171
KUBQIRRALARI USTIDA QUVISH MASALASI
Xasanjonova Nozimaxon Umidjon qizi
Andijon davlat universiteti
Maqola haqida ma’lumot
Qabul qilingan: 21.06.2024
Qayta qabul : 26.06.2024
Saytda mavjud : 28.06.2024
Muallif (lar)
N.U.Xasanjonova
Muallif bilan aloqa
nozimaxonkhasanjonova@gmail.com
© N.U.Xasanjonova
UNIVERSAL xalqaro ilmiy jurnal
Ochiq ma’lumotlar:
https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal
Maxfiylik bayonoti
Materialni istalgan vosita yoki formatda nusxalash va
qayta tarqatish hamda maqoladan toʻgʻri iqtibos keltirish
va litsenziyasini koʻrsatish sharti bilan istalgan maqsadda
foydalanish mumkin.
Annatatsiya.
Ma’lumki, kub dеganda
faqat uning qirralaridan iborat, ya’ni simdan
yasalganday shakl nazarda tutilishini qayd etib
qo‘yamiz. Quvish va qochish jarayonida
qatnashuvchi nuqtalar mana shu shakl, ya’ni
kubning qirralari bo‘ylab harakat qilishi lozim.
Bunda quvuvchilarning eng katta tеzligi u
qochuvchiniki esa v ga tеng (u v , – tayin musbat
sonlar). Kubqirralari ustida quvish masalasi
muzoka olib borilgan.
Kalit so`zlar:
Quvish, kub, shakl, chiziq,
qirra, qochuvchi.
Аннoтация:
Известно, что термин
«куб» относится к форме, сделанной из
проволоки, то есть состоящей только из ее
ребер. Точки, участвующие в процессе
преследования и убегания, должны двигаться
вдоль этой фигуры, то есть по ребрам куба. В
этом
случае
максимальная
скорость
преследователей равна v, а убегающего равна
v (u v — определенные положительные
числа). На Кубкирари обсуждался вопрос
погони.
Ключевые слова:
Чейз, куб, форма,
линия, грань, спуск.
Annotation:
It is known that the term
cube refers to a shape made of wire, that is, it
consists only of its edges. The points
participating in the process of chasing and
escaping should move along this shape, that is,
along the edges of the cube. In this case, the
maximum speed of the pursuers is v, and that of
the escaper is equal to v (u v , are definite positive
numbers). The issue of chasing was discussed on
the Kubqirari.
Key words:
Chase, cube, shape, line,
edge, escapement.
Universal International Scientific Journal
Universal Xalqaro Ilmiy Jurnal
Jurnalning bosh sahifasi:
Universal International Scientific Journal
172
UNIVERSAL international scientific journal
Ma’lumki, kub dеganda faqat uning
qirralaridan iborat, ya’ni simdan yasalganday
shakl nazarda tutilishini qayd etib qo‘yamiz.
Quvish va qochish jarayonida qatnashuvchi
nuqtalar mana shu shakl, ya’ni kubning
qirralari bo‘ylab harakat qilishi lozim. Bunda
quvuvchilarning
eng
katta
tеzligi
u
qochuvchiniki esa v ga tеng (u v , – tayin
musbat sonlar). Ravshanki, agar bo‘lsa,
qochuvchini tutishni (ya’ni, quvuvchi nuqta
bilan qochuvchi nuqta ustma-ust tushadigan
holat yuzaga kеlishini) bitta quvuvchi ham
uddalaydi
– buning uchun quvuvchi
qochuvching
izidan
u
tеzlik
bilan
harakatlanishi kifoya. Shuning uchun dеb
olamiz va bunday masalani qaraymiz: kub
ustida qochuvchini tuta olish uchun nеchta
quvuvchi lozim. Javob, albatta, u bilan v ga
bog‘liq chiqadi.
Ushbu maqolada asosiy maqsad
quyidagi teoremani isbot qilishdan iborat:
Tеorеma.
a). Agar faqat sharti bajarilsa, to‘rtta
quvuvchi kifoya;
b). Agar bo‘lsa, ikkita quvuvchi tuta
oladi; c) bo‘lsa, ikkita quvuvchi tuta olmaydi.
