79
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 5-SON , (YOʻITJ)
AYLANA GOMEOMORFIZMLARI TUSHUNCHASI
Xudoynazarov Qahramon
Aniq va ijtimoiy fanlar universiteti
Matematika yo’nalishi 2-kurs magistranti
https://doi.org/
10.5281/zenodo.15396753
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Qabul qilindi:26-aprel 2025 yil
Ma’qullandi:30-aprel 2025 yil
Nashr qilindi: 13-may 2025 yil
Ushbu maqolada matematik analiz va
topologiya bo‘limlarida muhim o‘rin tutuvchi aylana
gomeomorfizmlari tushunchasi yoritilgan. Aylana
ustidagi uzluksiz, teskari funksiyalarni tahlil qilish
orqali, ularning geometrik va algebraik xossalari
o‘rganiladi.
Gomeomorfizmlar
orqali
aylana
topologiyasining
strukturasini
o‘zgartirmasdan
tasvirlash,
uning
ko‘p
hollarda
fazoviy
deformatsiyalarga
nisbatan
qanday
invariant
xususiyatlarga ega ekanligi haqida fikr yuritiladi.
Shuningdek, ushbu tushuncha fizikada fazoviy
simmetriya,
dinamik
sistemalar
va
grafik
modellashtirishda ham keng qo‘llanilayotganligi
misollar bilan ko‘rsatib o‘tiladi
KEY WORDS
aylana,
gomeomorfizm,
topologik fazo, uzluksizlik, teskari
funksiyalar,
deformatsiya,
topologik invariantlar, fazoviy
simmetriya, dinamik sistemalar
Kirish. Topologiya matematikaning geometrik shakllar va ularning o‘zaro bog‘liqlik
xususiyatlarini o‘rganuvchi bo‘limidir. Ayniqsa, obyektlarning shaklini o‘zgartirmasdan
deformatsiya qilish, uzluksizlik va teskari uzluksizlik kabi tushunchalar bu sohaning asosiy
yo‘nalishlaridandir. Gomeomorfizm — bu topologik fazolar o‘rtasida mavjud bo‘lgan uzluksiz
va teskari uzluksiz akslantiruvchi funksiyalar sinfi bo‘lib, ular orqali fazolarning topologik
ekvivalentligi aniqlanadi.
Aylana gomeomorfizmlari esa bu tushunchaning soddalashtirilgan, lekin chuqur ma’no kasb
etuvchi ko‘rinishi bo‘lib, matematik tahlil, differensial geometriya, fizika va kompyuter
grafikasi kabi sohalarda muhim o‘rin egallaydi. Ushbu mavzuni o‘rganish orqali biz oddiy
ko‘rinishda tasvirlangan topologik shakl — aylananing qanday uzluksiz va teskari uzluksiz
funksiyalar orqali boshqa shakllarga o‘tkazilishi va bu jarayonda qanday xossalari saqlanib
qolishini aniqlashga intilamiz.
S
1
∼= [0
,
1) aylanada yo’nalish saqlovchi
T
gomeomorfizm quyidagicha aniqlangan.
Tx
=
f
(
x
) mod 1
,
0 ≤
x <
1 bo’lib, bu yerda
f
(
x
)− barcha
x
∈ R
1
da aniqlangan
uzluksiz, monoton o’suvchi va ∀
x
∈ R
1
uchun quyidagi shartni qanoatlantiruvchi
funksiya,
f
(
x
+ 1) =
f
(
x
) + 1
Bundan keyin
f
funksiyani
T
aylana gomeomorfizmining aniqlovchi funksiyasi deb yuritamiz.
Agar
T
− diffeomorfizm bo’lsa u holda
f
− funksiya silliq funksiya bo’ladi. Bizga ma’lumki,
80
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 5-SON , (YOʻITJ)
agar
T
−
C
r
sinfga tegishli diffeomorfizm bo’lsa, u holda
f
∈
C
r
(
S
1
)
.
O’z-o’zidan ma’lumki
agar
f
1
, f
2
funksiyalar bitta
T
gomeomorfizmning aniqlovchi funksiyalari bo’lsa,
f
1
(
x
) =
f
2
(
x
) +
k
bu yerda
k
− butun son. Agar
f
funksiya
T
gomeomorfizm uchun aniqlovchi funksiya
bo’lsa,
f
(
n
)
funksiya
T
n
(
n
= 0
,
±1
,
±2
, ...
) gomeomorfizm uchun aniqlovchi funksiya
bo’ladi va
f
(
n
)
quyidagicha rekkurent aniqlanadi.
f
(
n
)
(
x
) =
f
(
f
(
n
−1)
(
x
))
,
f
(0)
(
x
) =
x,
f
(1)
(
x
) =
f
(
x
)
.
