https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
66
NOKORREKT VA TESKARI MASALALAR FANIDAN
TO‘LQIN
TENGLAMASI UCHUN DRIXLE MASALASINING KORREKTIV
SHARTLARNING BUZILISHI
Berdaliyev Abubakir Abduvohid oʻgʻli
Farg‘ona davlat unversiteti talabasi,
berdaliyevabubakir36@gmail.com
Burxonov Asiljon
Azamjon oʻgʻli
Farg‘ona davlat unversiteti talabasi,
burkhonov101@gmail.com
Annotatsiya
Ushbu maqolamizda to‘lqin tenglamasi uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining
korrektivlik shartlari tahlil qilinib, ularning buzilishi oqibatida masalaning
nokorrekt holatga o‘tishi o‘rganilgan. Tadqiqot davomida yechimning mavjudligi,
yagonaligi va barqarorl
igi masalalari ko‘rib chiqilgan hamda energiya usuli
yordamida yagonalik isbotlangan. Natijalar matematik modellashtirish va raqamli
hisoblashlarda yechimning barqarorligini ta’minlash nuqtai nazaridan muhim
ahamiyatga egaligi xususida so’z bor
adi.
Kalit so‘zlar:
korrekt, matematik modellashtirish, raqamli hisoblash, to‘lqin
tenglamasi, divergens, nokorrekt, xos son, xos funksiya.
Annotation
This scientific work analyzes the well-posedness conditions for the Dirichlet
problem formulated for the wave equation and examines how the violation of these
conditions leads to the problem becoming ill-posed. The study addresses the issues
of existence, uniqueness, and stability of the solution, and proves uniqueness using
the energy method. The results are of significant importance for ensuring the
stability of solutions in mathematical modeling and numerical computations.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
67
Keywords:
well-posed, mathematical modeling, numerical computation,
wave equation, divergence, ill-posed, eigenvalue, eigenfunction.
Аннотация
В данной научной работе проанализированы условия корректности для
задачи Дирихле, поставленной для уравнения волны, и исследованы
последствия нарушения этих условий, приводящие к переходу задачи в
некорректную постановку. В ходе исследования рассмотрены вопросы
существования, единственности и устойчивости решения, а также доказана
единственность с использованием метода энергии. Полученные результаты
имеют важное значение для обеспечения устойчивости решений в задачах
математического моделирования и численных вычислений.
Ключевые
слова:
корректная
постановка,
математическое
моделирование, численные вычисления, волновое уравнение, расходимость,
некорректная постановка, собственное значение, собственная функция.
Kirish.
To
‘
lqin tenglamasi matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri
bo
‘
lib, u turli fizikaviy jarayonlarni modellashtirishda keng qo
‘
llaniladi. Ushbu
ishda aynan to‘lqin tenglamasi uchun qo‘yilgan
Dirixle masalasining korrektiv
shartlari va ularning buzilishi oqibatlari o‘rganiladi. Masalaning nokorrekt holga
o‘tishi yechimning mavjud emasligi, yagonalikning yo‘qligi yoki barqarorlikning
buzilishiga olib kelishi mumkin. Ayniqsa, chegaraviy shartlarn
ing to‘liq bajarilishi,
xususan Dirixle sharti, masalaning korrektivligi uchun muhim omil hisoblanadi.
Shu nuqtai nazardan, ushbu tadqiqot to‘lqin jarayonlarini tahlil qilishda muhim
nazariy va amaliy ahamiyatga ega.
Aytaylik,
,0
{0
}
D
t
x
a
p
p
=
< <
< <
(x,t ) tekisligida berilgan soha, bu
yerda
- doimiy musbat son
( , ) ( )
U x t
D
О
funksiyani to‘lqin tenglamasi uchun
Dirixle masalasining yechimi deb ataymiz, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
68
2
0
tt
xx
U
U
a
-
=
(1)
( ,0)
( ), ( , )
( ),0
t
t
U x
x U x T
x
x T
j
y
=
=
Ј
Ј
(2)
(0, )
( , )
0,0
U
t
U l t
t l
=
=
Ј Ј
(3)
bu yerda
( )
x
j
,
( )
x
y
uzluksiz funksiyalar. (1)-(3) masala yechimining
{ , , }
j y a
boshlangʻich berilganlarga uzluksiz bogʻliqligi yo‘q.
( , )
U x t
funksiya
topilsin.
