Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
44-son_2-to’plam_May-2025
ISSN: 3030-3621
251
ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK TENGLAMASI UCHUN
UMUMLASHGAN KOSHI MASALASI
Tanirbergenov Muratbek Bazarbaevich,
Qoraqalpoq davlat universiteti, dotsent,
tanirbergenovmuratbek384@gmail.com
+998913845097
Sobitov Sardorbek Oybek oʻgʻli,
Qoraqalpoq davlat universiteti, 2-kurs magistranti
sobitovsardorbek0425@gmail.com, +998931200425
Annotatsiya:
ushbu maqolada issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun
umumlashgan Koshi masalasi ko’rib chiqilgan. Avval klassik Koshi masalasi
tushunchasi, keyin esa u umumlashtirilgan holda bayon etiladi. Puasson formulasi
yordamida umumlashgan yechim ikki issiqlik potensiali ko’rinishida ifodalanadi.
Maqolada fundamental yechimlar, issiqlik tarqalish operatori va umumlashgan
funksiyalar sinflari ko’rsatilib, misol asosida amaliy yechim ko’rsatiladi.
Kalit so’zlar:
issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi, umumlashgan yechim,
Puasson formulasi, issiqlik potensiali, fundamental yechim, issiqlik o’tkazuvchanlik
operatori.
Kirish
Qattiq jismlar va muhitlar orqali issiqlik tarqalishini modellashtirishda issiqlik
o‘tkazuvchanlik tenglamasi muhim o‘rin tutadi. Bu tenglama fizikaviy jarayonlarning
matematik modeli bo‘lib, turli sohalarda, xususan, muhandislik va tabiiy fanlarda keng
qo‘llaniladi. Mazkur maqolada ushbu tenglama uchun Koshi masalasining
umumlashtirilgan ko‘rinishi o‘rganiladi. Umumlashgan yechimlar sinfi, tegishli
teoremalar va fundamental yechimlar yordamida masalaning nazariy asoslari yoritiladi
hamda misol asosida amaliy qo‘llanilishi ko‘rsatiladi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi deganda
sinfga tegishli va
uchun quyidagi tenglamani
(1)
va ushbu boshlang’ich
(2)
shartni qanoatlantiruvchi
funksiyasini topish masalasi tushuniladi, bunda
va
- berilgan funksiyalar.
2
(
0)
(
0)
C t
C t
,
0
n
x
t
2
( , )
t
u
a
u
f x t
0
0
( )
t
u
u x
( , )
u x t
( , )
f x y
0
( )
u x
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
44-son_2-to’plam_May-2025
ISSN: 3030-3621
252
Agar
- (1)-(2) klassik Koshi masalasining yechimi bo’lsa va
funksiyasi
da nolga teng bo’lib davom etsa, ya’ni
bo’lsa, u holda
funksiyasi umumlashgan ma’noda quyidagi tenglamani
qanoatlantiradi:
(3)
Agar
va
da
bo’lsa, u holda
da nolga aylanadigan
va
da issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiruvchi umumlashgan
funksiyani topish masalasiga – issiqlik tarqalish tenglamasi uchun
umumlashgan Koshi masalasi deyiladi:
(4)
orqali
da
aniqlangan,
da nolga aylanadigan va har bir
uchun quyidagi
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
funksiyalar sinfini belgilaymiz (
).
bilan esa
da aniqlangan va
da quyidagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi
funksiyalar sinfini belgilaymiz:
Teorema [1, 2].
Agar
, bunda
va
, bo’lsa, u holda (3) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’ladi va
bu yechim
sinfida aniqlangan ikkita issiqlik potensiallari yig’indisi ko’rinishida
ifodalanadi (Puasson formulasi):
(5)
Bunda
va
funksiyasi quyidagi issiqlik o’tkazuvchanlik operatorini qanoatlantiruvchi
fundamental yechim:
( , )
u x t
( , )
f x y
C
0
t
,
0,
0,
0.
