T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
296
ISSN:3030-3613
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNING TIBBIYOTDA
QO‘LLANILISHI
O‘zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti
Aniq va amaliy fanlar fakulteti talabasi
Axmatova Mahliyo Akmal qizi
Annotatsiya.
Ushbu maqola differensial tenglamalarning matematik asoslari va
ularning turli sohalardagi keng koʻlamli amaliy qoʻllanilishiga bagʻishlangan.
Maqolada differensial tenglamalarning asosiy turlari, yechish usullari va ularning
tabiiy fanlar, muhandislik, iqtisodiyot va boshqa sohalardagi muhimligi koʻrib
chiqiladi.
Kalit so‘zlar:
Differensial tenglama, SIR-modeli, Covid-19, model, Koshi
masalasi.
DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS
Annotation.
This article is dedicated to the mathematical foundations of
differential equations and their wide-ranging practical applications in various fields.
The article discusses the basic types of differential equations, their solution methods,
and their importance in natural sciences, engineering, economics, and other fields.
Keywords:
Differential equation, SIR-model, Covid-19, model, the Koshi issue.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Аннотация.
Данная статья посвящена математическим основам
дифференциальных уравнений и их широкому практическому применению в
различных
областях.
В
статье
рассматриваются
основные
типы
дифференциальных уравнений, методы их решения и их важность в
естественных науках, инженерии, экономике и других областях.
Ключевые слова:
Дифференциальное уравнение, SIR-модель, модель,
задача Коши.
Kirish.
Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya,
variatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi
fanlarda keng qo‘llaniladi. Bu fanlarda uchraydigan ko‘plab jarayonlar differensial
tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o‘rganish bilan tegishli
jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo‘lamiz. O‘sha
differensial
tenglamalar, o‘rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo‘ladi. Bu
model qancha mukammal bo‘lsa, differensial tenglamalarni o‘rganish natijasida
olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to‘la tavsiflaydi. Shuni aytib o‘tish kerakki,
tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi
mumkin.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
297
ISSN:3030-3613
Ta’rif.
Differensial tenglama deb, erkli o‘zgaruvchi
𝑥
, noma’lum funksiya
𝑦
va
uning hosilalari orasidagi bog‘lanishdan iborat bo‘lgan tenglamaga aytiladi.
U simvolik ravishda
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦
′
, 𝑦
″
, … , 𝑦
(𝑛)
) = 0
(1)
ko‘rinishda yoziladi.
Bunda
𝐹
ko‘rilayotgan sohada o‘z argumentlarining uzluksiz funksiyasidir. (1)
tenglamada erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalardan bir nechtasi
qatnashmasligi mumkin. Lekin u differensial tenglama bo‘lsa, u holda hosilalardan
hech bo‘lmaganda bittasi qatnashishi shart.
Differensial tenglama tarkibiga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga,
differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Masalan (1) tenglama,
𝑛
-chi tartibli differensial tenglamadir.
Agar tenlamadagi noma’lum funksiya faqat bitta erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq
bo‘lsa, bunday tenglamaga
oddiy differensial tenglama
deyiladi (ODT).
Agar tenglamadagi noma’lum funksiya bir nechta erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq
bo‘lsa, tenglamada har bir erkli o‘zgaruvchilar bo‘yicha olingan xususiy hosilalar
qatnashishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarga xususiy hosilali differensial
tenglama deyiladi.
Masalan,
𝑢(𝑥, 𝑦)
funksiya ikkita
x,y
agrumentlarga bog‘liq bo‘lsin. U holda
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
,
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
,
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
,
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
) = 0
(2)
tenglamaga ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑢,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) = 0
(3)
ga esa birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Birinchi tartibli ODTning umumiy ko‘rinishi
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦
′
) = 0
(4)
dan iborat.
Agar bu tenglamani
𝑦
′
ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa ya’ni
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
yoki
𝑦
′
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
(5)
tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deyiladi.
