YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
13
ELLIPS TENGLAMASINING ANALITIK TAHLILI VA GEOMETRIYADAGI
QO‘LLANILISHI
Xoshimova Dilobar
Shahrisabz davlat pedagogika instituti o'qituvchisi
Ulasheva Anvara
Shahrisabz davlat pedagogika instituti talabasi
Berdiyeva Sevara
Shahrisabz davlat pedagogika instituti talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15709206
Annotatsiya.
Ushbu maqolada ellips tushunchasining matematik va geometrik asoslari hamda
ularning analitik tahlili yoritilgan. Ellips tenglamasining hosil qilinishi, fokuslar, eksantriklik,
parametrik tenglama va tangent chiziqlar kabi asosiy elementlari ilmiy nuqtai nazardan tahlil
qilingan. Shuningdek, ellipsning geometriya, fizika, astronomiya va texnik sohalardagi amaliy
qo‘llanilishi misollar orqali ko‘rsatib berilgan. Maqolada grafik tasvir, formulalar va nazariy
tushunchalar asosida ellips shaklining ahamiyati ochib berilgan. Tadqiqot natijalari ellipsni
chuqur o‘rganish nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim ekanini ko‘rsatadi.
Kalit so’zlar:
Ellips, fokus nuqtalar, eksantriklik, analitik geometriya, parametrik
tenglama, tangent chiziq, ellips yuza formulasi, astronomik orbitalar, geometrik
modellashtirish.
Annotation:
This article explores the mathematical and geometric foundations of the
concept of the ellipse and its analytical analysis. The derivation of the ellipse equation, foci,
eccentricity, parametric equations, and tangent lines are examined from a scientific
perspective. Additionally, the practical applications of ellipses in geometry, physics,
astronomy, and technical fields are demonstrated through examples. The article presents the
significance of the ellipse based on graphical representation, formulas, and theoretical
concepts. The results of the study show that a deep understanding of the ellipse is important
not only theoretically, but also practically.
Keywords:
Ellipse, focal points, eccentricity, analytic geometry, parametric equation,
tangent line, ellipse area formula, astronomical orbits, geometric modeling.
Аннотация:
В данной статье рассматриваются математические и геометрические
основы понятия эллипса, а также его аналитический анализ. С научной точки зрения
проанализированы
вывод
уравнения
эллипса,
фокусы,
эксцентриситет,
параметрические уравнения и касательные линии. Кроме того, приведены примеры
практического применения эллипса в геометрии, физике, астрономии и технических
областях. В статье раскрывается значение формы эллипса на основе графических
изображений, формул и теоретических понятий. Результаты исследования
показывают, что глубокое изучение эллипса важно как в теоретическом, так и в
практическом плане.
Ключевые слова:
Эллипс, фокусные точки, эксцентриситет, аналитическая
геометрия, параметрическое уравнение, касательная прямая, формула площади
эллипса, астрономические орбиты, геометрическое моделирование.
Kirish.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
14
Geometriyaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan konik kesimlar orasida ellips alohida
o‘rin tutadi. Ellips — ikki nuqtaga bo‘lgan masofalar yig‘indisi doimiy bo‘lgan nuqtalar
to‘plami sifatida aniqlanadigan geometrik shakl bo‘lib, u ko‘plab tabiiy va texnik
jarayonlarning matematik modellari sifatida xizmat qiladi. Jumladan, ellips shakli
astronomiyada sayyoralarning orbitasini, optikada yorug‘lik nurlari sinishini, fizikada esa
tebranish va harakat trayektoriyalarini ifodalashda keng qo‘llaniladi.
Ellipsga oid tenglamalarning analitik tahlili ushbu geometrik shaklning xossalarini
chuqur tushunish va ularni amaliyotda qo‘llash imkonini beradi. Ellipsning eksantrikligi,
fokuslari, parametrik tenglamasi, tangensial chiziqlari va yuzasi kabi matematik tushunchalar,
bir tomondan, nazariy bilimlarni boyitsa, ikkinchi tomondan, real muammolarni hal etishda
asos bo‘lib xizmat qiladi.
Mazkur maqolada ellipsning analitik tenglamasi asosida olib boriladigan tahlillar,
ularning hosil qilinishi, geometriyadagi qo‘llanilishi va turli sohalardagi amaliy ahamiyati
yoritiladi. Shuningdek, ellipsning grafik tasviri, asosiy xossalari va ularga doir matematik
formulalar izchil bayon qilinadi.
Nazariy asos.
Geometriyada ellips — bu konik kesimlarning muhim turlaridan biri
bo‘lib, fokuslar yig‘indisi doimiy bo‘lgan nuqtalar to‘plami sifatida aniqlanadi. Ellips
tushunchasi qadimdan buyon matematik tadqiqotlarda muhim o‘rin egallab kelgan bo‘lsa-da,
uning analitik ko‘rinishdagi ifodasi XVII asrda analitik geometriyaning shakllanishi bilan
chuqur o‘rganila boshlandi.