Har bir
f
(
n
)
funksiya o’suvchi, uzluksiz bo’ladi. Aylana gomeomorfizmlariga quyidagi
akslantirishlar misol bo’ladi:
Tx
=
x
+
α
mod 1 bu yerda aniqlovchi funksiya sifatida
f
(
x
) =
x
+
α
ni olamiz. Haqiqatdan ham, bu funksiya o’suvchi, uzluksiz va
f
(
x
+ 1) =
f
(
x
) + 1
shartni qanoatlantiradi. Agar
T
aylana gomeomorfizmi bo’lsa, u holda
T
−1
akslantirish ham mavjud va u
ham aylana gomeomorfizmi bo’ladi. Aylana gomeomorfizmlarining eng muhim xossalaridan
biri uning burish soni bo’lib, quyidagi teorema ang boshlang’ich teorema hisoblanadi.
Aylana gomeomorfizmlari — bu geometriya va topologiya sohalarida muhim o‘rin tutadigan
tushuncha bo‘lib, ob’ektlarning bir-biriga o‘xshash shakllarda bo‘lishini ifodalaydi.
Gomeomorfizm, aslida, ikki geometrik ob’ektning bir-biriga o‘tish imkoniyatini ta’riflaydi,
ya’ni ularni deformatsiya orqali bir-biriga aylantirish mumkin bo‘lsa, ular gomeomorfik deb
ataladi.
Aylana va Gomeomorfizm:
Aylana (yoki doira) geometriyada muhim va oddiy shakl sifatida tanilgan bo‘lib, uning barcha
nuqtalari markazdan bir xil masofada joylashgan. Aylanani topologik nuqtai nazardan
ko‘rganimizda, bu o‘zgarmas ob’ektdir, chunki uni siqish, kengaytirish yoki burish orqali,
uning shaklini saqlab qola olamiz. Gomeomorfizm esa shunday o‘zgarishlarni tasvirlaydi,
bunda shaklning o‘ziga xos xususiyatlari, masalan, uzunasiga yoki to‘g‘ri bo‘lishi, buzilmaydi.
Misol 1: Aylanadan Kvadratga o‘tish
Aylana va kvadrat dastlab ikki turli shakl bo‘lib ko‘rinsada, ular aslida gomeomorfik
ob’ektlardir. Aylanani to‘g‘ri chiziqlar orqali burish yoki siqish orqali kvadratga aylantirish
mumkin. Bu holatda shaklning chegaralari o‘zgarmaydi, faqat shaklning ichki tuzilishi
o‘zgaradi. Aylanadan kvadratga o‘tish, aslida, bir shaklni boshqa bir shaklga o‘zgartirishning
bir misoli sifatida qaraladi.
Misol 2: Shishadan Aylana yaratish
Agar biz shishani o‘rgatib, uning yuzasini uzunlikka cho‘zsak, bu holda ham shisha va aylana
gomeomorfik bo‘lishi mumkin. Gomeomorfik o‘zgartirishlar orqali, biz shishaning shaklini
aylana shakliga keltirishimiz mumkin. Bu, ya’ni, shishaning orqa yuzasida uning qiyaliklarini
yo‘qotish orqali, uni to‘g‘ri va silliq aylana shakliga aylantirish mumkinligini ko‘rsatadi.
Misol 3: Har qanday Yuza va Aylana
Agar biz oddiy bir yuzaning (masalan, muz qatlami) shaklini o‘zgartirsak va uni aylanaga olib
kelsak, bu holatda ham yuzaning to‘liq shakli gomeomorfik bo‘lib, shaklning o‘zgarishi faqat
deformatsiya orqali amalga oshadi. Bu shuni anglatadiki, agar biz yuzani to‘liq yoki qisman
siqish yoki cho‘zish orqali aylantirsak, u ham hali o‘zgarmagan shaklga ega bo‘ladi.
Aylana gomeomorfizmlari tushunchasi geometrik shakllarning o‘xshashligini, ya’ni ular
orasidagi deformatsiya orqali bir-biriga o‘tish imkoniyatini o‘rganadi. Bu tushuncha, ayniqsa,
geometriya va topologiyaning asosiy tamoyillarini tushunishda muhim ahamiyatga ega.
81
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 5-SON , (YOʻITJ)
Gomeomorfizm esa shaklning strukturasini o‘zgartirmasdan, uni turli usullar bilan taqdim
etish imkonini beradi.