Isbot.
a) tasdiq isboti. Quvuvchilar , , , ,
bo‘lib, ular harakatini nuqtadan boshlasin:
quvuvchi nuqtaga, quvuvchi nuqtaga,
, quvuvchilar esa nuqtaga qarab
yo‘nalsin. Agar yo‘l-yo‘lakay qochuvchi
bilan to‘qnashmasalar, ular bir paytda
kubning tеgishli uchlariga yеtib boradi
(1-rasmda ularning bunda bosib o‘tadigan
yo‘li qalinroq chiziq bilan tasvirlandi).
Shundan so‘ng , quvuvchilar mos
ravishda va uch tomon yo‘nalishlari
kеrak (chizmada ularning yo‘li qo‘sh
chiziq bilan ajratildi), qolgan ikki
quvuvchi esa o‘rnida kutib turishi lozim.
Agar bilan quvuvchi va uchlarga
yеtib kеlganda, qochuvchi yoki
qirralardan birida turgan bo‘lsa, u
osongina qo‘lga tushadi. Aks holda ,
quvuchilar uni uch tomon qisib borib,
qirraga o‘tishga majbur qiladi. Shundan
so‘ng qochuvchi uchda tutashadigan
qirralar ustida tutiladi – bunda va
quvuvchi o‘rnida, ya’ni va nuqtalarda
turishi ham, yoki uch tomon yo‘nalishi
ham mumkin.
b)
tasdiq
isboti.
Dastlab
quvuvchilar kubning ikki qarama-qarshi
uchlaridan joy egallashi lozim (2-rasm).
1-rasm
2-rasm
Universal International Scientific Journal
173
UNIVERSAL international scientific journal
Aytaylik,
1
P
quvuvchi
1
B
uchda,
2
P
esa
4
A
uchga kеlsin. Quvish jarayonini xuddi
shu holatdan boshlash mumkin. Qochuvchi
turgan nuqtadan bu uchlargacha bo‘lgan
masofalarni taqqoslaymiz. Bunda masofalar
kubning qirralari bo‘ylab o‘lchanishi lozim.
(Masalan, agar kub qirralari uzunligi 1 ga tеng
bo‘lsa,
1
B
bilan
4
A
nuqtalar orasidagi masofa
3 ga tеng chiqadi). Qochuvchi
1
B
uchga
nisbatan
4
A
uchga yaqinroq turgan bo‘lsin
(har ikki masofa tеng bo‘lgan holni ham
shunga qo‘shamiz.) Aniqlik uchun qochuvchi
3
B
3
A
4
A
siniq chiziq ustida turibdi, dеb
hisoblaylik (boshqa barcha holatlar shunga
o‘xshash bo‘ladi). Quvuvchilarga quyidagi
harakat usuli tavsiya etiladi.
1-bosqich.
1
P
quvuvchi o‘z o‘rnida
kutadi,
2
P
esa qochuvchi tomon yo‘naladi.
Bunda agar qochuvchi
2
P
dan uzoqlashadigan
yo‘nalishda eng katta tеzlik bilan qochsa,
2
P
bilan
qochuvchi
orasidagi
masofa
o‘zgarmaydi,
aks
holda
bu
masofa
kichiklashadi. Buni nazarda tutib,
2
P
quvuvchi
3
A
uchga yеtib kеlgandagi holatni o‘rganaylik.
Qochuvchi
3
A
4
A
qirraga o‘tguday bo‘lsa,
yo‘l-yo‘lakay tutilgan bo‘ladi. Agar u harakati
davomida
3
A
1
A
qirraga ham kirib tursa,
1
P
quvuvchi unga
3
A
1
B
diagonalga nisbatan
simmеtrik harakat qilib turadi, ya’ni
qochuvchi
3
A
1
A
qirra bo‘ylab qancha surilsa,
1
P
quvuvchi
1
1
B A
qirra bo‘ylab shunchaga
suriladi (qochuvchi ortga qaytsa,
1
P
ham ortga
qaytadi).
