
Integration method of teaching definite integrals in
economics
Sherdor AKHMEDOV
1
Andijan machine-building institute
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Article history:
Received March 2023
Received in revised form
15 April 2023
Accepted 25 April 2023
Available online
15 May 2023
This article describes the integration method of teaching the
subject
“
Definite Integrals
”
in the economic areas of higher
educational institutions, sets the task of calculating cash flows
coming into any sector of the economy with a certain integral,
and also explains mathematical concepts using economic terms.
The problem gives and consolidates the mathematical and
economic definition of the flows of money coming into various
sectors of the economy.
2181-
1415/©
2023 in Science LLC.
https://doi.org/10.47689/2181-1415-vol4-iss3/S-pp320-324
This is an open access article under the Attribution 4.0 International
(CC BY 4.0) license (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)
Keywords:
Riemann sum,
partial intervals,
cash flows,
external and internal
resources,
integral.
Iqtisodiy
yo‘nalishlarga
aniq integral mavzusini
o‘qitishda
integratsion metod
ANNOTATSIYA
Kalit
so‘zlar
:
Riman
yig‘indisi,
qismiy intervallar,
pul oqimlari,
tashqi va ichki resurslar,
integral.
Mazkur maqolada oliy
o‘quv
yurtlarining iqtisodiy
yo‘nalishlarida
“Aniq
integrallar”
mavzusini
o‘rgatishda
integratsion usul bayon qilinib, iqtisodiyotning istalgan
sektorlariga kirib keluvchi pul oqimlarini aniq integral bilan
hisoblash masalasi
qo‘yilgan
hamda matematik tushunchalarni
iqtisodiy atamalar yordamida yoritilgan. Iqtisodiyotning turli
sektorlariga kirib keyotgan pul oqimi uchun matematik-
iqtisodiy
ta’rif
berilgan va masala orqali mustahkamlangan.
1
Researcher, Andijan Machine-building Institute.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
03 (2023) / ISSN 2181-1415
321
Интеграционный
метод
преподавания
определенных
интегралов
в
экономике
АННОТАЦИЯ
Ключевые
слова:
Сумма
Римана,
частные
интервалы,
денежные
потоки,
внешние
и
внутренние
ресурсы,
интеграл.
В
данной
статье
описывается
интеграционный
метод
преподавания
предмета
«Определенные
интегралы»
по
экономическим
направлениям
высших
учебных
заведений,
ставится
задача
расчета
денежных
потоков,
поступающих
в
любые
отрасли
экономики
с
определенным
интегралом,
а
также
математические
понятия
объясняется
с
помощью
экономических
терминов.
В
задаче
дается
и
закрепляется
математико
-
экономическое
определение
потоков
денег,
поступающих
в
различные
отрасли
экономики.
KIRISH
Ta
’
limning barcha bosqichlarida matematika fanini o
‘
qitish tizimini yanada
takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo
‘
llab-quvvatlash, ilmiy-tadqiqot
ishlarining ko
‘
lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat
bilan aloqalarni mustahkamlash, shuningdek, 2017
–
2021-yillarda O
‘
zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo
‘
nalishi bo
‘
yicha Harakatlar
strategiyasini
“
Ilm, ma
’
rifat va raqamli iqtisodiyotni rivojlantirish yili
”
da amalga
oshirishga oid davlat dasturida belgilangan vazifalar ijrosini ta
’
minlash maqsadida
maktabgacha, umumiy o
‘
rta, o
‘
rta maxsus, professional, oliy ta
’
lim tashkilotlari va ilmiy
muassasalar o
‘
rtasidagi yaqin hamkorlikni ta
’
minlovchi yaxlit tizimni shakllantirish
masalasi ham o
‘
rtaga tashlandi. Qo
‘
yilgan vazifalar oliy ta
’
lim sohalarida ham zamonaviy
pedagogik texnologiyalarni keng joriy qilish va yangi milliy pedagogik texnologiyalarni
yaratishni taqozo qilmoqda [1].
Oliy ta
’
lim muassasalarida matematika fanini o
‘
qitishda iqtisodiyot sohalariga
moslab darslarni tashkil etish odatiy dars uslublariga qaraganda talabalarda katta
qiziqish uyg
‘
otadi. Odatda aniq integralning amaliyotda qo
‘
llanilishi asosan turli xil
shakllarning yuzalarini hisoblash, jism hajmini topish masalalari va fizikaning boshqa bir
qator sohalariga qaratilgan bo
‘
lib, iqtisodiy sohalardagi tatbiqlari haqida kamroq to
‘
xtalib
o
‘
tiladi [2].