Agarda,
𝑦 = 𝜓(𝑥, 𝑐)
(6)
(6) funksiya, (5) tenglamani qanoatlantirsa, unga tenglamaning
umumiy yechimi
deyiladi. Bunda
𝑐
- ixtiyoriy o‘zgarmas son (parametr). Ba‘zi vaqtlarda umumiy
yechim oshkormas
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0
(7)
ravishda berilishi mumkin (7) yechimga, tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Tenglamaninng umumiy
𝑦 = 𝜓(𝑥, 𝑐)
yechimi yoki umumiy
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0
integrali, geometrik nuqtayi nazardan, bitta parametrga bog’liq bo‘lgan egri chiziqlar
oilasini ifodalaydi. Tekislikda har bir yechim egri chiziqdan iborat. Unga
tenglamaning integral chizig‘i deyiladi. (5) tenglamani geometrik nuqtayi nazardan
tekshiramiz.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
298
ISSN:3030-3613
𝑥
va
𝑦
o‘zgaruvchini tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari uchun qabul
qilsak, u holda
𝑓(𝑥, 𝑦)
funksiya aniqlangan
𝐺
sohaning har bir
𝑥, 𝑦
nuqtasiga (5)
tenglama,
𝐺
sohaning har bir nuqtadan o‘tuvchi integral chiziqqa o‘tkazilgan
urinmaning burchak koeffisiyentini ifodalaydi. Boshqacha aytganda
𝑑𝑦
𝑑𝑥
qiymatini mos
qo’yadi.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
ning qiymati,
𝑦 = 𝜙(𝑥)
integral chizig‘ining ixtiyoriy nuqtasiga
o‘tkazilgan urinmaning absissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan
burchakning tangensini bildiradi. Ya‘ni har bir nuqtada urinmaning yo‘nalishini
aniqlaydi. Biz yo‘nalishlar maydoniga ega bo‘lamiz.
Demak, geometrik nuqtayi nazardan birinchi tartibli differensial tenglamani
yechish, shunday chiziqlarni topish kerakki, uning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan
urinmaning yo‘nalishi, shu nuqtadagi yo‘nalishlar maydoniga mos kelsin.
Ta’rif.
Bir xil yo‘nalish maydoniga ega bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘rniga
izoklina deyiladi.
Izoklinalarga ko‘ra, differensial tenglamalarning integral chiziqlarni chizish
mumkin.
Izoklinalar usuli
Hosilaga nisbatan yechilgan quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama
berilgan bo‘lsin
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
. (5)
Differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish uchun quyidagi ishlarni
bajarish kerak.
1. Agar berilgan differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan bo‘lsa, dastavval
uni hosilaga nisbatan yechib olamiz.
2. Integral chiziqlarning chapdan o‘ngga tomon harakat etganda, uning yo‘nalishini
aniqlaymiz.
Agar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0
sharti bajarilgan sohada integral chiziqlar yuqoriga qarab yo‘naladi.
Agar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) < 0
sharti bajariladigan sohada integral chiziqlar pastga qarab yo‘naladi.
3. Differensial tenglamaning izoklinarlar oilasi tenglamasini tuzamiz
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 (𝑘 = 0; ±1; 2, . . ..
).
bunda
k
-parametr. Bu izoklinalar ichida eng ahamiyatlisi
𝑘 = 0; 𝑘 = ±1
qiymatdagi
izoklinadir.
k = 0
bo‘lganda berilgan differensial tenglama
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
ko‘rinishni oladi.
Bu integral chiziqlarning maksimum va minimum yotadigan nuqtalarining geometrik
o‘rni bo‘lib, bunda
{
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) > 0
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
299
ISSN:3030-3613
sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarining minimum nuqtalari yotadi.
{
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) < 0
sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarning maksimum nuqtalari yotadi.
𝑘 = −1
bo‘lsa,
𝑓(𝑥, 𝑦) = −1
izoklinani hosil qilamiz.
Integral chiziqlar, bu izoklina bilan kesishgan nuqtalarida burchak koeffisiyenti
–1 ga teng bo‘lgan urinmalarga ega bo‘ladi. Ya’ni ular o‘zaro 135
0
burchak ostida
kesishadi
𝑘 = 1
bo‘lganda
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1
izoklina tenglamasiga ega bo‘lamiz.