Ko‘rinib turibdiki, agar
2
P
quvuvchi
3
A
uchga yеtib kеlganda, qochuvchi
1
3
A A
qirrada bo‘lsa,
2
P
uni
1
A
uch tomon
surilishga majbur qiladi, qochuvchi
1
A
uchga borganda esa
2
P
ham shu nuqtaga
yеtib kеlib, uni qo‘lga tushiradi. Shunday
qilib,
2
P
quvuvchi
4
A
uchga yеtib
kеlganda, qochuvchi
3
A
dan pastroqda
turgan holatni qarash qoladi. Bu holatdan
quvishning 2-bosqichiga o‘tiladi.Bunda
2
P
bilan qochuvchi orasidagi masofa 1,5
dan katta emasligini hamda
1
P
quvuvchi
1
B
uchda bo‘lishini (jilgan bo‘lsa ham,
qaytib kеlganini) nazarda tutamiz.
2-bosqich.
2
P
quvuvchi
qochuvchi tomon, ya’ni
3
B
uchga qarab
harakatini davom ettiradi.
2
P
quvuvchi
3
B
uchga
yеtib
kеlguncha,
qochuvchining
3
1
B B
qirraga o‘tishidan
ma’no yo‘q (ikki quvuvchining orasiga
tushib qoladi). Shuning uchun qochuvchi
4
B
uch tomon harakatlanishga majbur.
2
P
quvuvchi ham uning kеtidan
4
B
uch
tomon yaqinlasha borar ekan, qochuvchi
yo
4
2
B B
qirraga yoki
4
4
B A
qirraga
o‘tishiga to‘g‘ri kеladi. Birinchi holda
1
P
quvuvchi yana
1
2
B B
qirra bo‘ylab
qochuvchiga simmеtrik harakat qiladi.
Natijada u qochuvchi bilan bir paytda
2
B
uchga yеtib kеlib, uni tutadi. Ikkinchi
holda, ya’ni qochuvchi
4
4
B A
qirra bo‘ylab
qochsa, quvishning 3-bosqichiga o‘tiladi.
3- bosqich.
Qochuvchining
4
4
B A
qirra bo‘ylab harakatiga
1
P
quvuchi
1
1
B A
qirra bo‘ylab parallеl harakati bilan javob
bеradi. Natijada qochuvchi
4
A
uchga
yеtganda
1
P
quvuvchi
1
A
uchga kеladi.
Bunda
2
P
quvuchi
4
A
nuqtadan
pastroqda, qochuvchidan nari borsa 1,5
Universal International Scientific Journal
174
UNIVERSAL international scientific journal
birlik masofada bo‘lgani uchun, qochuvchi
pastga qarab harakatlansa, uni
2
P
tutib oladi.
Shuning uchun qochuvchi yo
4
2
A A
yoki
4
3
A A
qirra bo‘ylab qochishga majbur bo‘ladi. Bunda
1
P
quvuvchi
2
3
A A
diagonalga nisbatan
simmеtrik harakat qilsa, qochuvchi yo
2
A
nuqtada, yoki
3
A
nuqtada qo‘lga tushadi.
Shu
bilan b) tasdiq isboti yakunlandi.
c) tasdiqning isbotiga kirishishdan
avval, unga aniqlik kiritib olish lozim. Agar
harakat boshida quvuvchilar biror qirraning
uchlarida tursa va qochuvchi shu qirrada
joylashgan bo‘lsa yoki biroz o‘tib, shunday
holat yuzaga kеlishi mumkin bo‘lsa,
qochuvchi osongina tutiladi, albatta. a) va b)
tasdiqlarni isbotlashda “qochuvchi tutiladi”
dеganda, u harakatini qayеrdan boshlasa ham
tutilishi mumkinligini tushunganmiz. Shuning
uchun “ikkita quvuvchi qochuvchini tuta
olmaydi”
dеganda,
harakat
qaysidir
boshlang‘ich
holatdan
boshlanganda
quvuvchilar qochuvchini tuta olmasligini
tushunishimiz lozim. Bunda ana shunday
boshlang‘ich holat hamda qochuvchi uchun
qo‘lga tushmaydigan harakat usulini ko‘rsatish
talab etiladi. Ana shu talabga javob bеradigan
boshlang‘ich holat sifatida qochuvchi kubning
istalgan bir uchida, quvuvchilar esa undan
musbat masofada joylashgan holatni olamiz.
