https://scientific-jl.com/luch/
Часть-44_ Том-2_ Май-2025
13
FUNKSIYA HOSILASI GEOMETRIK VA MEXANIK MA’NOLARI
Xaydarova Shohista Muydinovna
Qo‘qon davlat universiteti akademik litsey o’qituvchisi
Annotatsiya. Ushbu maqolada funksiya hosilasi geometrik va mexanik
ma’nolari haqida fikr yuritilib, u haqida ayrim misollar yordamida tushintirilgan.
Shuningdek, maqolada, matematika sohasidagi ayrim nomutonosiblik haqida ham
to‘xtalib o‘tilgan.
Kalit so‘zlar. Hosila, differensial hisob, geometriya, mehanika, funksiya,
egri chiziq, tekshirish, yechish.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Хайдарова Шохиста Муйдиновна
Преподаватель академического лицея Кокандского государственного
университета
Абстрактный. В данной статье рассматривается геометрический и
механический смысл производной функции и поясняется на некоторых
примерах. В статье также обсуждаются некоторые различия в области
математики.
Ключевые слова. Производная, дифференциальное исчисление,
геометрия, механика, функция, кривая, проверка, решение.
GEOMETRIC AND MECHANICAL MEANING OF THE
DERIVATIVE OF A FUNCTION
Khaydarova Shohista Muydinovna
Teacher of the Academic Lyceum of Kokand State University
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-44_ Том-2_ Май-2025
14
Annotation. This article discusses the geometric and mechanical meanings
of the derivative of a function and explains it using some examples. The article
also discusses some inequalities in the field of mathematics.
Keywords. Derivative, differential calculus, geometry, mechanics, function,
curve, verification, solution.
Differensial hisob
– matematikaning hosilalar va differensiallarni hisoblash,
ularning xossalarini o`rganish hamda funksiyalarni tekshirishga tatbiq qilish bilan
shug`ullanadigan bo`limi.
Differensial hisobning vujudga kelishidagi dastlabki ishlar egri chiziqqa
urinma o`tkazish masalasini yechishda Ferma, Dekart va boshqa matematiklar
tomonidan qilingan. I.Nyuton va G.Leybnits o‘zlaridan avvalgi matematiklarning
bu boradagi ishlarini nihoyasiga yetkazdilar.
Hosila tushunchasiga olib keladigan masalalar.
Hosila tushunchasiga olib
keladigan masalalar jumlasiga qattiq jismni to`g`ri chiziqli harakatini, yuqoriga
vertikal holda otilgan jismning harakatini yoki dvigatel silindridagi porshen
harakatini tekshirish kabi masalalarni kiritish mumkin. Bunday harakatlarni
tekshirganda jismning konkret o`lchamlarini va shaklini e‘tiborga olmay, uni
harakat qiluvchi moddiy nuqta shaklida tasavvur qilamiz. Biz bitta masalani olib
qaraymiz.[1]
Harakat tezligi masalasi
.
Aytaylik, M moddiy nuqtaning to`g`ri chiziqli
harakat qonuniga ko`ra uning
t=t
0
paytdagi tezligini (oniy tezligini) topish talab
qilinsin.
Nuqtaning
vaqtlar
orasidagi
bosib
o`tgan
yo`li
bo`ladi. Uning shu vaqtdagi o`rtacha tezligi
ga
teng.
Ma’lumki,
qanchalik
kichik
bo`lsa,
o'rtacha tezlik nuqtaning
t
0
paytdagi tezligiga shunchalik yaqin
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-44_ Том-2_ Май-2025
15
bo`ladi. Shuning uchun nuqtaning
t
0
paytdagi tezligi quyidagi limitdan
iborat.
Fuksiya
hosilasi.
y=f(x)
funksiya
(a,b)
intervalda
aniqlangan
bo`lsin,
(a,b)
intervalga tegishli
x
0
va
x
0
+
nuqtalarni olamiz.
Argument biror (musbat yoki manfiy - bari bir)
orttirmasini olsin, u
vaqtda
y
funksiya
biror
orttirmani
oladi.
Shunday
qilib
argumentning
x
0
qiymatida
y
0
=f(x
0
)
ga,
argumentning
x
0
+
qiymatda
ga ega bo`lamiz. Funksiya orttirmasi
ni topamiz
Funksiya orttirmasini argument orttirmasiga nisbatini tuzamiz.
Bu – nisbatning
0
dagi limitini topamiz.
