YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
138
KVADRAT SHAKLDAGI SIGNALLARNI FURYE QATORI YORDAMIDA HOSIL
QILISH
Berdiyev Alisher Alikulovich
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi
TATU TRET kafedra mudiri, PhD.
Raxmonova Zulayxo Abdulxokim qizi
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU talabasi.
E-mail: rahmonovanodiraxon2005@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15589467
Annotatsiya:
Ushbu ilmiy maqola kvadrat shakldagi signallarni matematik
modellashtirish va ularni Furye qatori yordamida hosil qilishni o‘rganishga asoslangan.
Kvadrat signalning matematik ifodasi, uning asosiy xususiyatlari signalni sinus va kosinus
funksiyalari orqali ifodalashning nazariy asoslari yoritilgan. Furye qatorining tashkil
etuvchilari orqali signalning asosiy garmonik komponentlari ajratib ko‘rsatiladi, ularning
amplituda va fazalarining o‘zgarishi ko‘rib chiqilgan..
Kalit so‘zlar:
Furye qatori, kvadrat to‘lqin (signal), harmonik tahlil, gibbs hodisa.
Kirish
.
Kvadrat shakldagi signallar, odatda, raqamli elektronika va aloqa tizimlari sohalarida
muhim ahamiyat kasb etadi. Bunday signallarni matematik jihatdan ifodalash uchun Furye
qatorlari usulidan foydalaniladi. Furye qatori signallarni trigonometrik funksiyalar orqali
ifodalash imkonini beradi va signallarning chastota sohasidagi xususiyatlarini ochib beradi [1].
Tabiatdagi ko‘plab signal va to‘lqinlar ideal garmonik shaklda bo‘lmaydi. Ularni tahlil
qilishda ularning tarkibidagi garmonik komponentlarni ajratib ko‘rish muhim ahamiyatga ega.
Bu ayniqsa signalni qayta tiklash, siqish, kodlash kabi sohalarda qo‘llaniladi [2].
Kvadrat to‘lqin – bu ko‘p sohalarda uchraydigan (masalan, raqamli signal, impulsli
modulyatsiya, raqamli elektronika) asosiy model hisoblanadi. Uning Furye qatori orqali biz
signalning spektral tarkibini, chastota komponentlarini o‘rganamiz. Davriy signallarning tahlil
qilishda Furye qatori asosiy matematik vositalardan biri hisoblanadi [3]. Bu metod har qanday
davriy signalni sinus va kosinus funksiyalarining yig‘indisi sifatida ifodalash imkonini beradi.
Ayniqsa, fizikada, muhandislikda, elektronikada va signalni qayta ishlashda bu usul keng
qo‘llaniladi. Furye qatorining umumiy shakli quyidagicha ta’riflash mumkin. Agar f(x)-bu
davriy va [-L, L] oraliqda aniqlangan funksiya bo‘lsa, uning Furye qatori quyidagicha
ifodalanadi (1):
𝑓(𝑥) =
𝑎
0
2
+ ∑
[𝑎
𝑛
cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏
𝑛
sin(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
(1)
bu yerda:
𝑎
0
-doimiy (o‘rta) qiymat koeffitsienti;
𝑎
𝑛
,
𝑏
𝑛
- kosinus (2) va sinus (3) koeffitsienti.
𝑎
𝑛
=
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝐿
−𝐿
)𝑑𝑥
(2)
𝑏
𝑛
=
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sin (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
(3)
Kvadrat to‘lqinlar asimmetrik shaklga ega bo‘lganligi hamda u juft funksiyalar sinfiga
mansubligini inobatga olgan holda uning matematik modelini hosil qilishda Furye qatorining
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
139
faqat sinus tashkil etuvchilari ishtirok etishini ta’kidlashimiz lozim. Bu holatning matematik
asosi quyidagicha:
Kvadrat to‘lqin – bu toq funksiya hisoblanadi
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
. Kosinus funksiyasi esa juft
funksiya hisoblanadi cos(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) = cos(
𝑛𝜋(−𝑥)
𝐿
). Toq va juft funksiyalar ko‘paytmasi toq funksiyani
hosil qilishi bizning holat uchun qoniqarsiz hisoblanadi hamda natijaviy funksiya yordamida
kvadrat funksiya hosil qilishning imkoni mavjud emas [4].
𝑓(𝑥) ∗ cos (
𝑛𝜋(−𝑥)
𝐿
) = −𝑓(𝑥) ∗ cos(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
(3)
Mazkur ifodani (3) simmetrik intervalda integrallash orqali quyidagi holatga keltirish
mumkin(4):
𝑎
𝑛
=
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 = 𝑜 ⟹ 𝑎
𝑛
= 𝑜
𝐿
−𝐿
(4)
Shuning uchun kvadrat shakldagi to‘lqinlarni hosil qilishda Furye qatorining faqat sinus
tashkil etuvchilari ishtirok etadi.