Yechimni quyidagi ko‘rinishda izlaymiz:
Xos funksiyalarni topish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulini qo'llaymiz:
( , )
( ) ( )
U x t
X x T t
=
(4)
Tenglamaga qo'yamiz:
''
2
''
( ) ( )
( ) ( )
X x T t
a X x T t
=
''
''
2
( )
( )
( )
( )
T t
X x
a T t
X x
l
=
= -
Bu bizga ikkita oddiy differensial tenglama beradi.
1.
Fazoviy qism:
''
( )
( )
0
X x
X x
l
+
=
(5)
2.
Vaqt qismi:
''
2
( )
( )
0
T t
a T t
l
+
=
(6)
Fazoviy tenglama uchun xos qiymatlar masalasini yechamiz.
a)
0
l
<
holatida:
( )
x
x
X x
Ae
Be
l
l
-
-
=
+
Chegaraviy shartlarni qo'llasak:
(0)
0
X
A B
=
+
=
( )
0
x
x
X l
Ae
Be
l
l
-
- -
=
+
=
Bu faqat A=B=0 da bajariladi. Bu biz uchun ahamiyatsiz yechim.
b)
0
l
=
holatida:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
69
( )
X x
Ax
B
=
+
Chegaraviy shartlarni qo'llasak:
(0)
0
X
B
=
=
( )
0
0
X l
Al
A
=
= ®
=
Bu yechim ham biz uchun kerak emas.
c)
0
l
>
holatida:
( )
cos(
)
sin(
)
X x
A
x
B
x
l
l
=
+
Yana chegaraviy shartlarni qo‘llasak:
(0)
0
X
A
=
=
( )
sin(
)
0
X l
B
l
l
=
=
Rtivial bo‘lmagan yechim uchun:
sin(
)
0
,
1,2,3,...
l
l
k k
l
l
p
= ®
=
=
2
k
k
l
p
l
ж цч
з
=
ч
з
ч
зи ш
Xos sonni topib oldik. Endi esa Xos funksiyani topamiz.
( ) sin
,
1,2,3,...
k
kx
X x
k
l
p
ж
цч
з
=
=
ч
з
ч
зи
ш
Har bir
k
l
uchun vaqt tenglamasini tuzamiz.
k
l
ni olib borib (6) formulaga
qo‘yamiz.
2
''
( )
( )
0
k
k
a k
T t
T t
l
p
ж
ц
ч
з
+
=
ч
з
ч
зи
ш
(7)
Har bir
k
l
uchun vaqt tenglamasini tuzganimizdan so‘ng umumiy
tenglamasini ham tuzib olamiz, ya’ni (7) tenglikni (4) tenglikka olib borib
qo‘yamiz:
( )
cos
sin
k
k
k
k
k
T t
a
at b
at
l
l
=
+
,
1
2
( , )
cos
sin
sin
,
k
k
k
k
k
k
U x t
a
at
b
at
x k N
l
l
l
l
Ґ
=
й
щ
=
+
О
к
ъ
л
ы
е
(8)
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
70
Umumiy tenglamani tuzib olganimizdan keyin uni boshlang‘ich shartlarga
qo‘yamiz .
k
a
va
k
b
larni topib olamiz.
1
2
( , )
sin
cos
sin
,
t
k
k
k
k
k
k
k
k
U x t
a
a
at
b
a
at
x k N
l
l
l
l
l
l
Ґ
=
й
щ
=
-
+
О
к
ъ
л
ы
е
1
2
( ,0)
*0
*1
sin
( ),
t
k
k
k
k
k
k
U x
a
a
b
a
x
x k N
l
l
l
l
j
Ґ
=
й
щ
=
-
+
=
О
к
ъ
л
ы
е
,
1
2
( , )
sin
cos
sin
( ),
t
k
k
k
k
k
k
k
k
U x T
a
a
aT b
a
aT
x
x k N
l
=
=
−
+
=
0
2
( )sin
l
k
k
x
xdx
l
j
j
l
=
т
®
1
2
( )
sin
k
k
k
x
xdx
l
j
j
l
Ґ
=
=
е
,
[
]
1
1
2
2
*0
*1
sin
sin
k
k
k
k
k
k
k
k
a
b
a
x
x
l
l
l
l
j
l
Ґ
Ґ
=
=
-
+
=
е
е
,
k
k
k
l
b
a k
a
j
p
l
=
=
’
1
1
( )
sin
k
k x
x
k
l
p
j
Ґ
=
=
е
(9)
1
( , )
sin
sin
k
k at
k x
U x t
l
l
p
p
Ґ
=
=
е
(10)
k
b
ni topib oldik. Endi
k
a
ni
k
b
orqali topib olamiz.