Agar bu limit mavjud bo`lsa, u berilgan
f(x)
funksiyaning
x
0
nuqtadagi
hosilasi deyiladi va
bilan belgilanadi. Shunday qilib,
yoki
Ta’rif.
Berilgan
y=f(x)
funksiyaning argument
x
bo`yicha hosilasi deb,
argument orttirmasi
ixtiyoriy ravishda nolga intilganda funksiya
orttirmasi
ning argument orttirmasi
ga nisbatining limitiga aytiladi.[2]
Umumiy holda
x
ning har bir qiymati uchun
hosila ma’lum
qiymatga ega, ya’ni hosila ham x ning funksiyasi bo`lishini qayd qilamiz.
Hosilada
belgi bilan birga boshqacha belgilar ham ishlatiladi.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-44_ Том-2_ Май-2025
16
Hosilaning
x=a
dagi konkret qiymati
yoki
bilan belgilanadi.
Funksiya hosilasini hosila ta'rifiga ko`ra hisoblashni ko`ramiz.
Misol:
funksiya berilgan, uning:
1) ixtiyoriy
x
nuqtadagi va 2)
x=5
nuqtadagi hosilasi topilsin. [3]
Yechish:
1) argumentning
x
ga teng qiymatida
ga teng.
Argument
qiymatida
ga ega bo`lamiz.
nisbatni tuzamiz.
Limitga o‘tib, berilgan funksiyadan hosila
topamiz.
Demak,
funksiyaning
ixtiyoriy
nuqtadagi
hosilasi
x=5
da
Hosilaning geometrik va mexanik ma’nosi.
Harakat qiluvchi jismning
tezligini tekshirish natijasida, ya’ni mexanik tasavvurlardan chiqib borib, hosila
tushunchasiga keldik. Endi hosilaning
geometrik ma’nosini
beramiz.
Bizga berilgan
y
=
f
(
x
) funksiya
x
nuqta va uning atrofida aniqlangan bo`lsin.
Argument
x
ning biror qiymatida
y
=
f
(
x
) funksiya aniq qiymatga ega bo`ladi, biz
uni
M
0
(
x
0
;
y
0
) deb belgilaylik. Argumentga
orttirma beramiz va natija
funksiyaning
orttirilgan
qiymati
to`g`ri
keladi.
Bu
nuqtani
M
1
(
x
+
,
y
+
)
deb
belgilaymiz
va
M
0
kesuvchi
o`tkazib
uning
OX
o`qining musbat yo`nalishi bilan tashkil etgan burchagini bilan
belgilaymiz.[4]
https://scientific-jl.com/luch/
Часть-44_ Том-2_ Май-2025
17
Endi
nisbatni qaraymiz. Rasmdan ko`rinadiki,
ga teng.
M
0
M
1
kesuvchi esa
M
0
nuqtadan o`tuvchi urinma holatiga intiladi.
Urinmaning burchak koeffitsienti quyidagicha topiladi
Demak,
,
ya’ni,
argument
x
ning
berilgan
qiymatida
hosilaning qiymati
f
(
x
) funksiyaning grafigiga uning
M
0
(
x
0
;y
0
)
nuqtasidagi urinmaning
OX
o`qining musbat yo`nalishi bilan hosil qilgan burchak
tangensiga, ya’ni burchak
koeffitsiyentiga
teng.
Hosilaning
mexanik ma`nosi tezlikni bildiradi
, ya’ni mоddiy nuqtаning
t
vаqt
ichidаgi S mаsоfаni bоsish uchun hаrаkаtdаgi tеzligini tоpishdаn ibоrаt.
Fоydаlanilgаn аdаbiyotlаr.
1.
A. A. Abduhamidov, X. A. Nasomov, U. M. Nosirov, J. H. Husanov
“Algebra va matematik analiz asoslari” Akademik litseylar uchun darslik. T/
O‘qituvchi/ 2011 yil. 1-2 qism
2.
Т. Азларов, Ҳ. Мансуров. “Mатематик анализ асослари” 1-қисм
3-нашр Тошкент “Университет” 2005 й.
3.
Г. М. Фихтенгольц. “Математик анализ асослари” Т. Ўқитувчи
1972 йил.
4.
Т. Тўлаганов. “Элементар математика”. Ўқитувчи, 1997, Т
5.
М.И.Башмаков, Б.М.Беккер, В.М.Гольховой. Задачи по
математике. Алгебра и анализ. Наука. Москва 1882 г
6.
Тошметов Ў., Тургунбаев Р. Математик таҳлилдан мисол ва
масалалар тўплами. 1-қисм. Т.ТДПУ. 2006 й
