T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
62-son_2-to’plam_May-2025
76
ISSN:3030-3613
GEOMETRIK TOPOLOGIYA VA HOMOTOPIK METODLARDAN
FOYDALANGAN HOLDA MUHIT XARITASINI YARATISH
Mustafayev Dilshod Panji o’g’li
Aniq va ijtimoiy fanlar universiteti magistranti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada geometrik topologiya va homotopik metodlardan foydalangan
holda muhit xaritasini yaratish masalasi ko‘rib chiqilgan. Asosiy e’tibor muhitning
topologik xususiyatlarini aniqlash va ularni xaritalashda homotopik yondashuvlarni
qo‘llashga qaratilgan. Homotopik ekvivalentliklar va geodezik bog‘liqliklar yordamida
fazoviy ob’ektlarning strukturalari aniqlanib, ularning geometrik modellari qurilgan.
Mazkur metodologiya muhitning murakkab topologik xususiyatlarini oddiy
ko‘rinishga keltirish imkonini beradi. Olingan natijalar harakatlanuvchi robotlar va
ko‘p o‘lchovli navigatsiya tizimlari uchun amaliy ahamiyatga ega.
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматривается задача создания карты окружающей
среды с использованием геометрической топологии и гомотопических методов.
Основное внимание уделено выявлению топологических свойств среды и
применению гомотопических подходов для картографирования. С помощью
гомотопической эквивалентности и геодезических связей определяются
структуры пространственных объектов и строятся их геометрические модели.
Данная методология позволяет упростить сложные топологические особенности
среды. Полученные результаты имеют практическое значение для мобильных
роботов и многомерных навигационных систем.
ANNOTATION
This paper addresses the problem of creating an environmental map using
geometric topology and homotopic methods. The primary focus is on identifying the
topological properties of the environment and applying homotopic approaches for
mapping. Using homotopic equivalences and geodesic connections, the structures of
spatial objects are determined, and their geometric models are constructed. This
methodology enables the simplification of complex topological features of the
environment. The obtained results are of practical importance for mobile robots and
multi-dimensional navigation systems.
Kirish
Robototexnika va avtomatlashtirilgan tizimlarda muhitni modellashtirish va
xaritalash muhim vazifalardan biridir. An’anaviy xaritalash usullari murakkab
topologik muhitlarda yetarlicha samarali emasligi sababli, geometrik topologiya va
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
62-son_2-to’plam_May-2025
77
ISSN:3030-3613
homotopik metodlardan foydalanish dolzarb ahamiyat kasb etmoqda. Ushbu ishda
geometrik topologiya va homotopik yondashuvlar asosida muhit xaritasini tuzish
metodologiyasi ishlab chiqilgan bo‘lib, natijalar mobil robotlar va ko‘p o‘lchovli
navigatsiya tizimlari uchun qo‘llaniladi.
Nazariy yo‘nalish
-Geometrik topologiya va homotopik metodlar murakkab
fazoviy muhitlarni matematik jihatdan modellashtirish va analiz qilishda qo‘llaniladi.
Geometrik topologiya muhitning shakli va tuzilishini topologik invariantlar orqali
tavsiflaydi, bu esa fazoviy ob’ektlarning ekvivalentligini aniqlash imkonini beradi.
Homotopik metodlar esa ob’ektlar orasidagi uzluksiz deformatsiyalarni o‘rganish
orqali xaritalashni soddalashtiradi. Ushbu yondashuvlar robototexnika va navigatsiya
tizimlarida muhitning murakkab topologik xususiyatlarini samarali modellashtirishda
muhim ahamiyatga ega.
Amaliy yo‘nalish-
Geometrik topologiya va homotopik metodlardan
foydalangan holda muhit xaritasini yaratish mobil robotlar va avtomatlashtirilgan
tizimlarda samarali navigatsiyani ta’minlashga qaratilgan. Ushbu yondashuv
murakkab va notekis muhitlarda ob’ektlar va to‘siqlarni topologik tahlil qilishga imkon
beradi. Amalda homotopik ekvivalentliklardan foydalanish xarita soddalashtirish va
optimal harakat traektoriyalarini aniqlashda qo‘llanadi, bu esa robototexnik
tizimlarning muhitda mustaqil harakatlanishini yaxshilaydi.
ASOSIY QISIM
1.Geometrik topologiya va homotopik metodlardan foydalangan holda
muhit xaritasini yaratishning asosiy tushunchalari
Geometrik topologiya: Fazoviy ob’ektlarning shakli va tuzilishini topologik
invariantlar yordamida o‘rganadi.
Homotopik metodlar: Ob’ektlar orasidagi uzluksiz deformatsiyalarni tahlil qilib,
ekvivalent yo‘llarni aniqlaydi.
Homotopik ekvivalentlik: Ikki yo‘l yoki shaklning bir-biriga uzluksiz o‘tishi
bilan ekvivalent ekanligini ko‘rsatadi.
Navigatsiya xaritasi: Robotning optimal va xavfsiz yo‘lini topish uchun fazoviy
xaritani tuzish.
Bu tushunchalar robototexnikada muhit xaritasini yaratish va harakat
traektoriyasini rejalashtirish uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.
2. Mashhur algoritmlar va ularning tahlili
Geometrik topologiya va homotopik metodlardan foydalangan holda muhit
xaritasini yaratishda quyidagi algoritmlar samarali qo‘llaniladi:
1. RRT (Rapidly-exploring Random Tree):
• Qo‘llanishi: Robot harakatini rejalashtirish va murakkab muhitda yo‘l topish.
