Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
33
YUQORI TARTIBLI HOSILALAR VA DIFFERENSIALLARNING
NAZARIY ASOSLARI VA AMALIY QO’LLANILISHI
Qurbonov Shuhrat Zarifovich
QDTU Shahrisabz oziq-ovqat muhandisligi fakulteti mustaqil izlanuvchisi
Mamajonova Sarvinozxon Odiljon qizi
QDTU Shahrisabz oziq-ovqat muhandisligi fakulteti 1-kurs talabasi
Anotatsiya: Ushbu maqolada matematik analizning muhim bo‘limlaridan
biri bo‘lgan yuqori tartibli hosilalar va differensiallar tushunchasi o‘rganiladi.
Hosilaning ta’rifi, geometrik va fizik ma’nosi, yuqori tartibli hosilalarning
funksiyalar tahlilidagi o‘rni, shuningdek, amaliy masalalarda qo‘llanilishi tahlil
qilinadi. Shuningdek, yuqori tartibli differensiallarning aniqlanishi va ularning
differensial tenglamalar bilan bog‘liqligi muhokama qilinadi. Maqolada nazariy
tushunchalar bilan bir qatorda amaliy misollar ham keltirilgan.
Kalit so‘zlar: Yuqori tartibli hosila, differensial, funksiyalar, differensial
tenglama, matematik analiz, integral, Teylor qatori, fizik interpretatsiya.
Kirish
Matematik analizda hosila tushunchasi funksiyaning o‘zgarishini tahlil
qilishda asosiy vositalardan biridir. Hosila funksiyaning biror nuqtadagi o‘sish yoki
kamayish tezligini aniqlab beradi [1]. Bu tushuncha birinchi marta fizika fanida
harakatdagi jismlarning tezligini ifodalash uchun joriy qilingan bo‘lsa-da, hozirda u
matematikadan tortib iqtisodiyot, biologiya va muhandislik kabi ko‘plab fan
sohalarida keng qo‘llanilmoqda [2].
Hosila – bu funksiyaning o‘zgarishiga berilgan miqdoriy bahodir. Birinchi
tartibli hosila funksiyaning eng oddiy o‘zgarish tezligini bildiradi. Biroq, ko‘plab
amaliy va nazariy masalalarda funksiyaning faqat o‘zgarish tezligini emas, balki bu
o‘zgarishning qanday o‘zgarishini ham bilish muhim hisoblanadi [3]. Ana shunday
hollarda
yuqori tartibli hosilalar
va
differensiallar
tushunchasi o‘z o‘rnini topadi.
y=f(x)
funksiya R da differensiallanuvchi bo’lsin.
Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
34
( )
f x
funksiyaning hosilasi
f(x)
funksiyaning 2- tartibli hosilasi deyiladi
va
( )
f
x
kabi belgilanadi.
Misol
ln sin
4
x
y
,
?
y
cos
1
1
4
ln sin
sin
4
4
4
4
4
sin
sin
4
4
x
x
x
x
x
y
ctg
x
x
2
2
1
1
1
1
4
4
4
4
sin
16sin
4
4
x
x
y
ctg
x
x
(
1)
( )
n
f
x
funksiyaning hosilasi
f(x)
funksiyaning n- tartibli hosilasi deyiladi
va
( )
( )
n
f
x
kabi belgilanadi.
Misol
4
3
x
y
,
(5)
?
y
4
4
4
3
3 ln 3* 4
4 ln 3*3
x
x
x
y
x
2
4
4
2
4
4 ln 3*3
4 ln 3*ln 3*3 * 4
4
ln 3 3
x
x
x
y
x
…
5
(5)
5
4
4
ln 3 3
x
y
Masalan, fizikada jismlarning tezliklari birinchi tartibli hosila yordamida,
tezlikning o‘zgarishi (ya'ni tezlanish) esa ikkinchi tartibli hosila orqali ifodalanadi
[4]. Shuningdek, texnikada, masalan, qurilish inshootlari barqarorligini baholashda
yuqori tartibli differensial tenglamalar yordamida model tuziladi [5].
