THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
84
KORREKT MASALA TUSHUNCHASI. KORREKT MASALA TA’RIFI.
TESKARI TENGLAMA UCHUN KOSHI MASALASI. ISSIQLIK
TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI.
Abdusoliyeva Umidaxon Akramjon qizi
Farg’ona davlat universiteti talabasi
E-mail:abdusoliyevaumidaxon@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15688144
Annotatsiya
Ushbu tezis ishida matematik fizika tenglamalarida muammoning to'g'ri
bayon etilishi tushunchasi ko'rib chiqiladi. To'g'rilikning uchta asosiy sharti
ochib beriladi: echimning mavjudligi, uning o'ziga xosligi va dastlabki
shartlardagi kichik o'zgarishlarga qarshilik. To'g'ri muammo sifatida issiqlik
o'tkazuvchanligi tenglamasi uchun Koshi muammosiga misol keltirilgan. Ushbu
shartlar buzilgan teskari vazifa ham tahlil qilinadi. Ta'kidlanishicha, teskari
tenglamalar xatolarga sezgir va jismoniy haqiqatga mos kelmaydi. Issiqlik
o'tkazuvchanligi tenglamasining asosiy echimi orqali to'g'ri echimning
mavjudligi va barqarorligi ko'rsatilgan.
Kalit so'zlar
Muammoning to'g'ri bayoni, teskari tenglama, issiqlik o'tkazuvchanligi
tenglamasi, Koshi muammosi, differentsial tenglama, barqarorlik, echimning
o'ziga xosligi, matematik fizika.
Аннотатсия
В данной работе рассматривается понятие корректной постановки
задачи в рамках уравнений математической физики. Корректной
называется такая задача, которая удовлетворяет трём основным
условиям: существование решения, его единственность и устойчивость к
малым изменениям исходных данных. Особое внимание уделяется задаче
Коши для уравнения теплопроводности как примеру корректной задачи.
Также приводится анализ обратной задачи, при которой хотя бы одно из
условий корректности нарушается. Обосновано, что обратные задачи
чувствительны к малейшим погрешностям и часто теряют физическую
интерпретацию. Приведено фундаментальное решение уравнения
теплопроводности как подтверждение существования и устойчивости
корректного решения.
Ключевые слова
Корректная постановка задачи, уравнение теплопроводности, задача
Коши, обратная задача, дифференциальные уравнения, устойчивость,
математическая физика, единственность решения.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
85
Abstrakt
This thesis explores the concept of a well-posed (correct) problem in the
context of mathematical physics equations. The three main conditions of well-
posedness—existence of a solution, uniqueness, and stability with respect to
initial data—are discussed in detail. The Cauchy problem for the heat equation is
presented as an example of a well-posed problem. In contrast, the inverse
problem is analyzed, where these conditions fail. It is noted that inverse
equations are highly sensitive to errors and often lack physical realism. The
existence and stability of the correct solution are demonstrated through the
fundamental solution of the heat equation.
Keywords
Well-posed problem, inverse equation, heat equation, Cauchy problem,
differential equation, stability, uniqueness of solution, mathematical physics.
Matematik fizika va differensial tenglamalar sohasida ko‘plab fizik
jarayonlar differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. Bunday tenglamalar
asosida tuzilgan masalalar amaliy muammolarga yechim topishda muhim o‘rin
tutadi. Ammo har bir masala noto‘g‘ri qo‘yilishi yoki noto‘g‘ri yechimga olib
kelishi mumkin. Shu sababli korrekt masala tushunchasi joriy qilingan.
2. Korrekt masala tushunchasi
Korrekt masala – bu fransuz matematikasi Hadamard tomonidan joriy
etilgan ta’rif bo‘lib, quyidagi uchta shart bajarilgan masala to‘g‘ri qo‘yilgan
(korrekt) hisoblanadi:
Yechim mavjudligi: Masala uchun yechim mavjud bo‘lishi kerak.
Yechim yagona bo‘lishi: Har qanday berilgan boshlang‘ich (yoki chegara)
shartlar uchun yagona yechim bo‘lishi lozim.
Yechimning barqarorligi: Boshlang‘ich shartlardagi kichik o‘zgarish
yechimda katta o‘zgarishga olib kelmasligi kerak.
Agar yuqoridagi shartlardan birortasi buzilsa, masala inkorrekt (noto‘g‘ri
qo‘yilgan) bo‘ladi.
3. Teskari tenglama uchun Koshi masalasi
Ko‘pchilik fizik tenglamalar vaqtga bog‘liq bo‘ladi. Ammo ba’zida vaqtni
teskari yo‘nalishda o‘rganish zarur bo‘ladi. Masalan:
2
t
xx
u
a u
bu – issiqlik tenglamasining teskari ko‘rinishi bo‘lib, vaqt ortga qarab
o‘tishini anglatadi.
Teskari Koshi masalasi:
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
86
2
,
,
(0, )
( , 0)
( )
t
xx
u
a u
x
R t
T
u x
x
Bu masala odatda inkorrekt bo‘ladi, chunki kichik nuqsonli boshlang‘ich
funksiyadan kelib chiqib vaqt ortga ketganda yechim keskin o‘zgaradi. Bu esa
fizik mazmunga to‘g‘ri kelmaydi (issiqlik o‘z-o‘zidan ortib ketmaydi).
4. Issiqlik tenglamasi uchun Koshi masalasi
Issiqlik tenglamasi – issiqlikning vaqt bo‘yicha qanday tarqalishini
ifodalovchi parabolik differensial tenglama:
2
,
xx
t
u
a u
Koshi masalasi:
2
,
,
0
( , 0)
( )
t
xx
u
a u
x
R t
u x
x
Bu masala korrekt hisoblanadi:
Yechimi mavjud (masalan, fundamental funksiyalar orqali),
Yagona,
Boshlang‘ich funksiyadagi kichik o‘zgarishlar yechimni barqaror ta’sir
qiladi.
Misol uchun fundamental yechim:
2
2
(
)
4
2
1
( , )
( )
4
x
a t
u x t
e
d
a t
Matematik fizikadagi har bir masala korrekt qo‘yilishi lozim. Korrekt
masala yechimining mavjudligi, yagonaligi va barqarorligi amaliy hisob-
kitoblarda aniqlikni ta’minlaydi. Ayniqsa, issiqlik tenglamasi uchun Koshi
masalasi amaliyotda keng qo‘llanadi, teskari masalalar esa ehtiyotkorlik bilan
o‘rganiladi, chunki ular noaniqliklarga sezgir.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
S. M. Nikol'skiy – Matematik analiz.
2.
A. Tursunov – Matematik fizika tenglamalari.
3.
Hadamard, J. – Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial
Differential Equations, 1923.
4.
I. M. Gelfand, G. E. Shilov-matematik fizikaning umumiy muammolari.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
87
5.
Agar istasangiz, bu TZIS’ni Word, PDF, yoki PowerPoint formatida
tayyorlab berishim ham mumkin. Shu variantlardan kerakmi?