• Afzalliklari: Tezkor va murakkab muhitlarda optimal yo‘l topish qobiliyati.
• Kamchiliklari: Yo‘lning silliqligi kafolatlanmagan.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
62-son_2-to’plam_May-2025
78
ISSN:3030-3613
2. PRM (Probabilistic Roadmap):
• Qo‘llanishi: Statik muhitda yo‘l xaritasi tuzish.
• Afzalliklari: Oldindan ma’lum muhitda samarador.
• Kamchiliklari: Harakatlanuvchi to‘siqlar mavjudligida samarasiz.
3. A (A-star) algoritmi:*
• Qo‘llanishi: Eng qisqa yo‘lni topish.
• Afzalliklari: Yo‘l uzunligini minimallashtiradi.
• Kamchiliklari: Yuqori o‘lchamli fazoda hisoblash qiyinchiliklari.
Bu algoritmlar muhitni xaritalash va robot harakatini optimallashtirishda
geometrik topologiya va homotopik yondashuvlarning samarali qo‘llanishini
ta’minlaydi.
3.Amaliy qo‘llanmalar
Geometrik topologiya va homotopik metodlar mobil robotlar navigatsiyasi va
muhit xaritasini yaratishda keng qo‘llanadi.
1. Robot harakatini rejalashtirish:
• Homotopik metodlardan foydalanib, robotning xavfsiz va optimal harakat
traektoriyalari aniqlanadi.
• Masalan, robot ma’lum bir boshlang‘ich nuqtadan manzilga borishda
to‘siqlardan aylanib o‘tish uchun homotopik ekvivalent yo‘llarni solishtiradi va eng
maqbulini tanlaydi.
2. Mavjud muhitni xaritalash:
• Geometrik topologiya yordamida muhitdagi ob’ektlarning shakli va
ulanishlari topologik invariantlar bilan tavsiflanadi.
• Bu yondashuv murakkab va notekis muhitlarda robot uchun xaritani
soddalashtirish imkonini beradi.
3. To‘siqlarni aniqlash va aylanib o‘tish:
• Topologik usullar yordamida muhitdagi to‘siqlar va ularning shakllari tahlil
qilinadi.
• Homotopik ekvivalentlik asosida robot to‘siqlardan o‘tish yoki ularni aylanib
o‘tish yo‘llarini tanlaydi. Bu metodlar robototexnika, muhitni avtomatlashtirilgan
skanerlash va ko‘p o‘lchovli navigatsiya tizimlarida samaradorlikni oshirish uchun
qo‘llanadi.
XULOSA
Geometrik topologiya va homotopik metodlar muhit xaritasini yaratish va robot
harakatini rejalashtirishda samarali vosita sifatida qo‘llanadi. RRT, PRM va A* kabi
algoritmlar har xil sharoitlarda optimal yo‘lni topishga imkon beradi: RRT algoritmi
murakkab va dinamik muhitlarda tezkor yechim taklif etsa, PRM statik muhitda
samarali xaritalash imkonini beradi. A* algoritmi esa eng qisqa yo‘lni aniqlashda
qo‘llaniladi.
T A D Q I Q O T L A R
jahon ilmiy – metodik jurnali
https://scientific-jl.com
62-son_2-to’plam_May-2025
79
ISSN:3030-3613
Bu yondashuvlar murakkab va notekis muhitlarda robot harakatini xavfsiz va
samarali boshqarish imkonini berib, robototexnika va navigatsiya tizimlarida
muvaffaqiyatli qo‘llanadi. Umuman olganda, geometrik topologiya va homotopik
metodlarning integratsiyasi muhitni tushunish va xaritalash jarayonlarini sezilarli
darajada yaxshilaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1.
Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. Geometrik
topologiyaning nazariy asoslari va homotopik metodlar haqida batafsil ma’lumot
beradi.
2.
Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall. Topologik fazolar va ularning
geometrik xususiyatlari bo‘yicha asosiy manba.
3.
Zomorodian, A. (2005). Topology for Computing. Cambridge Monographs on
Applied and Computational Mathematics. Topologik usullarni hisoblash va muhit
xaritasini yaratishda qo‘llash.
4.
Edelsbrunner, H., & Harer, J. (2010). Computational Topology: An Introduction.
American
Mathematical
Society.
Algoritmik
topologiya
va
uning
robototexnikadagi qo‘llanilishi.
5.
Latombe, J. C. (1991). Robot Motion Planning. Kluwer Academic Publishers.
Robot harakati rejalashtirishda topologik yondashuvlar.
6.
Ghrist, R. (2014). Elementary Applied Topology. Createspace Independent
Publishing Platform. Topologik usullarni amaliy dasturlarda qo‘llash.
7.
Carlsson, G. (2009). Topology and Data. Bulletin of the American Mathematical
Society. Geometrik va topologik usullar bilan muhitni xaritalash.
8.
Boissonnat, J. D., & Yvinec, M. (1998). Algorithmic Geometry. Cambridge
University Press. Geometrik algoritmlar va ularning robototexnikadagi roli.
9.
Silva, V. de, & Ghrist, R. (2007). Coverage in Sensor Networks via Persistent
Homology. Algebraic & Geometric Topology. Homotopik usullarni sensorli robot
tarmoqlarida qo‘llash.
10.
Kaczynski, T., Mischaikow, K., & Mrozek, M. (2004). Computational Homology
11.
Applied Mathematical Sciences.Homotopik va homologik usullarni hisoblash
algoritmlari.
