Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 3–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 121
KESIK PIRAMIDANI HAJMINI AMALIY ANIQLASH USULI
Meliyev Fatto Muxammadiyevich
Uzbek-Finlandiya pedagogik instituti
Fizika kafedrasi dotsenti
Ikromov Amirxon Qilichevich
Uzbek-Finlandiya pedagogik institute
Fizika kafedrasi assistenti
Annotatsiya:
Maqolada kesik piramida hajmini aniqlashning amaliy usuli bayon
etiladi. Muallif nazariy formulani uchta yordamchi piramidani yasash va ularni qum (yoki
shakar) bilan to‘ldirib tekshirish orqali tasdiqlaydi. Bosqichma-bosqich ko‘rsatmalar,
chizmalar va geometrik hisoblar kesik piramida hajmining uning tarkibiy piramidalar
hajmlari yig‘indisiga tengligini tajribada isbotlashga yordam beradi. Usul STEAM
yondashuviga mos kelib, o‘quvchilarda nazariy bilimni amaliy faoliyat bilan bog‘lash
ko‘nikmasini rivojlantiradi.
Kalit so‘zlar:
kesik piramida hajmi, yordamchi piramida, geometrik hisoblar
Kirish
Kesik piramida geometrik shakllar ichida amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan murakkab
shakllardan biri bo‘lib, u muhandislik, arxitektura va qurilish sohalarida keng qo‘llaniladi.
Uning hajmini aniqlash turli metodlarga asoslanib bajarilishi mumkin. Ushbu maqolada
kesik piramida hajmini aniqlashning nazariy ifodasi haqiqatdan ham uni tashkil etuvchi
uchta piramidalar hajmlarining yig’indisiga teng bo’lishini amaliy aniqlash usullari bayon
etiladi.
Kesik piramida hajmi amaliy aniqlash
Kesik piramidaning (1-rasm) hajmini hisoblash uchun elementar geometriya kursida
quyidagi formuladan foydalaniladi [1-3]:
𝑉 =
ℎ
3
(𝐴
1
+ 𝐴
2
+ √𝐴
1
𝐴
2
)
(1)
bu yerda V – kesik piramida hajmi, h – kesik piramidaning balandligi, A
1
– katta
asos yuzasi, A
2
– kichik asos yuzasi.
2-rasm
1-rasm
3-rasm
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 3–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 122
(1) formula bilan aniqlanadigan kesik piramida hajmi formulasi haqiqatdan ham
to’g’ri ekanligini amaliy isbotlash uchun 2-rasmda ko’rsatilgandek kesik piramida hajmini
tashkil
etuvchi
1-piramida
yoyilmasi
asosida
asos
tomoni
ochiq
1-tashkil etuvchi piramidani yasab olamiz. Buning uchun kesik piramida katta asosini 1-
tomoni a
1
ning yarmiga teng chiziq chizamiz va bu chiziqning bir uchidan unga
perpendikular qilib kesik piramida balandligiga teng chiziq o’tkazamiz. Bu chiziqlarni
ochiq uchlarini birlashtirib uchburchakni gipotinuzasini ya’ni yasalishi kerak bo’lgan 1-
piramidani yon tomoni apofemasini Pifagor teoremasiga ko’ra aniqlab olish mumkin (4(a)-
rasm).
Topilgan apofemani kesik piramidani asosini 2-tomoni o’rtasiga perpendikulyar qilib
o’rnatamiz. Asos chizig’i uchlarini apofemani uchi bilan birlashtirib 1- piramidani 1 ta yon
yog’ini hosil qilamiz (4(b)-rasm).
U quyidagicha bo’ladi:
Agar kesik piramidaning asosi kvadrat bo’lsa , hosil qilingan tomonlarni
4-tasini birlashtirib 2-rasmda ko’rsatilgan yoyilma asosida 1- tashkil etuvchi asosi ochiq
piramidani yasab olamiz. Bu piramidaning hajmi
𝑉
1
=
1
3
ℎ𝐴
1
formula bilan aniqlanadi.