Quyida oliy o
‘
quv yurtlarining iqtisodiy yo
‘
nalishlarida o
‘
quv reja bo
‘
yicha
“
Aniq
integral
”
mavzusiga oid odatiy dars ma
’
ruzasini ko
‘
rib chiqamiz (bunda mavzu to
‘
la
yoritilmagan holda, asosiy ta
’
rif va teoremalarni ko
‘
rib o
‘
tganmiz).
MAVZUGA OID ADABIYOTLAR TAHLILI
[𝑎; 𝑏]
segmentda
𝑦 = 𝑓(𝑥)
uzluksiz funksiya berilgan bo
‘
lsin.
1.
[𝑎; 𝑏]
segmentni
𝑎 = 𝑥
0
, 𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
= 𝑏
nuqtalar bilan
𝑛
ta
bo‘lakka
bo‘lamiz:
𝑎 = 𝑥
0
< 𝑥
1
< 𝑥
2
< ⋯ < 𝑥
𝑛
= 𝑏
.
Ular qismiy intervallar deyiladi.
2. Qismiy intervallar uzunliklarini
∆ 𝑥
1
= 𝑥
1
− 𝑥
0
, ∆ 𝑥
2
= 𝑥
2
− 𝑥
1
, … , ∆ 𝑥
𝑛
= 𝑥
𝑛
− 𝑥
𝑛−1
bilan belgilaymiz.
𝜉
1
, 𝜉
2
, … , 𝜉
𝑛
.
4. Tanlangan nuqtalarda berilgan funksiyaning qiymatini hisoblaymiz:
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
03 (2023) / ISSN 2181-1415
322
𝑓 (𝜉
1
), 𝑓 (𝜉
2
), … , 𝑓 (𝜉
𝑛
).
5. Funksiyaning hisoblangan qiymatlarini mos qismiy intervallar uzunliklariga
ko‘paytmasini
tuzamiz:
𝑓 (𝜉
1
) ∙ ∆ 𝑥
1
, 𝑓 (𝜉
2
) ∙ ∆ 𝑥
2
, … , 𝑓 (𝜉
𝑛
) ∙ ∆ 𝑥
𝑛
.
Hosil
bo‘lgan
ko‘paytmalarini
qo‘shamiz
va
𝜃
bilan belgilaymiz:
𝜃 = 𝑓 (𝜉
1
) ∆ 𝑥
1
+ 𝑓 (𝜉
2
) ∆ 𝑥
2
+ … + 𝑓 (𝜉
𝑛
) ∆ 𝑥
𝑛
(1)
𝜃
yig‘indi
𝑓(𝑥)
funksiyaning
[𝑎; 𝑏]
segmentdagi integral
yig‘indisi
yoki
Riman
yig‘indisi
deyiladi va qisqacha bunday yoziladi:
𝜃 = ∑ 𝑓(𝜉
𝑖
) ∙ ∆ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
Integral
yig‘indi
bo‘linishlar
usuli
𝑛
ga va tanlab olinadigan nuqtalar
𝜉
𝑖
(𝑖 = 1, 𝑛)
ga
bog‘liq
𝜃 = 𝜃(𝑛; 𝜉
𝑖
)
.
Bo‘linishlar
soni
𝑛
ni ortira borish hisobiga
(𝑛 → ∞)
eng katta qismiy
intervalning uzunligi nolga intiladi,
ya’ni
𝑚𝑎𝑥∆𝑥
𝑖
→ 0.
1-
ta’rif.
Agar
𝜃
integral
yig‘indi
[𝑎; 𝑏]
segmentni qismiy intervallarga ajratish
usuliga va ularning har biridan
𝜉
𝑖
(𝑖 = 1, 𝑛)
nuqtalarni tanlash usuliga
bog‘liq
bo‘lmay
hamma vaqt yagona
𝐼
songa intilsa, u holda shu son
[𝑎; 𝑏]
segmentda
𝑓(𝑥)
funksiyadan
olingan aniq integral deyiladi va
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥)
𝑏
𝑎
kabi belgilanadi.
Aniq integral
ta’rifi
va belgilashga asosan:
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥) =
𝑏
𝑎
lim
max ∆ 𝑥
𝑖
→0
∑ 𝑓(𝜉
𝑖
)∆ 𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
.
Teorema 1.
Agar
𝑦 = 𝑓(𝑥)
funksiya
[𝑎; 𝑏]
segmentda uzluksiz
bo‘lsa,
u
integrallanuvchidir,
ya’ni
bunday funksiyaning aniq integrali mavjuddir.[3]
TADQIQOT METODOLOGIYASI
Ushbu maqolada tizimlashtirish, qiyosiylik, statistik va integratsion tadqiqot
usullaridan foydalanilgan.