Integral chiziqlari bu izoklina chizig‘i bilan burchak koeffisiyenti
𝑡𝑔𝜙 = 1
ya’ni
45
0
burchak ostida kesishadi. Integral chiziqlarni yanada aniqroq chizish uchun
bukilish nuqtalarining geometrik o‘rnini topamiz.
Ma’lumki, bukilish nuqtalarining geometrik o‘rni, ikkinchi tartibli hosilani nolga
tenglashtirish yo‘li bilan aniqlanadi. (5) tenglamaga asosan
𝑦"
ni topamiz:
𝑦" =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑓
𝑦
"
(𝑥, 𝑦)
.
Bundan quyidagini hosil qilamiz:
𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑓
𝑦
′
(𝑥, 𝑦) = 0
(8)
(8) tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq bukulish nuqtalarining geometrik o‘rnini
aniqlaydi. Bunda
𝑦" = 𝑓
′
𝑥
+ 𝑓𝑓
′
𝑦
> 0
shartini qanoatlantiruvchi sohada integral
chiziqlari botiq
(∪)
bo’lib,
𝑦
″
= 𝑓
𝑥
′
+ 𝑓 ⋅ 𝑓
𝑦
′
< 0
shartni qanotlantiruvchi sohada
integral chiziqlari qavariq
(∩)
bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan ma’lumotlarga asoslanib, berilgan differensial
tenglamaning integral chiziqlarini chizish mumkin.
Misol
.
𝑦
′
= 2𝑥 − 𝑦
tenglamaning integral chiziqlarini, izoklina yordamida chizing.
Yechish.
Dastavval, integral chiziqlarning harakat yo‘nalishlarini aniqlaymiz.
Agar
𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 > 0
bo‘lsa,
𝑦 < 2𝑥
bo‘ladi. Bu shartni qanoatlantiruvchi
sohada integral chiziqlar yuqoriga qarab yo‘naladi.
(↑)
Agar
𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 < 0
bo‘lsa,
𝑦 > 2𝑥
bo’ladi. Bu sohada integral
chiziqlar pastga qarab yo‘naladilar.
(↓)
Izoklinalar oilasining tenglamasini tuzamiz:
𝑦
′
= 2𝑥 − 𝑦 = 𝑘
bundan
𝑦 = 2𝑥 − 𝑘
,
𝑘 = 0
bo‘lsin. U holda
𝑦 = 2𝑥
ga ega bo‘lamiz.
Bundan quyidagini hosil qilamiz:
{
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) = 2 > 0
.
Bundan
𝑦 = 2𝑥
to‘g‘ri chizig‘ida integral chiziqlarning minimum nuqtalari yotadi.
Integral chiziqlar maksimum nuqtaga ega emas. Chunki
𝑥
va
𝑦
ning ko‘rilayotgan
sohadagi hamma qiymatlari uchun
𝑓
𝑥
′
(𝑥, 𝑦) = 2 > 0
.
Faraz qilaylik,
𝑘 = 1
bo‘lsin. U holda
𝑦 = 2𝑥 − 1
ga ega bo‘lamiz. Integral
chiziqlar bu to‘g‘ri chiziq bilan 45
0
burchak ostida kesishadi. Agar
𝑘 = −1
bo‘lsa, u
holda
𝑦 = 2𝑥 + 1
ga ega bo‘lamiz. Integral chiziqlar bu to‘g‘ri chiziq bilan 135
0
burchak ostida kesishadi. Agar
𝑘 = 2
bo’lsa, u holda
𝑦 = 2𝑥 − 2
ga ega bo‘lamiz. Bu
berilgan tenglamani yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham
𝑦
′
= 2, 2 ≡ 2𝑥 − 2𝑥 + 2
tenglamaning integral chiziqlari bu integral chiziq
bilan kesishmaydi.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
300
ISSN:3030-3613
Endi bukilish nuqtalarining geometrik o‘rnini aniqlaymiz. Buning uchun berilgan
tenglamadan
𝑦" = 2 − 𝑦
′
2 − 2𝑥 + 𝑦 = 0
.