1
1
2
2
cos
sin
sin
sin
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
aT
b
aT
a
x
x
l
l
l
l
l
l
y
l
Ґ
Ґ
=
=
й
щ
+
=
к
ъ
л
ы
е
е
,
cos
k
k
k
k
k
k
a
tg
aT
aT
a
y
j
l
l
l
=
-
.
(11)
k
a
va
k
b
larni topib oldik. Endi (9) va (11) tengliklarni olib borib U(x,t)
funksiyaga qo‘yamiz.
1
2
( , )
sin
cos
sin
cos
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
U x t
tg
aT
a
at
a
at
x
l
aT
a
a
y
j
j
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Ґ
=
й
щ
ж
ц
ж
ц
ч
ч
з
з
к
ъ
ч
ч
з
з
=
-
-
+
ч
ч
к
ъ
з
з
ч
ч
ч
ч
з
з
и
ш
и
ш
к
ъ
л
ы
е
Yuqoridagi U(x,t) funksiyani soddalashtirib qo‘yamiz.
1
2
( , )
sin
k
k
k
k
U x t
x
l
y
l
Ґ
=
=
е
1
1
( , )
sin
sin
k
l
k at
k x
U x t
a
k
l
l
p
p
p
Ґ
=
®
=
е
.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
71
Bu qator yaqinlashmaydi, chunki
1
k
qatori divergens.
Yuqoridagi masalani endi yagonalik shartiga tekshiramiz.
Teorema:
Berilgan boshlang'ich va chegaraviy shartlar uchun to'lqin
tenglamasining Dirixle masalasi yagona yechimga ega.
Isbot:
Faraz qilaylik,
1
U
va
2
U
ikkita yechim bo'lsin.
1
2
U
U
U
=
-
ayirma uchun
2
0
tt
xx
U
a U
-
=
funksiya,
(0, )
( , )
0
U
t
U l t
=
=
chegaraviy va
( ,0)
0, ( ,0)
0
t
U x
U x
=
=
boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsin.
Energiya usuli orqali energiya funksionalini aniqlaymiz:
(
)
2
2
2
0
( )
l
t
x
E t
U
a U
=
+
т
Energiyaning o'zgarishini hisoblaymiz:
(
)
(
)
[
]
2
2
2
0
0
0
|
0
l
l
l
tt
t
x
xt
t
x
t
x
dE
U U
a U U dx a
U U dx a U U
dt
x
¶
=
+
=
=
=
¶
т
т
Demak,
( )
(0) 0
E t
const
E
=
=
=
,
( )
0
0
t
E t
U
= Ю
=
va
0
x
U
U
const
= Ю =
ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi masalaning yagona
yechimi mavjud. Ammo bu masala turg‘unlik shartini bajarmaydi.
Xulosa
Ushbu ishda to‘lqin tenglamasi uchun Dirixle masalasining
korrektivlik
shartlari tahlil qilindi va bu shartlarning buzilishi natijasida masalaning nokorrekt
holatga o‘tishi ko‘rsatildi. Tadqiqot natijalariga ko‘ra, boshlang‘ich va chegaraviy
shartlarning to‘liq bajarilishi yechimning mavjudligi, yagonaligi va bar
qarorligini
ta'minlaydi. Dirixle shartining buzilishi esa yechim sezuvchanligini oshirib, amaliy
hisoblarda jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin. Shuningdek, energiya usuli
yordamida masalaning yagonaligi isbotlandi. Bu natijalar matematik
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-46
_ Том
-6_
июнь
-2025
72
modellashtirish va raqamli hisoblashlarda muhim ahamiyat kasb etadi. Ushbu
maqola “Nokorrekt va teskari masalalar” fanidan mustaqil ta’lim sifatida yozildi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
K.S.Fayazov, I.O.Xajiyev - Nokorrekt va teskari masalalar
2.
Sergey I. Kabanikhin
–
Inverse and Ill-posed Problems: Theory
and Applications
3.
Albert Tarantola
–
Inverse Problem Theory and Methods for
Model Parameter Estimation
4.
Michael S. Zhdanov
–
Geophysical Inverse Theory and
Regularization Problems