TAHLIL VA NATIJALAR
Yuqoridagi
ma’lumotlardan
ko‘rinib
turibdiki, bu yerda deyarli iqtisodiy
tushunchalar tilga olinmagan holda mavzu qisqacha bayon etilgan. Iqtisodiy
sektorlardagi kadrlar muammosi bizdan mavzularni integratsion metodlar yordamida
olib borishni talab qilmoqda. Bunday metodlar bilan dars olib borish matematika va
iqtisodiyot fanlarini
ma’lum
bir tushunchalarini
uyg‘unlashtiradi.
Bu metoddan asosiy
ko‘zlangan
maqsad matematik tushunchalarni iqtisodiy terminlar va tushunchalar orqali
talabalarga yetkazib berishdan iborat. Quyida aniq integral
ta’rifini
integratsion metod
yordamida tushuntirilgan.
Iqtisodiyotning istalgan tarmoqlarida
ma’lum
vaqt
oralig‘ida
tashqi tomondan
kirib keluvchi pullar miqdorlarini aniqlash masalasini
ko‘rib
chiqamiz. Faraz qilaylik,
( )
y
f t
=
funksiya har bir
t
vaqt mobaynida ixtiyoriy iqtisodiy sektorga kirib kelayotgan
resurs miqdorini aniqlovchi funksiya
bo‘lsin.
Bizga
0;
T
vaqt oraligidagi iqtisodiy
sektorlarga kirib keluvchi umumiy resurs miqdori
Y
ni aniqlash vazifasi
qo‘yilsin.
Agar
( )
f t
const
=
ya’ni,
sektorlarga
0;
T
kesmadagi
t
vaqt birligida kirib keluvchi resurslar
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
03 (2023) / ISSN 2181-1415
323
miqdori bir xil
bo‘lsa,
umumiy resurs miqdorini
( ) (
0)
( )
Y
f c
T
f c T
=
−
=
(
bu yerda c -
0;
T
kesmadagi ihtiyoriy
o‘zgarmas
vaqt birligi
) formula bilan hisoblanishini anglash qiyin
emas.
Agar iqtisodiy sektorga
0;
2
T
vaqt
oralig‘ida
1
( )
f c
birlik,
;
2
T
T
vaqt
oralig‘ida
esa
2
( )
f c
birlik resurs kirib kelsa, u holda
0;
T
vaqt
oralig‘ida
umumiy kirib keluvchi
resurslar miqdorini
1
2
( )
( )
2
2
T
T
Y
f c
f c
=
+
formula bilan topish mumkinligini bilish oson.
Ushbu jarayonni
0;
T
kesmani cheksiz qismlarga ajratib davom ettirish mumkin. Lekin
amaliy hayotda sektorlarga kirib keluvchi resurslar miqdori har bir sektorda turlicha
bo‘ladi.
Shuning uchun berilgan masalaga umumiy holda qarash maqsadga muvofiqdir.
Umumiy holda
( )
y
f t
=
funksiya
0;
T
kesmada ixtiyoriy uzluksiz funksiya
bo‘lsin.
0;
T
kesmani quyidagi vaqt oraliqlariga ajratib chiqamiz:
0
1
2
1
0
...
n
n
t
t
t
t
t
T
−
=
=
U holda iqtisodiyot sektorlariga kirib keluvchi umumiy resurs miqdori
Y
uchun
quyidagi tenglik
o‘rinli:
1
1
( )
n
n
i
i
i
i
i
Y
Y
f c
t
=
=
=
1
;
i
i
t
t
−
vaqt
oralig‘ida
kirib kelgan resurs miqdori
i
Y
ni taqriban
( )
i
i
Y
f c
t
formula bilan hisoblashimiz mumkin. Bu yerda,
1
;
i
i
i
c
t
t
−
va
1
,
1, 2, 3...
i
i
i
t
t
t
i
−
= −
=
.
( )
i
i
Y
f c
t
tenglik qanchalik aniq
bo‘lsa,
i
t
ning qiymati shunchalik kichik
bo‘ladi.
Demak quyidagi integral
yig‘indiga
ega
bo‘lamiz:
max
0
1
lim
( )
i
n
i
i
t
i
Y
f c
t
→
=
=
(1)
(1) tenglikda
max
i
t
nolga intilgani sababli yuqorida keltirilgan har bir tenglik
aniqlashib boradi. Aniq integralning matematik
ta’rifiga
ko‘ra
quyidagi
iqtisodiy
ta’rif
ni
hosil qilamiz.
Ta’rif.