Bundan
𝑦 = 2𝑥 − 2
ga ega bo’lamiz. Ushbu bukilish nuqtalarining geometrik o‘rni
esa,
𝑦 > 2𝑥 − 2
shart qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari botiq,
𝑦 < 2𝑥 − 2
shart qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari qavariq bo‘ladi. Bu ma’lumotlarga
ko‘ra, integral chiziqlarni chizish mumkin.
Koshi masalasi.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
tenglama uchun Koshi masalasi deb,
𝑥 = 𝑥
0
bo’lganda
𝑦(𝑥
0
) = 𝑦
0
shartni
qanoatlantiruvchi yechimni topishga aytiladi. Koshi masalasini yechish uchun, dastlab
berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi
𝑦 = 𝜙(𝑥, 𝑐)
topiladi, so‘ngra
𝑥 =
𝑥
0
𝑦(𝑥
0
) = 𝑦
0
boshlang‘ich shartlar yordamida parametr
𝑐
ning qiymati
𝑐 = 𝑐
0
aniqlanadi.
𝑦 = 𝜙(𝑥, 𝑐)
yechimdagi
𝑐
o’rniga
c
0
qo‘ysak Koshi shartini
qanoatlantiruvchi
𝑦 = 𝜙(𝑥, 𝑐
0
)
yechimga ega bo‘lamiz.
Ta’rif
. (5)
differensial tenglamaning Koshi masalasini qanoatlantiruvchi
𝑦 =
𝑦(𝑥)
yechimi xususiy yechim deyiladi. Ya’ni, boshqacha qilib aytganda, barcha
nuqtalarida yagonalik sharti bajaraladigan yechim xususiy yechim deyiladi.
Differensial tenglamalarning amaliyotda qoʻllanilishi
Differensial tenglamalar ilm-fanning deyarli barcha sohalariga kirib borgan.
Fizika, muhandislik, biologiya va tibbiyot, kimyodan tortib iqtisodiyot va moliya
sohalarigacha. Zamonamizning muhim amaliy masalalari differensial hisob orqali o‘z
yechimini topmoqda. Xususan, meterologiya va iqlimshunoslik sohalarida ob-havoni
prognoz qilish jarayonida ham differensial tenglamalar nazariyasidan foydalaniladi.
Aerokosmik sohada ham samolyot, raketa va boshqa uchar jismlarning harakat
trayektoriyalari ham aynan differensial tenglamalar yordamida tuziladi. Barcha
sohalarda differensial tenglamalarning ahamiyati beqiyos, ammo bugun asosiy
e’tiborni biologiya va tibbiyot sohasiga qaratsak.
Differensial tenglamalar tibbiyot va biologiyada juda muhim rol o‘ynaydi.
Chunki, ular tirik organizmlar va biologik tizimlardagi o‘zgarishlarni matematik
jiihatdan modellashtirish va tushuntirish uchun vosita hisoblanadi. Ayniqsa tibbiyotda
differensial tenglamalar turli kasalliklarning tarqalish dinamikasi, rivojlanish tezligi,
davolanishga ta’sir etuvchi omillarni o‘rganishga yordam beradi.
Epidemiyalar, xususan Covid-19 tarqalishini modellashtirish uchun differensial
tenglamalardan foydalaniladi. Zamonamiz olimlari Covid-19 virusining tarqalish
jarayonini modellashtirishda SIR (Sucseptible – Infected – Recovered) modelidan
foydalanganlar. Bu model aholini 3 ta qatlamga ajratadi:
S (Sucseptible - sezgir):
Kasallikka chalinish ehtimoli bo‘lgan, ammo hozirda
infeksiyani yuqtirmaganlar.
I (Infected – infeksiyalangan):
Kasallangan va uni yuqtirishi mumkin bo‘lgan
shaxslar.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
67-son_1-to’plam_Avgust-2025
301
ISSN:3030-3613
R (Recovered – tuzalgan):
Kasallikdan tuzalgan va uni qayta yuqtirmaydigan
shaxslar.
