ISSN (E): 2992-9148 SJIF 2024 = 5.333
ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2024
VOLUME-2, ISSUE-7
30
GAMILTON
KELI TEOREMASI
M.B.OTAMURODOV
O‘zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti 2-kurs talabasi
mehrojiddinotamurodov@gmail.com
S.P.PO‘LATOV
O‘zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti ‘‘Matematika-informatika”
kafedrasi assistenti
suratjonpolatov@gmail.com
Annotatsiya:
Ushbu maqola Gamilton
Keli teoremasining isbotlariga
bag‘ishlangan bo‘lib, bunda teorema orqali bir nechta olimpiada misollari ishlab
tushuntirilgan.
Bundan tashqari Matritsaning xarakteristik ko‘phadi va
Schur
uchburchak teoremasi
ham keltirib o
‘
tilgan.
Kalit so‘zlar:
Matritsa,
Unitar matritsa, birlik matritsa, nol matritsa,
transponir, xos son, matritsa izi, matritsa determinanti, matritsaning xarakteristik
ko‘phadi, yuqori uchburchakli matritsa.
Ushbu maqolada Unitar matritsa, Schur uchburchak teoremasi va
Matritsaning xarakteristik ko‘phadi haqida aytib o‘tilgan. Matritsaning xarakteristik
ko‘phadini tuzishga oid misollar ishlab ko‘rsatilgan. Shu bilan birga talabalar
o‘rtasidagi olimpiadalarda juda keng qo‘llaniladigan Gamilton
Keli teoremasi
isboti va ba’zi olimpiada misollari ishlab ko‘rsatilgan.
Ta’rif.
n
U
M
matritsa berilgan bo‘lsin.
U
orqali
U
ning qo‘shma
transponirini (
U
ni transponirlab har bir elementining qo‘shmasini olganimizni,
ravshanki haqiqiy matritsalarda
T
U
U
) belgilaymiz. Agar
UU
I
bo‘lsa
U
ga
Unitar matritsa
deyiladi. Bunda
I
U
ning o‘lchamiga mos
birlik matritsa
.
Teorema.
(Schur uchburchak teoremasi)
Har bir
n
A
M
matritsani
A
UTU
shaklga keltirish mumkin, bunda
U
unitar matritsa,
T
esa yuqori
uchburchakli matritsa (diagonalidan pastki elementlari 0 ga teng bo‘lgan matritsa).
Ta’rif.
Ushbu
det
n
P x
xI
A
ko‘phadga
n
A
M
Matritsaning
xarakteristik ko‘phadi
deyiladi. Ravshanki xarakteristik ko‘phadning ildizlari
A
matritsaning
1
2
,
,...,
n
xos sonlaridan iborat. Shunga ko‘ra
P x
bu yerda
x
ni
kompleks son shaklda ham yozsak bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki
P x
ko‘phad ushbu
shaklda to‘plamni to‘plamga akslantiradi. Agar bu yerdagi
x
o‘rniga son emas
matritsa qo‘ysak ravshanki endi
P x
ko‘phad
n
M
to‘plamni
n
M
ga
akslantiradi va uning shakli ham
1
2
n
P X
X
I
X
I
X
I
bu yerda
X
matritsaga o‘zgaradi.
ISSN (E): 2992-9148 SJIF 2024 = 5.333
ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2024
VOLUME-2, ISSUE-7
31
2
A
M
R
matritsaning xarakteristik ko‘phadining umumiy ko‘rinishi:
0
xI
A
yoki
2
1
2
0
x
x
.
Misol.
Berilgan matritsaning xarakteristik ko‘phadini tuzing:
1
2
0
2
A
.
Yechim.
1
2
0
2
A
matritsa xarakteristik ko‘phadining umumiy ko‘rinishi
quyidagicha:
2
1
2
0
x
x
. Bu yerda
1
1 2
3
x
(bosh dioganal elementlari
yig‘indisi),
2
det
1 2 0 2
2
x
A
(
A
matritsaning determinanti). Demak
xarakteristik ko‘phadning umumiy ko‘rinishi quyidagicha ekan:
2
3
2
0
.
3
( )
A
M R
matritsaning xarakteristik ko‘phadining umumiy ko‘rinishi:
0
xI
A
yoki
3
2
1
2
3
0
x
x
x
.
Misol.
Berilgan matritsaning xarakteristik ko‘phadini tuzing:
8
6
2
6
7
4
2
4
3
A
.
Yechim.
8
6
2
6
7
4
2
4
3
A
matritsaning xarakteristik ko‘phadining umumiy
ko‘rinishi quyidagicha:
3
2
1
2
3
0
x
x
x
. Bu yerda
1
8 7 3 18
x
(bosh
dioganal elementlari yig‘indisi),
2
8
6
7
4
8
2
5 20 20
45
6
7
4
3
2
3
x
(bosh
dioganal elementlari kombinatsiyasidagi
2 2
matritsalar determinantlari
yig‘indisi),
3
8
6
2
det
6
7
4
60 40 20
0
2
4
3
x
A
(
A
matritsaning determinanti).