Yuqori tartibli hosilalarni o‘rganish, shuningdek, funksiyaning Taylor qatori
orqali ifodalanishida muhim ahamiyat kasb etadi. Har qanday silliq funksiyani uning
yuqori tartibli hosilalari orqali ifodalash mumkinligi matematik tahlilda chuqur
tahlillarga olib keladi [6].
Ushbu maqolada biz yuqori tartibli hosila va differensiallarning nazariy
asoslarini ko‘rib chiqamiz, ularning qo‘llanilishini matematik formulalar va amaliy
misollar asosida yoritib beramiz.
y=f(x)
funksiya x
0
ning biror
(x
0
-δ,x
0
+δ)
atrofida aniqlangan va
Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
35
(
1)
( ),
( ),...,
( )
n
f x
f
x
f
x
hosilalarga ega va
(
1)
( )
n
f
x
hosila x
0
nuqtada uzluksiz bo’lsin.
U holda ushbu :
f x
=
0
f x
+
0
1!
f
x
0
x
x
+
0
2!
x
f
2
0
x
x
+…+
0
!
n
f
x
n
0
n
x
x
+
1
1 !
n
f
n
1
0
n
x
x
Bu yerda
=
0
0
x
x
x
,
0
1
formula o’rinli bo’ladi.
Agar
1
1 !
n
f
n
1
0
n
x
x
=
1
n
R
x
belgilash kiritsak :
f x
=
0
f x
+
0
1!
f
x
0
x
x
+
0
2!
x
f
2
0
x
x
+…+
0
!
n
f
x
n
0
n
x
x
+
1
n
R
x
(1)
hosil bo’ladi. (1) formula
Teylor formulasi
,
1
n
R
x
esa
Lagranj
ko’rinishidagi qoldiq had
deyiladi. n→∞ da
1
n
R
x
= 0 bo’ladi, shuning uchun:
f x
=
0
f x
+
0
1!
f
x
0
x
x
+
0
2!
x
f
2
0
x
x
+…+
0
!
n
f
x
n
0
n
x
x
bo’ladi.
Teylor formulasida x
0
= 0 bo’lsa,
f x
=
𝑓(0)
+
𝑓
′
(0)
1!
𝑥 +
2
0
2!
f
x
+
0
!
n
n
f
x
n
+
1
n
R
x
(2)
hosil bo’ladi. (2) formula
Makloren formulasi
deyiladi.
Endi
e
x
, sinx, cosx, ln(1+x)
funksiyalar uchun Makloren formulalarini
qo’llab yozamiz.
1)
f(x) = e
x
, f(0) = 1, f’(0) = 1, …. , f
(n)
(0) = 1
ekanligini hisobga olib,
2
e
1
1!
2!
!
n
x
x
x
x
n
hosil bo’ladi. n→∞ da
1
n
R
x
= 0
Xususan, x=1 da e≈
2
1
1!
2!
!
n
x
x
x
n
e sonini taqribiy hisoblash formulasi
hosil bo’ladi .
2)
f(x) = sinx, f(0) = 0, f
(n)
(x)= sin
(n)
x = sin(x+n
𝜋
2
),
Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
36
f
(n)
(0) = sin
(n)
0=sin
𝜋𝑛
2
=
1
2
0,
1
,
n
n
juft
n toq
f(x) = sinx =
5
1
3
7
2
1
( 1)
3!
5!
7!
(2
1)!
n
n
x
x
x
x
x
n
3)
f(x) = cosx, f(0) = 1, f
(n)
(x)= cos
(n)
x = cos(x+n
𝜋
2
),
f
(n)
(0) = cos
𝜋𝑛
2
=
2
0,
1
,
n
n toq
n
juft
f(x) = cosx =
6
2
4
2
1
( 1)
2!
4!
6!
(2 )!
n
n
x
x
x
x
n
4)
f(x)=ln(1+x) , f(0) = 0 , f
(n)
(x)=
1
( 1)
n
1 !
1
n
n
x
Dastlab, n-darajali hosilani topamiz:
( )
(ln(1
))
f x
x
=
1
1
(1
)
1
x
x
1
2
( )
((1
) )
( 1)(1
)
f
x
x
x
3
( )
( 1)( 2)(1
)
f
x
x
………………….