SIR modeli quyidagi differensial tenglamalar bilan ifodalaniladi
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= −
𝛽𝑆𝐼
𝑁
,
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝑁
− 𝛾𝐼
,
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 𝛾𝐼
bu yerda S(t)- vaqtning t momentidagi sezgir shaxslar soni bo‘lsa, I(t) – t vaqtdagi
infeksiyalangan shaxslar va R(t) – t vaqtda tuzalgan yoki immunitetga ega shaxslar
sonini ifodalovchi funksiyalar.
N = S + I + R - umumiy aholi soni (vaqt o'tishi bilan o'zgarmas deb taxmin
qilinadi). β - infeksiya tarqalish tezligi. γ - tuzalish tezligi (infeksiyalangan
shaxslarning tuzalish ehtimoli yoki immunitetga ega bo'lish tezligi). Aynan β va γ
kattaliklarni topish uchun ehtimollar nazariyasiga murojaat qilinadi.
Bizga differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki
𝑑𝑆
𝑑𝑡
,
𝑑𝐼
𝑑𝑡
,
𝑑𝑅
𝑑𝑡
kattaliklar
vaqt birligi ichida mos ravishda sezgir, infeksiyalangan va tuzalgan shaxslar sonining
o‘zgarish tezliklarini ifodalaydi.
Yuqorida berilgan differensial tenglamalar hayotiy qanday ma’no kasb etishiga
to‘xtalsak.
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= −
𝛽𝑆𝐼
𝑁
tenglama sezgir shaxslar sonining kamayishi infeksiyalangan
shaxslar bilan aloqa qilish tezligiga bog‘liq (
𝛽𝑆𝐼
𝑁
)
. Har bir sezgir shaxs infeksiyalangan
shaxs bilan aloqa qilganda va infeksiya yuqsa, sezgir guruhdan chiqadi.
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝛽𝑆𝐼
𝑁
− 𝛾𝐼
infeksiyalangan shaxslar sonining o'zgarishi, yangi infeksiyalanganlar soni (
𝛽𝑆𝐼
𝑁
)
va
tuzalganlar soni (
𝛾𝐼
) o‘rtasidagi farqga bog‘liq.
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 𝛾𝐼
tuzalgan shaxslar sonining
o‘sishi infeksiyalangan shaxslarning tuzalish tezligiga bog‘liq.
SIR modeli COVID-19 kabi yuqumli kasalliklarning tarqalish dinamikasini
tushunishga yordam beradi. U epidemiologlarga: kasallikning cho'qqisini qachon
kutish kerakligini taxmin qilishga; kasallikning tarqalish tezligini baholashga; turli xil
aralashuv choralarining (masalan, karantin, niqob taqish, emlash) ta'sirini
modellashtirishga; resurslarni (masalan, kasalxona yotoqlari, tibbiy jihozlar)
rejalashtirishga yordam beradi.
Ammo shuni ham ta’kidlab o‘tmoq kerakki, bu model soddalashtirilgan bo‘lib,
real hayotdagi murakkab omillarni to‘la hisobga olish imkoniyatiga ega emas hamda β
va γ parametrlarning kuzatishlar asosida qanchalik to‘g‘ri baholanishiga ham bog‘liq.
Yanada ko‘proq hayotiy parametrlarni o‘z ichiga olgan modellari qurish mumkin.
Xulosa
Xulosa qilib aytganda, SIR modeli differensial tenglamalar yordamida COVID-
19 tarqalishini matematik jihatdan modellashtirishning asosiy usullaridan biri bo‘lib,
bu kasallikning dinamikasini tushunish va unga qarshi kurashish strategiyalarini ishlab
chiqishda muhim rol o‘ynaydi.
FOYDANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Salohiddinov M.S., Nasriddinov G‘.N. Oddiy differensial tenglamalar. T: 1994.
2.
Jo‘rayev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-q. T.: “O‘zbekiston”. 1999.
3.
Hikmatov A.G., Toshmetov O‘.T., Karesheva K., Matematik analizdan mashq va
masalalar to‘plami. T.: 1987.