Kvadrat to‘lqin – ikki darajadagi (odatda +1 va -1) signal bo‘lib, u keskin o‘zgarishlar bilan
tavsiflanadi. Kvadrat to‘lqinlarni Furye qatori orqali ifodalanganda,
𝑓(𝑥) =
4
𝜋
∑
1
𝑛
sin(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
𝑁
𝑛=1,3,5…
(5)
bu yerda:
n – faqat
toq sonlar
: 1, 3, 5, …;
4
𝜋
⁄ −
normalizatsiya koeffitsienti
, ya’ni signalning amplitudasi va energiyasini saqlab
qolish uchun kiritilgan qiymat;
L- signalning
yarim davri
[5].
Mazkur ifodalarning matematik xisoblash jarayonini excel dasturi yordamida
quyidagicha grafik natijalarga erishildi (1-rasm):
1-rasm. Kvadrat shakldagi signalning ko‘rinishi. (n=1,3,5)
Rasmda (1-rasm) tasvirlangan matematik ifoda – Furye qatori orqali ifodalangan kvadrat
signaldir.
Ushbu signalni sinusoidlar yig‘indisiga ajratish orqali uning spektral tarkibi
o‘rganiladi. Bunday tahlil Furye tahlili deb ataladi. Formulada faqat toq garmonikalar
ishtirok etadi, shuning uchun ham kvadrat signalni boshqaruvchi funksiya toq
funksiyadir. Uning koeffitsentlari esa sinuslar bilan aniqlanadi, kosinuslar esa yo‘qoladi.
Har bir sinus to‘lqin
𝟏 𝒏
⁄
koeffitsient bilan kamayib boradi, bu esa yuqori garmonikalar
ta’sirini pasaytiradi. Formulaning oldidagi
𝟒
𝝅
⁄
koeffitsient esa signalning energetik
tengligi va normalizatsiyasini ta’minlaydi. Bu jarayon amaliyotda siqish, signallarni
qayta ishlashva filtratsiya sohalarida keng qo‘llaniladi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
140
Gibbs hodisasi
— bu signalning
Furye qatori yordamida tiklanganida
keskin
o‘zgarishlar
(ya'ni, keskin uzilishlar) mavjud bo‘lganda yuzaga keladigan bir hodisadir [6]. Bu
hodisa, ayniqsa, signalning
kvadrat shakli
(yoki boshqa shakllar, masalan, tishli yoki
uchburchak shakl) tiklanayotganida sezilarli bo‘ladi. Qancha ko‘p garmonika ishlatilsa ham
kvadrat signalda “sakrashlar” yoki ortiqcha to‘lqinlar paydo bo‘ladi (2-rasm).
2-rasm. Gibbs hodisasi namoyon bo‘lish holati.
(6)-ifodada mos garmonikalari matematik modelining grafigini hosil qiluvchi formulasi
keltirilgan:
𝑓(𝑥) =
4
𝜋
∗ 𝐴 ∗ [sin(2𝜋𝑓𝑡) +
1
3
sin(2𝜋3𝑓𝑡) +
1
5
sin(2𝜋5𝑓𝑡) + … ]
(6)
Ushbu ifodada garmonikalar sonini oshirish orqali natijaviy signalning shaklini maksimal
darajada kvadrat shaklga yaqinlashtirish mumkin (3-rasm).
a)
b)
3-rasm. a) 3ta garmonikadan iborat kvadrat signal shakli; b) 11 ta garmonikadan iborat
kvadrat signal shakli
Grafikda ko‘rinib turgandek garmonikalar soni ortgani sari signal kvadrat shaklda
aniqroq nomayon bo‘ladi.
Xulosa.
Kvadrat shakldagi signallarni Furye qatori orqali tahlil qilish va modellashtirish
signalni qayta ishlash tizimlarida muhim vosita hisoblanadi. Ushbu usul signallarning
chastotaviy tarkibini samarali boshqarish va nazorat qilish imkonini beradi. Kvadrat shaklda
hosil qilingan signal raqamli ko‘rinishda uzatiladi va signallarni halaqtbardoshligini oshadi.
Kvadrat(raqamli) shakldagi signal
axborotni ishonchli, tez va aniq shaklda
uzatadi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
141
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Zygmund, A. (2002). Trigonometric Series (third ed.). Cambridge: Cambridge University
Press. ISBN 0-521-89053-5.
2.
Stade, Eric (2005). Fourier Analysis. Wiley. doi:10.1002/9781118165508. ISBN 978-0-
471-66984-5.
3.
Fourier, Joseph (2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 0-486-
49531-0.
4.
Katznelson, Yitzhak (2004). An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University
Press. doi:10.1017/cbo9781139165372. ISBN 978-0-521-83829-0
5.
Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023). Fourier Optics and Computational
Imaging.
Cham:
Springer
International
Publishing. doi:10.1007/978-3-031-18353-
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (2010). Discrete-time Signal Processing. Upper
Saddle River Munich: Prentice Hall. p. 55. ISBN 978-0-13-198842-2.