( )
1
1
(
1)!
( )
( 1)( 2)...(1
)(1
)
( 1)
(
1)!(1
)
( 1)
(1
)
n
n
n
n
n
n
n
f
x
n
x
n
x
x
Shunday qilib,
( )
1
(0)
( 1)
(
1)!
n
n
f
n
. Yuqoridagilarni hisobga olib,
ln(1+x)=
2
3
4
5
1
... ( 1)
2
3
4
5
n
n
x
x
x
x
x
x
n
Natija va muhokama
Yuqori tartibli hosilalarni o‘rganish natijasida quyidagi xulosalarga keldik:
Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
37
n-tartibli hosila
– bu funksiyaning n-marta differensiallanishi orqali
olinadigan ifodadir. Agar funksiya yetarlicha silliq bo‘lsa, u holda istalgan tartibda
hosila olish mumkin [1].
Taylor qatori yordamida funksiyaning yuqori tartibli hosilalari orqali
uning nuqta atrofidagi taqribiy qiymati aniqlanadi [6].
Fizikada harakatning tezlanishi, siljish, zarba va elastiklik kabi
tushunchalar yuqori tartibli hosilalar orqali ifodalanadi [4].
Yuqori tartibli differensiallar differensial tenglamalarni tuzish va
yechishda muhim ahamiyat kasb etadi [5].
Yuqori tartibli differensial tenglamalar yordamida ko‘plab real
jarayonlar, masalan, tebranishlar, issiqlik o‘tkazish, elektr zanjirlar holati va
boshqalar modellashtiriladi [9]
Xulosa
Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar – bu matematik analizning chuqur
va keng qo‘llaniladigan bo‘limlaridan biridir. Ularning nazariy jihatdan o‘rganilishi
funksiyalarning xatti-harakatini yanada chuqurroq tahlil qilishga imkon beradi.
Shuningdek, yuqori tartibli differensiallar yordamida ko‘plab fizik, texnik va
iqtisodiy tizimlarni modellashtirish mumkin. Ushbu maqolada nazariy asoslar bilan
birga amaliy qo‘llanmalar ham yoritilgan bo‘lib, bu mavzuni o‘rganayotgan talaba
va mutaxassislar uchun foydalidir. Ta’kidlaymizki, har qanday hodisalar sinfiga
nisbatan shakllangan variatsion tamoyillar nafaqat mexanik, balki fizik, kimyoviy,
biologik va boshqa jarayonlarning matematik modellarini bir xilda qurish imkonini
beradi.[10]
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.
Kudryavtsev L.D. –
Matematik analiz kursi
, 1-2 jildlar, Moskva, 1970.
2.
Stewart J. –
Calculus: Early Transcendentals
, Cengage Learning, 2015.
3.
Spivak M. –
Calculus
, Publish or Perish, 2008.
4.
Thomas G.B. –
Calculus and Analytic Geometry
, Addison-Wesley, 1996.
5.
Rasulov M.M. –
Matematik analiz asoslari
, Toshkent: Fan, 1994.
6.
S. Lang –
Undergraduate Analysis
, Springer, 1983.
Ta'limning zamonaviy transformatsiyasi
19-to’plam 4-son May 2025
38
7.
Shavkatov B.X. –
Matematik analizdan masalalar to‘plami
, Toshkent, 2000.
8. Sh.Z. Kurbanov (2023) STEAM EDUCATIONAL PROGRAMS IN
IMPLEMENTATION OF INDEPENDENT EDUCATION OF STUDENTS IN
THE MODULE CREDIT SYSTEM //American Journal of Technology and Applied
Sciences Volume 10, March, 2023, 7-10.
9. STEAM ЁНДАШУВИ АНИҚ ФАНЛАР ТАЪЛИМИНИНГ АМАЛИЙ
ҲАЁТДА ҚЎЛЛАНИШИНИ ТАЪМИНЛОВЧИ ТАЪЛИМ}, volume={2},
url={https://scholar-journal.org/index.php/s/article/view/71}
10. Primov T.I., Qurbonov S.Z. Matematik modellarni tuzishda variatsion
tamoillar. “Academic Research in Educational Sciences”. 2021, Volume 2, Issue