Aylana gomeomorfizmlari tushunchasini tahlil qilish orqali, biz topologik va geometrik
ob’ektlar o‘rtasidagi o‘zgarishlarni chuqurroq tushunishga erishamiz. Gomeomorfizm, aslida,
ikkita shakl orasidagi deformatsion o‘zgarishlarning bir xil topologik xususiyatlarga ega
ekanligini ko‘rsatadi. Bu, albatta, shaklning doimiyligi va o‘zgarishi bilan bog‘liq bo‘lgan asosiy
prinsiplarni anglatadi.
1. Topologik Xususiyatlarning Saqlanishi
Aylana va boshqa geometrik shakllar orasidagi gomeomorfizmda, shaklning o‘zgarishi faqat
yuzaga kelgan deformatsiyalar bilan cheklanadi. Gomeomorfizm orqali shakllar orasidagi
o‘xshashliklar saqlanadi, ya’ni ular o‘rtasidagi o‘xshashlik masalasi ko‘rinishidan (forma,
tuzilish) emas, balki ularning topologik xususiyatlari (masalan, uzunasiga yoki qisqarishi)
bo‘yicha o‘rganiladi.
Shu nuqtai nazardan, bir shakldan boshqasiga o‘tishning aslida qanday sharoitda amalga
oshirilishi muhim. Misol uchun, aylanani kvadratga o‘zgartirishda, shaklning maydoni
saqlanadi, faqat uning chegarasi va ichki tuzilishi o‘zgaradi. Bu esa shaklning topologik
xususiyatlarini saqlab qolishga yordam beradi.
2. Deformatsiya O‘zgartirishlari
Aylana shakli gomeomorfizmda deformatsiyalashuvning asosiy modeli sifatida ko‘riladi.
Aylana shakli o‘zgarishlarga juda mos keladi, chunki uni siqish, burish yoki cho‘zish orqali
boshqa shakllarga aylantirish mumkin. Buning misoli sifatida, shishaning yuzasini o‘zgartirish
orqali uni aylana shakliga keltirishni ko‘rishimiz mumkin.
Agar shishaning yuzasini deformatsiya qilganimizda, uning to‘g‘riligi saqlanadi, faqat
strukturaviy o‘zgarishlar yuz beradi. Bu, gomeomorfizmning asosiy xususiyatlaridan biri
sifatida, deformatsiya orqali shaklning har bir nuqtasi bir-biriga mos kelishini ta’minlaydi.
3. Kengaytirilgan Shakl va Topologik Birlashmalar
Gomeomorfizm orqali shakllarni birlashtirish mumkinligi haqida gapirganda, aylanani va
boshqa geometrik shakllarni birlashtirish, har doim topologik yaxlitlikni saqlashga yordam
beradi. Masalan, aylanadan boshqa shakllarga o‘tishda, shaklning ko‘rinishida o‘zgarishlar
bo‘lishi mumkin, lekin ular orasidagi bog‘liqlik va to‘liq struktura o‘zgarmaydi.
Aylana gomeomorfizmlari bilan bog‘liq asosiy natijalar, shaklni o‘zgartirishda faqat topologik
xususiyatlarning saqlanishiga e’tibor qaratish kerakligini ko‘rsatadi. Bunda shaklning
o‘zgarishi faqat vizual va geometrik jihatdan ifodalansa-da, topologik xususiyatlari
o‘zgarmasligini ta’kidlash muhim. Misollar, shishaning yuzasini deformatsiya qilish, aylana va
kvadrat orasidagi o‘tish kabi hodisalar orqali, gomeomorfizmning amaliy ahamiyatini ko‘rish
mumkin. Bu holatda, shaklning tashqi ko‘rinishi o‘zgarishi mumkin, ammo uning ichki
struktura va xususiyatlari saqlanadi.
Shuningdek, gomeomorfizmni kengaytirilgan shakllarga, masalan, topologik birlashmalarga
qo‘llash mumkin. Agar bir nechta shakllar orasida gomeomorfizm mavjud bo‘lsa, ularning bir-
biriga o‘tishi va yanada murakkab tizimlarga qo‘shilishlari mumkin. Shunday qilib,
gomeomorfizm orqali shakllarni transformatsiya qilish va birlashtirish, ilgari paydo bo‘lgan
82
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 5-SON , (YOʻITJ)
geometriya va topologiya nazariyalarini amaliyotda qo‘llash uchun yangi imkoniyatlar
yaratadi.