Xuddi shu usulda 3-rasmdagi asosi kesik piramidani kichik asosiga teng asosli,
balandligi kesik piramida balandligiga teng piramidaning chizilgan yoyilmasi asosida
ostki asosi ochiq bo’lgan 2- tashqi tashkil etuvchi piramidani ham yasab olish kerak. Bu
piramidaning hajmi
𝑉
2
=
1
3
ℎ𝐴
2
formula bilan aniqlanadi.
Endi balndligi h, asoslari yuzalari S
1
va S
2
bo’lgan
kesik piramida
asoslarini o’rta
geometrigiga teng bo'lgan 3- tashkil etuvchi piramedani asosi yuzasi quyidagi formula
bilan aniqlanadi [4].
𝑆
3
=
√𝐴
1
𝐴
2
(2)
Agar bu
to‘rtburchak
shaklda bo‘lsa, uning tomonlari quyidagicha topiladi:
𝑎
𝑚
= √𝑎
1
𝑎
2
,
𝑏
𝑚
= √𝑏
1
𝑏
2
(3)
𝑎
1
2
h
ඨℎ
2
+ ቀ
𝑎
1
2
ቁ
2
4-rasm
b)
a)
Ustozlar uchun
pedagoglar.org
73-son 3–to’plam Iyun-2025
Sahifa: 123
bu yerda a
1
,b
1
– katta asosning tomonlari, a
2
,b
2
– kichik asosning tomonlari.
Asosning tomonlari aniqlangan 3-tashkil etuvchi piramidaning yon tomonlari
yoqorida ko’rsatigan 1 va 2- tashkil etuvchi piramidalarni yon yoqlari kabi aniqlanadi.
Endi 5-rasmda keltirilgan asosi kesik piramidaning katta va kichik asoslarini o’rta
geometrigiga teng bo’gan piramida yoyilmasi asosida h – balandlikli asosi ochiq
piramidani yasab olamiz.
Bu piramidaning hajmi
𝑉
3
=
1
3
ℎ√𝐴
1
𝐴
2
- formula bilan aniqlanadi.
Amaliy ishlarning bajarilishi
1.Ustki asosi ochiq hajmi aniqlanishi lozim bo‘lgan kesik piramidaga ishchi jism (
qum, shaker yoki shunga o’xshash) solib to’ldiriladi.
2.Kesik piramidadagi ishchi jism (qum, shakar yoki shunga o‘xshash) biror qog’oz
ustiga to’kiladi.
3.To’kilgan ishchi jism oldin 2- rasm asosida yasalgan 1-tashkil etuvchi piramida
to’lguncha solinadi va keyin kesik piramidaga solinadi.
4.Xuddi shu usilda 3 va 5- rasmlar asosida yasalgan piramidalar ham ishchi jism
bilan to’ldirilib, kesik piramidaga solinadi.
5.Natijada haqiqatdan ham kesik piramidaning hajmi uni tashkil etuvchi uchta
piramidalar hajmlarini yig’indisiga teng ekanligiga amaliy usulda ishonch hosil qilinadi.
Xulosa
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki kesik piramidani hajmini nazariy aniqlangan
formulasi to’g’ri natija berishiga amaliy mashg’ulotlar bajarish yo’li bilan ishonch hosil
qilish innavasion uslublarni STEAM tizimiga ham mos keladi y’ani o’quvchilar bilimlarni
faqat fikrlash yo’li bilan emas, balki qo’llari bilan bajarish orqali ham o’zlashtiradilar.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
I. Isroilov va boshqalar. “Geometriya” 1-2-qism, Akademik litsey va kasb hunar
kollejlari uchun. 2004 y.
2.
A.A. Rahimqoriyev, M.A. Toʻxtaxodjayeva. “Geometriya”darsligi. 2012 y.
3.
B.Q. Xaydarov, E.S. Sariqov va A.Sh. Qoʻchqorov. “Geometriya” darsligi. 2012 y.
4.
Experimental Physics Methods, Cambridge University Press, 2019.
5-rasm