f
t
f
t
( , )
u x t
1
( , )
(
)
n
F x t
D
0
t
( , )
0
F x t
0
t
1
n
u
D
1
n
0
t
0
,
t
T
n
x
2
,
( , )
( )
x
T
f x t
C
f e
( , )
f x y
0
0
n
0
2
( , )
x
f x t
C e
0
( , )
( , )
( ) ( )
F x t
f x t
u x
t
( , )
f x t
0
0
u
(0)
( , )
( , )
( , )
u x t
V x t
V
x t
2
4(
)
0
2
( , )
( , )
( , )
( , )
4 (
)
x
t
t
n
f
V x t
f x t
x t
e
d d
t
E
2
(0)
4
0
0
2
( )
( , )
( ) ( )
( , )
( )
4
x
t
n
t
V
x t
u x
t
x t
u
e
d
t
E
( , )
x t
E
2
0
( , )
( ) ( )
t
u
a
u
f x t
u x
t
2
( , )
t
u
a
u
F x t
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
44-son_2-to’plam_May-2025
ISSN: 3030-3621
253
Misol [3].
Quyidagi issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasining
yechimini toping:
Yechish.
Bu misol uchun umumlashgan Koshi masalasi quyidagicha bo’ladi:
Ushbu masalaning umumlashgan funksiyalardagi yechimi o’ram orqali topiladi.
Buning uchun
- issiqlik sirt potensiali va quyidagi
ma’lum tengliklardan foydalanamiz:
1)
2)
2
( , )
a
x t
t
0
cos
cos
t
t
xx
t
u
u
e
x
u
x
( )
cos
( ) cos
t
t
xx
u
u
t e
x
t
x
(0)
( , )
( , )
( ) cos
V
x t
x t
t
x
E
2
2
2
2
4
0
cos
2
e
d
e
2
2
4
( )
( , )
2
x
a t
t
x t
e
a
E
1
( , )
( ) cos
( , ) cos
cos
(
, )
R
x t
t
x
x t
x
x
t d
E
E
E
2
1
2
(
)
4
1
1,
,
( )
4
cos
1
2
,
.
2
x
t
R
t
t
e
d
t
x
t
2
4
( )
cos(
)
2
t
t
e
x d
t
2
2
4
4
( )
cos
cos
sin
sin
2
t
t
t
x
e
d
x
e
d
t
1
1
( ) cos
( ) cos
1
2
2
t
t
t
x
e
t
x e
t
t
2
( )
cos
(
,
)
R
e
E x
t
d d
Ta'lim innovatsiyasi va integratsiyasi
44-son_2-to’plam_May-2025
ISSN: 3030-3621
254
Ushbu hisoblangan natijalarga ko’ra oxirgi javob quyidagicha bo’ladi:
Xulosa
Maqolada issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi
masalasi o’rganildi. Puasson formulasidan foydalanib nazariyaning amaliyotda
foydalanilishi ko’rsatildi. Ushbu yondashuv matematik fizika masalalarini nazariy va
amaliy yechishda muhim ahamiyatga ega.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва, «Наука»,
1976 г., 225-230 b.
2.
Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. Москва,
«Наука», 1979 г., 320 b.
3.
В.С. Владимирова, Москва, ФИЗМАТЛИТ, Сборник задач по уравнениям
математической физики // Под редакцией, 2001., 159-160 b.
Tanirbergenov Muratbek Bazarbaevich
Qoraqalpoq davlat universiteti, dotsent
e-mail:
Sobitov Sardorbek Oybek o’g’li
Qoraqalpoq davlat universiteti, 2-kurs magistrant
e-mail: sobitovsardorbek0425@gmail.com
2
2
(
)
4(
)
(
)
( )
cos
2
(
)
x
t
R
t
e
e
d d
t
2
2
1
(
)
4(
)
4(
)
0
0
cos
cos(
)
2
(
)
2
(
)
x
t
t
t
t
t
R
e
e
e
d d
x e
d
d
t
t
2
2
4(
)
4(
)
0
cos
cos
sin
sin
2
(
)
t
t
t
t
e
x
e
d
x
e
d
d
t
(
)
0
0
cos
cos
cos
t
t
t
t
t
t
e
x e
d
x e
d
te
x
( , )
(
( ))
cos
(1
) cos ,
t
u x t
t
t e
x
t
x
0
t