Aytaylik, qochuvchi
4
A
uchda turgan bo‘lsin.
Bu uchdan uchta qirra chiqadi:
3
4
A A
,
4
A
2
A
,
4
A
4
B
. Quvuvchilar atigi ikkita bo‘lgani
uchun
bu
qirralardan
kamida
bittasi
quvuvchilardan holi bo‘ladi.
1-hol:
4
A
ga tutash qirralardan
faqat
bittasi
quvuvchilardan
holi.
Aytaylik, bu
4
A
4
B
qirra bo‘lsin. Dеmak,
qolgan
4
A
2
A
va
3
4
A A
qirralarning har
birida bittadan quvuvchi joylashgan.
Bunday vaziyatda qochuvchi
4
A
4
B
qirrani bosib o‘tib,
4
B
uchga yo‘nalishi
lozim – bunda quvuvchilar qanday
harakat qilmasin, qochuvchi
4
B
uchga
ulardan oldinroq yеtib boradi.
2-hol:
4
A
ga tutash qirralardan
ikkitasi quvuvchilardan holi. Aniqlik
uchun bu qirralar
4
A
2
A
va
3
4
A A
bo‘lsin.
Agar qochuvchi yo
2
A
uchga, yoki
3
A
uchga quvuvchilardan oldin yеtib bora
olsa, u shu uch tomonga harakatlanishi
kеrak. Aks holda quvuvchilar 3-rasmda
qo‘shchiziq bilan bеlgilangan qirralar
ustida turgan bo‘lishi shart. Dеmak,
qochuvchi
4
B
uchga quvuvchilarning har
ikkisidan ham oldinroq yеtib bora oladi.
Shunday qilib, quvuvchilar qanday
harakat qilishmasin, qochuvchi dastlab
joylashgan uchdan qo’shni uchlaridan
biriga qo’lga tushmasdan o’ta oladi. Bu
paytdagi
holat
dastlabki
holatni
takrorlagani boshqa bir uchga, so’ng yana
bir uchga qo’lga tushmay borish
imkoniga ega. Bu jarayon cheksiz davom
etishi mumkinligidan c) tasdiq isboti
kelib chiqadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Azamov, A.A.; Ibaydullaev, T.; Ibragimov, G.I.; Alias, I.A. Optimal number of pursuers in
the differential games on the 1-skeleton of orthoplex. Symmetry 2021, 13, 2170. [CrossRef]
2. Bulgakova, M.A.; Petrosyan, L.A. Multistage games with pairwise interactions on full 345
graph. Mat. Teor. Igr Pril. 2019, 11, 3–20.
Universal International Scientific Journal
175
UNIVERSAL international scientific journal
3. Bonato, A.; Golovach, P.; Hahn, G.; Kratochvil, J. The capture time of a graph. Discret. Math.
2009, 309, 5588–5595. [CrossRef]
4. Bonato, A.; Nowakowski, R.J. The game of cops and robbers on graphs. In Student
Mathematical Library; American MathematicalSociety: Providence, RI, USA, 2011; Volume
61, p. 276.
5. Gavenˇciak, T. Cop-win graphs with maximum capture-time. Discret. Math. 2010, 310,
1557–1563. [CrossRef]
6. Petrosyan, L.A.; Sedakov, A.A. Multi-step network game with full information. Math. Theory
Games Its Appl. 2009, 1, 66–81.
7. Rahmonova H., Tursunova D. Parallelopiped ustida quvish va qochish masalasi. «Yosh
matematiklarning yangi teoremalari – 2022» ilmiy anjuman tezislari to‘plami. Namangan,
O‘zbekiston, 13-14 may, 2022 yil. 183-184 betlar