Demak xarakteristik ko‘phadning umumiy ko‘rinishi quyidagicha ekan:
3
2
18
45
0
.
Misol.
Berilgan matritsaning xarakteristik ko‘phadini tuzing:
1
3
2
4
A
va
P A
O
ni tekshiring.
Yechim.
1
3
2
4
A
matritsaning xarakteristik ko‘phadini
0
xI
A
bu
ko‘rinishda qidirsak.
ISSN (E): 2992-9148 SJIF 2024 = 5.333
ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2024
VOLUME-2, ISSUE-7
32
2
1
0
1
2
1
2
1
4
6
5
2
0
0
1
3 4
3
4
x
xI
A
x
x
x
x
x
x
.
Endi
P A
O
mi tekshirsak:
2
1
3
1
3
1
3
1
0
7
15
5
15
2
0
0 0
5
2
5
2
2
4
2
4
2
4
0 1
10
22
10
20
0
2
0 0
P A
A
A
I
Teorema. (Gamilton
Keli teoremasi)
P x
A
matritsaning xarakteristik
ko‘phadi bo‘lsa
P A
O
tenglik o‘rinli. Bu yerda
O
A
ning o‘lchamiga mos
nol
matritsa
.
Isbot.
Ta’rifga ko‘ra
1
2
n
P A
A
I
A
I
A
I
. Biz o‘ng
tomondagi matritsalar ko‘paytmasini 0 ga tengligini ko‘rsatishimiz kerak. Schur
uchburchak teoremasiga ko‘ra biz
A
ni
A
UTU
shaklga keltira olamiz (
U
unitar,
T
yuqori uchburchakli matritsalar). Bundan foydalansak
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
n
n
n
n
n
P A
A
I
A
I
A
I
UTU
I
UTU
I
UTU
I
UTU
UU
UTU
UU
UTU
UU
U T
I U U T
I U U T
I U
U T
I U
U T
I
T
I
T
I
T
I U
[
T
ning yuqori uchburchakli matritsa ekanligini hisobga olsak, bilamizki
T
ning
dioganalida
1
2
,
,...,
n
xos sonlar joylashadi.]
ISSN (E): 2992-9148 SJIF 2024 = 5.333
ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2024
VOLUME-2, ISSUE-7
33
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
U
U
U
1
1
2
2
3
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
n
U
U
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
U
U
Misol.
A
va
B
2 2
matritsalarning determinanti
1
ga teng bo‘lsin. U holda
quyidagini isbotlang:
1
0
tr AB
tr A tr B
tr AB
.
Yechim.
Gamilton
Keli teoremasiga ko‘ra
2
2
2
B
tr B B
I
O
.
Chap tomondan
1
AB
ga ko‘paytirsak:
1
2
AB tr B A
AB
O
Natijani olish uchun ikkala tomonni ham izini olib yuborsak.
1
0
tr AB
tr A tr B
tr AB
.
Misol.
A
va
B
3 3
matritsalar bo‘lsin. Isbotlang:
3
det
3
tr
AB
BA
AB
BA
.
Yechim.
Gamilton
Keli teoremasiga ko‘ra
3
2
1
2
3 3
3
AB
BA
c AB
BA
c
AB
BA
c I
O
Bu yerda
1
0
c
tr AB
BA
va
3
det
c
AB
BA
. Izini olib,
AB
BA
ni izi
0
ekanligidan foydalanib,
3
3det
0
tr
AB
BA
AB
BA
ISSN (E): 2992-9148 SJIF 2024 = 5.333
ResearchBib Impact Factor: 9.576 / 2024
VOLUME-2, ISSUE-7
34
ni olamiz va tenglik isbotlandi.
Misol.
Har bir
2
A
M
matritsa uchun
2
2
A
B
C
tenglik
qanoatlantiradigan shunday
2
,
B C
M
matritsalar mavjudligini ko‘rsating.
Yechim.
2 2
matritsalar Gamilton
Keli teoremasiga ko‘ra quyidagi shartni
qanoatlantiradi:
2
2
det
A
trA A
A I
O
.
Cheksiz katta
t
lar uchun
lim
t
tr A tI
va
det
lim
t
A tI
t
tr A tI
lar
o‘rinli.
Demak
1
B
A tI
tr A tI
va
0
1
det
1 0
A tI
C
t
tr A tI
lar topilar ekan.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
www.mathresource.iitb.ac.in/linear%20algebra/chapter2.0.html
2.
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
3.
www.slideshare.net/moneebakhtar50/application-of-matrices-in-real-life
4.
www.youtube.com/watch?v=jzHb1R5wWYU
5.
www.clarkson.edu/~pmarzocc/AE430/Matlab_Eig.pdf
2
2
2
2
2
2
2
det
1
det
1
0
1
det
1
1 0
A tI
A
A tI
tI
A tI
t I
tr A tI
tr A tI
A tI
A tI
t
I
tr A tI
tr A tI
A tI
A tI
t
B
C
tr A tI
tr A tI