Iqtisodiy sektorga kirib keluvchi resurs funksiyasi
( )
y
f t
=
funksiyadan
0;
T
kesma
bo‘yicha
olingan aniq integral iqtisodiy sektorga kirib kelayotgan umumiy
resurs miqdori deyiladi va quyidagicha yoziladi:
0
( )
T
Y
f t dt
=
.
(2)
Masala.
Andijon viloyatida joylashgan
“Asaka
bank”
filialining omonat kassalariga
kirib keluvchi
mablag‘lar
kun davomida
3
2
( )
f t
at
bt
ct
d
=
+
+ +
empirik formula bilan
o‘zgarsa,
T
soatlik ish kuni uchun jami qancha
mablag‘
bank hisobiga kelib tushishini
aniqlang.
Yechish.
Berilgan masalani yechish uchun hosil qilingan
iqtisodiy
ta’rif
dan
foydalanamiz. Shartga
ko‘ra
berilgan vaqt
oralig‘i
0;
T
kesma
bo‘ladi.
Жамият
ва
инновациялар
–
Общество
и
инновации
–
Society and innovations
Special Issue
–
03 (2023) / ISSN 2181-1415
324
3
2
0
0
( )
(
)
T
T
Y
f t dt
at
bt
ct
d dt
=
=
+
+ +
4
3
2
4
3
2
0
1
1
1
1
1
1
4
3
2
4
3
2
T
Y
at
bt
ct
dt
aT
bT
cT
dT
=
+
+
+
=
+
+
+
so‘m.
XULOSALAR
Iqtisodiyotning istalgan sektorlariga
0;
T
vaqt
oralig‘ida
kelib tushuvchi resurslar
miqdorini aniq integral yordamida aniqlash mumkin degan xulosaga kelamiz. Faqat
masala
qo‘yilayotgan
sektorlarning shu vaqt
oralig‘ida
resursning
o‘zgarishini
ifodalovchi
empirik funksiyalari turli xil
ko‘rinishda
bo‘ladi
xolos. Bu esa iqtisodiy
yo‘nalishlarda
tahsil olayotgan talabalarga aniq integral mavzusini tushuntirishga qulaylik yaratadi.
Chunki talabalar kelajakda iqtisodiyotning faqatgina bir
yo‘nalishida
faoliyat olib
bormaydilar balki, ayrimlari bank ishi, mikroiqtisodiyot, audit yoki sanoat iqtisodiyoti va
h.k.
yo‘nalishlarda
faoliyat olib boradi. Shuning uchun biz yuqorida bayon qilgan umumiy
qoidalar iqtisodiyotning istalgan sektoriga
ma’lum
vaqt
oralig‘ida
kirib keluvchi yoki
undan chiqib ketuvchi resurslar miqdori (masalan bozorga kunlik kirib keluvchi pul
oqimi, soliqlardan tushadigan pul oqimlari va h.k.)ni
hisoblash imkonini beradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI.
1.
O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 07.05.2020 yildagi “Matematika
sohasidagi taʼlim sifatini oshirish va ilmiy
-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari
toʻgʻrisida”gi
PQ-4708-sonli qarori.
2.
Ахтямов, А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. –
464 с.
3.
Paul W. Britt, M.S. Calculus with Business and Economic Applications/
LOUISIANA STATE UNIVERSITY BATON ROUGE, LOUISIANA, 2010.- 122 p
4.
Chalkiadakis, G., Elkind, E., Markakis, E., Polukarov, M., Jennings, N.: Cooperative
Games with Overlapping Coalitions.
Journal of Artificial Intelligence Research (JAIR), 39:
179
–
216. (2010)
5.
Farinelli, A., Bicego, M., Ramchurn, S. Zucchelli, M.: C-link: a hierarchical
clustering approach to large-scale near-optimal coalition formation. Proceedings of the
Twenty-Third International Joint Conference on Arti
fi
cial Intelligence, IJCAI, 106
–
112.
(2013)
6.
Бинмор, К. Теория игр. Очень краткое введение/ К.Бинмор.
-
М.:ИД «Дело»
РАНХиГСБ 2019.
-
256с.
7.
Менкес М.В. Групповая и парная форма работы на уроках математики //
М.В.
Менкес.
–
2016.
[электронный
ресурс],
–
режим
доступа:
http://festival.1september.ru/articles/627441/
8.
https://cyberleninka.ru/article/n/hosilaning-tadbiqlari-mavzusini-o-qitishda-
innovatsion-pedagogik-yondoshuv
9.
www.skillgrover.com
–
Finlyandiya matematika onlayn platformasi.
10.
https://mathnet.uz
–
Milliy matematika interaktiv online platformasi.