Xulosa. Aylana gomeomorfizmlari topologik fazolar nazariyasining muhim amaliy
ko‘rinishlaridan biridir. Ushbu tushuncha yordamida biz aylana ustida aniqlangan uzluksiz va
teskari uzluksiz funksiyalar orqali topologik jihatdan ekvivalent akslantirishlarni o‘rganish
imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Aylananing o‘ziga xos topologik tuzilmasi, ya’ni yopiqlik,
uzluksizlik, cheksizlikning yo‘qligi kabi xossalar, gomeomorfizm orqali qanday saqlanib
qolishi bu sohaning nazariy asosini tashkil etadi.
Shuningdek, aylana gomeomorfizmlari matematik analiz, differensial geometriya, fizika,
biologik modellar va raqamli tasvirlar kabi ko‘plab sohaga bevosita taalluqlidir. Ushbu
tadqiqotlar orqali aniqlanganki, gomeomorfik akslantirishlar orqali murakkab fazoviy
munosabatlarni soddalashtirish va ularni o‘zaro solishtirish mumkin bo‘ladi.
Mazkur mavzu doirasidagi o‘rganishlar shuni ko‘rsatdiki, aylana gomeomorfizmlari nafaqat
nazariy jihatdan, balki amaliy tizimlar, xususan grafik interfeyslar va raqamli tasvirlarda ham
keng qo‘llanilishi mumkin. Bu esa kelgusida ushbu yo‘nalishda chuqurroq ilmiy izlanishlar
olib borish zaruratini belgilaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
1.
Qodirov, Farrux. "On the properties of homeomorphisms of the circle with
singularities."
Uzbek Mathematical Journal
, vol. 2020, no. 2, 2020, pp. 45–53.
2.
Qodirov, Farrux, and B. Aliev. "Invariant sets of circle homeomorphisms with singular
points."
Bulletin of Tashkent University
, vol. 2021, no. 1, 2021, pp. 34–42.
3.
Qodirov, Farrux. "Dynamical systems and the behavior of circle mappings under
continuous transformations."
International Journal of Mathematical Sciences
, vol. 17, no. 4,
2022, pp. 101–110.
4.
Qodirov, Farrux. "Topological aspects of circle transformations in one-dimensional
manifolds."
Scientific Reports of Mathematics Department
, vol. 9, no. 3, 2021, pp. 22–30.
5.
Qodirov, Farrux. "Homeomorphisms and their fixed points on compact topological
spaces."
Journal of Applied Topology and Geometry
, vol. 8, no. 2, 2023, pp. 88–97.
6.
Qodirov, F. E., O. D. Doniyorov, and H. Shokirov Sh. "Basic concepts of information
security in information systems. Wide threats and their consequences."
концепции
устойчивого развития науки в современных условиях
(2021): 153-155.
7.
Bozorova, Irina Jumanazarovna, and Dilfuzaxon Mamasharipovna Karayeva. "Modern
programming technologies and their role."
интеллектуальный капитал xxi века
. 2020.
8.
Ergash o’g’li, Qodirov Farrux. "Hududlarni ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishda har bir
hududning о ‘ziga xos xususiyatlari."
Scientific Journal of Actuarial Finance and
Accounting
4.09 (2024): 178-183.
9.
Qodirov, Farrux, and Zuhriddin Mardonov. "BLOKCHEYN TEXNOLOGIYASI VA UNING
QO’LLANILISHI."
Наука и технология в современном мире
4.6 (2025): 27-32.
10.
Qodirov, F. E. "Methodological aspects and importance of development of medical
services through econometric modeling and forecasting options."
academy. uz/index. php/yo
.
11.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "ELEKTRON TIJORAT PLATFORMALARINING
EKOLOGIK TOZA QISHLOQ MAHSULOTLARI BOZORIGA TA’SIRI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 37-44.
12.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "BULUTLI HISOBLASH TEXNOLOGIYALARI VA
AI ASOSIDA QISHLOQ XO ‘JALIGIDA PROGNOZLASH TIZIMLARI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 45-52.
13.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "AQLLI SHAHAR (SMART CITY) TIZIMLARI
ORQALI EKOLOGIK MONITORING VA RESURSLARNI TEJASH."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 21-28.
83
YANGI O'ZBEKISTON ILMIY
TADQIQOTLAR JURNALI
www.in-academy.uz
2-JILD, 5-SON , (YOʻITJ)
14.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "IOT TEXNOLOGIYALARIDAN FOYDALANIB
CHIQINDILARNI
AVTOMATLASHTIRILGAN
BOSHQARISH
TIZIMLARI."
Наука
и
инновация
3.10 (2025): 68-75.
15.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "GEOGRAFIK AXBOROT TIZIMLARI (GIS)
ASOSIDA YER VA SUV RESURSLARINI MONITORING QILISH."
Инновационные исследования
в современном мире: теория и практика
4.10 (2025): 85-91.
