31
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
1-JILD, 12-SON (YOʻITJ)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧЕТИРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБР
ЗИНБИЕЛЯ
1.У. Камалов, 2. Г. Хожабаева, 2. Т. Курбанбаев
1.Специализированная школа Нукусского района
2. Каракалпакский государственный университет имени Бердаха
kamalovu939@gmail.com, gulnurx00@gmail.com, tuuelbay@mail.ru.
.
https://doi.org/10.5281/zenodo.14059589
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi: 1-noyabr 2024 yil
Ma’qullandi: 5-noyabr 2024 yil
Nashr qilindi: 9-noyabr 2024 yil
В этой статье мы рассчитываем матрицу
D
,
используя
таблицы
умножения
сложных
разрешимых 4-мерных алгебр Зинбиеля. В
основном, вычисляя таблицы умножения в
теорема 1, мы получаем результаты.
KEY WORDS
Алгебра
Зинбиеля,
дифференциальный,
базис,
матрица, изоморф, алгебрa
.
1. Введение:
В этой статье мы рассчитываем матрицу
D
, используя таблицы
умножения сложных разрешимых 4-мерных алгебр Зинбиеля, заданных в теорема 1.
Для этого мы заменяем генеративные базисы
{
}
1 2 3 4
, , ,
e e e e
следующим образом
1
1 1
2 2
3 3
4 4
2
1 1
2 2
3 3
4 4
3
1 1
2 2
3 3
4 4
4
1 1
2 2
3 3
4 4
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
d e
a e
a e
a e
a e
d e
b e
b e
b e
b e
d e
c e
c e
c e
c e
d e
p e
p e
p e
p e
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
.
(1)
где
, , ,
{1, 2, 3, 4}
i j k l
,
, , ,
.
a b c p
i j k l
. Далее, умножения разрешимых комплексных алгебр
Зинбиеля вычисляем с помощью свойства дифференцирования следующим образом
(
)
( )
( ).
d e e
d e
e
e d e
i
j
i
j
i
j
=
+
o
o
o
.
(2)
Основной результат в этой статье состоит в том, что, используя результаты (2), мы
составляем следующую матрицу
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
.
a b c
p
a b c
p
D
a b c
p
a b c
p
=
(3)
2. Основная часть
Теорема 1.
Любая 4-мерная комплексная не разложимая алгебра Зинбиеля изоморфна
одной из следующих попарно неизоморфных алгебр:
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.
:
,
,
2 ,
1 1 1
2 1 2
3 2 1
3
,
3 ,
3
1 3
4 2 2
4 3 1
4
A e e
e e e
e e e
e
e e
e e e
e e e
e
=
=
=
=
=
=
o
o
o
o
o
o
( )
,
1
1 1
2 2
3 3
4 4
( )
.
2
1 1
2 2
3 3
4 4
d e
a e
a e
a e
a e
d e
b e
b e
b e
b e
=
+
+
+
=
+
+
+
( )
(
)
( )
( ) (
)
(
)
2
1 1
1
1 1
1
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
2
3
2
3
4
,
1 2
2 3
3 4
1 2
2 3
3 4
1 2
2 3
3 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
+
o
o
o
o
o
0,
1
2 ,
2
1
( ) 2
3
4
.
2
1 2
2 3
3 4
3 ,
3
2
4 .
4
3
b
b
a
d e
a e
a e
a e
b
a
b
a
=
=
=
+
+
=
=
( )
(
)
( )
( ) (
)
(2
3
4
)
3
1 2
1
2
1
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
1
1 2
2 3
3 4
3
2
3
3
6
,
1 3
2 4
1 3
2 4
1 3
2 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
o
o
o
o
o
1
1
1
( )
(
)
( ( )
( ))
((2
3
4
)
(
3
2 1
2
1
2
1
1 2
2 3
3 3
1
2
1 1
2 2
3 3
2
2
2
1
1
))
(4
9
2
3
)
(6
12
) 3
6
,
4 4
1 3
2 4
1 3
2 4
1 3
2 4
1 3
2 4
2
2
d e
d e
e
d e
e
e
d e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
o
o
o
o
o
( )
(
)
( )
( ) (
)
(3
6
)
4
1 3
1
3
1
3
1 1
2 2
3 3
4 4
3
1
1 3
2 4
3
4
,
1 4
1 4
1 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
=
o
o
o
o
o
1
1
1
( )
(
)
( ( )
( ))
((2
3
4
)
(2
3
4
2
2
2
2
2
2
1 2
2 3
3 4
2
2
1 2
2 3
3
3
3
1
1
4
))
(6
6
)
12
4
,
3 4
1 4
1 4
1 4
1 4
3
3
d e
d e
e
d e
e
e
d e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
=
=
o
o
o
o
o
1
1
1
( )
(
)
( ( )
( ))
((3
6
)
(
))
4
3 1
3
1
3
1
1 3
2 4
1
3
1 1
2 2
3 3
4 4
3
3
3
1
1
(9
3
)
12
4
.
1 4
1 4
1 4
1 4
3
3
d e
d e
e
d e
e
e
d e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
=
=
o
o
o
o
o
:
,
,
,
2 .
2 1 1
2 1 2
4 1 3
4 3 1
4
A e e
e e e
e e e
e e e
e
=
=
=
=
o
o
o
o
( )
,
1
1 1
2 2
3 3
4 4
( )
.
2
1 1
2 2
3 3
4 4
d e
a e
a e
a e
a e
d e
b e
b e
b e
b e
=
+
+
+
=
+
+
+
( )
(
)
( )
( ) (
)
(
)
3
1 1
1
1 1
1
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
2
2
(3
) ,
1 3
2 4
1 3
2 4
3 4
1 3
3
2 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
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a e
a e
a e
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a e
a
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
+
o
o
o
o
o
( )
(
)
( )
( ) (
)
(2
3
)
4
1 3
1
3
1
3
1 1
2 2
3 3
4 4
3
1
1 3
2 4
3 4
2
3
,
1 4
1 4
1 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
=
=
+
=
o
o
o
o
o
( )
(
)
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( ) (
)
(
)
4
1 2
1
2
1
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
2
1 1
2 2
3 3
4 4
(
) ,
1 4
1 3
2 4
3 4
1 3
1
2
3 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
b e
b e
b e
b e
a e
b e
b e
b e
b e
a
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=
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+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
o
o
o
o
o
1
1
1
( )
(
)
( ( )
( ))
(2
(
3 ) )
(
4
3 1
3
1
3
1
1 3
2
3 4
1
3
1 1
2 2
3 3
2
2
2
1
1
))
(4
2
)
6
3
.
4 4
1 4
1 4
1 4
1 4
2
2
d e
d e
e
d e
e
e
d e
a e
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e
e
a e
a e
a e
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0,
1
1
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.
4
1 4
3 .
2 .
1 2 3
1
2 3
1
b
b
d e
a e
a b b
a
b b
a
=
=
=
+ + =
+ =
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0.
(
)
( )
( ) (
)
(
)
2 1
2 1
2
1
2
1
2 2
3 3
4 4
1
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
0
0.
3 4
3
e
e
d e
e
d e
e
e
d e
b e
b e
b e
e
e
a e
a e
a e
a e
b e
b
=
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+
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+
+
=
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o
o
o
o
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,
,
,
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3 1 1
3 1 3
4 2
2
4 3 1
4
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e e e
e e
e
e e
e
e
=
=
=
=
o
o
o
o
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,
1
1 1
2 2
3 3
4 4
( )
.
2
1 1
2 2
3 3
4 4
d e
a e
a e
a e
a e
d e
b e
b e
b e
b e
=
+
+
+
=
+
+
+
( )
(
)
( )
( ) (
)
(
)
3
1 1
1
1 1
1
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
2
2
3
,
1 3
3 4
1 3
3 4
1 3
3 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
=
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=
+
+
+
+
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+
+
+
=
+
o
o
o
o
o
( )
(
)
( )
( ) (
)
(2
3
)
4
1 3
1
3
1
3
1 1
2 2
3 3
4 4
3
1
1 3
2 4
3 4
2
3
,
1 4
1 4
1 4
d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
a e
a e
a e
a e
a e
a e
=
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+
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+
+
=
=
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o
o
o
o
o
( )
(
)
( )
( ) (
)
(
)
4
2 2
2
2
2
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
,
2 4
2 4
2 4
d e
d e
e
d e
e
e
d e
b e
b e
b e
b e
e
e
b e
b e
b e
b e
b e
b e
b e
=
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
=
o
o
o
o
o
1
1
1
( )
(
)
( ( )
( ))
((2
3
)
(
))
4
3 1
3
1
3
1
1 3
3 4
1
3
1 1
2 2
3 3
4 4
2
2
2
1
1
(4
2
)
6
3
.
1 4
1 4
1 4
1 4
2
2
d e
d e
e
d e
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d e
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e
e
a e
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a e
a e
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o
o
o
o
g
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1
2
1
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2
b
a
b
a
d e
a e
=
=
=
0.
(
)
( )
( ) (
)
(
1 2
1 2
1
2
1
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
1
1 1
2 2
0,
1
)
(
)
0.
3 3
4 4
2 4
1 3
3 4
1 3
2
3 4
.
3
2
e e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
e
e
b e
b e
b
b e
b e
a e
b e
b e
b e
a
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b
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+
=
+
+
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,
.
4 1 2
3 1 3
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e e e
e e
e
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=
= -
o
o
o
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1
1 1
2 2
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2
1 1
2 2
3 3
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d e
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b e
b e
b e
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)
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)
(
)
3
1 2
1
2
1
2
1 1
2 2
3 3
4 4
2
1
1 1
2 2
3 3
4 4
(
)
,
1 3
2 3
3 4
1
2 3
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d e
d e e
d e
e
e d e
a e
a e
a e
a e
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b e
b e
b e
b e
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+
o
o
o
o
o
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2 1
2
1
2
1
1 1
2 2
3 3
4 4
1
2
1 1
2 2
3 3
))
(
) ,
4 4
2 3
1 3
1
2 3
d e
d e
e
d e
e
e
d e
b e
b e
b e
b e
e
e
a e
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a e
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a e
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= -
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+
+
+
+
+
+
+
= -
-
= -
+
o
o
o
o
o
,
,
1
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1
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YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
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YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
1-JILD, 12-SON (YOʻITJ)
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TADQIQOTLAR JURNALI
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40
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
1-JILD, 12-SON (YOʻITJ)
Мы вычислили все случаи умножения разрешимых комплексных алгебр Зинбиеля и не
написали лишних решений.
Литература
1.Adashev J.Q., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. Complex naturally graded quasi-filiform
Zinbiel algebras. // Contemporary Mathematics. AMS 2009. Pp. 1-13.
2.Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Classifications of some classes of Zinbiel
algebras. // Journal of Generalized Lie Theory and applications. – 2010. –Vol. 3(4), –P. 1-10.
3.Adashev J.Q., Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. On some nilpotent classes of Zinbiel
algebras and their applications. // Third International Conference on Research and Education
in Mathematics. –2007. Malaysia. –P.45-47.
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