Ellips — bu tekislikdagi shunday nuqtalar to‘plamidirki, ularning ikki harakatsiz
nuqtaga (fokuslarga) bo‘lgan masofalar yig‘indisi doimiy bo‘ladi. Bu ta’rifdan kelib chiqib,
ellipsning asosiy geometrik xossalari aniqlanadi.
𝑃𝐹
1
+ 𝑃𝐹
2
= 2𝑎
bu yerda:
𝐹
1
(−c,0),
𝐹
2
(c,0) — fokuslar,
𝑎— ellipsning katta yarim o‘qi.
Bu ta’rif asosida ellipsning asosiy tenglamasi hosil qilinadi.
Ellipsning asosiy tenglamasi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida quyidagicha
yoziladi:
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1
bu yerda:
𝑎— ellipsning katta yarim o‘qi (x o‘qi bo‘ylab),
𝑏 — kichik yarim o‘q (y o‘qi bo‘ylab),
a > b > 0
shart bajariladi. Agar
a = b
bo‘lsa, ushbu tenglama doira tenglamasiga
aylanadi.
Ushbu tenglama orqali ellipsning asosiy xossalari, masalan, eksantriklik, fokuslar,
direktrisalar va markaz koordinatalari aniqlanadi.
Agar ellips markazi
(ℎ; 𝑘)
bo‘lsa, tenglama quyidagicha yoziladi:
(𝑥 − ℎ)
2
𝑎
2
+
(𝑦 − 𝑘)
2
𝑏
2
= 1
Ellipsning asosiy elementlari
Markaz:
Ellipsning o‘rtasidagi nuqta, tenglamada bu nuqta koordinatalari
(ℎ; 𝑘)
sifatida ko‘rinadi.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
15
Fokuslar:
(c,0) va (−c,0), bu yerda
𝑐 = √𝑎
2
− 𝑏
2
.
Eksantriklik:
Ellipsning cho‘zilganlik darajasi. Formulasi:
𝑒 =
𝑐
𝑎
= √1 −
𝑏
2
𝑎
2
, 0 < 𝑒 < 1
Direktrisalar:
Har bir fokusga mos ravishda joylashgan to‘g‘ri chiziqlar, ular
ellipsning analitik xossalarida muhim rol o‘ynaydi.
Asimptotalar:
Ellipsda mavjud emas (giperboladan farqli o‘laroq).
Ellipsning parametrik tenglamasi
Analitik tahlil uchun qulay bo‘lgan ko‘rinish — parametrik tenglama:
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Umumiy kvadratik tenglamadagi ellips
Ellips — umumiy ikkinchi darajali tenglama shakllarining maxsus holi:
𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦
2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Ellips bo‘lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi lozim:
𝐵
2
− 4𝐴𝐶 < 0,
𝐴 𝑣𝑎 𝐶
bir xil ishorali.
Bu tenglama maxsus koordinata o‘zgartirishlar orqali elliptik ko‘rinishga keltiriladi.
Yuqoridagi grafikda ellipsning chizig‘i, shuningdek uning ikkita fokus nuqtasi —
𝐹
1
(qizil) va
𝐹
2
(ko‘k) ko‘rsatilgan. Bu ellips quyidagi tenglamaga ega:
𝑥
2
25
+
𝑦
2
9
= 1
Bu yerda:
𝑎=5 — katta yarim o‘q,
𝑏=3 — kichik yarim o‘q,
Fokuslar orasidagi masofa:
2𝑐 = √𝑎
2
− 𝑏
2
= 2√16 = 8
Analitik geometriyada ellips tenglamasi va uning hosilaviy shakllari orqali fazoviy
jismlarni modellashtirish, fizik hodisalarni matematik ifodalash va grafik yechimlar orqali real
jarayonlarni tahlil qilish imkoniyati yaratiladi. Xususan, ellips orbitasi orqali Kepler qonunlari
asosida sayyoralar harakatini tavsiflash mumkin.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
16
Bundan tashqari, ellips tenglamasining umumiy kvadratik tenglamalar bilan bog‘liqligi,
koordinatalar o‘qini burish orqali diagonal ko‘rinishga keltirish kabi amaliy jihatlari ham
matematik analiz va geometriya fanlarida keng qo‘llaniladi.
Shunday qilib, ellips tenglamasining analitik tahlili geometriya, fizika, astronomiya va
texnika sohalarida nazariy hamda amaliy muammolarni yechishda muhim vosita hisoblanadi.
Xulosa.
Ellips — analitik geometriyada o‘rganiladigan muhim konik kesimlardan biri
bo‘lib, uning matematik tahlili ko‘plab nazariy va amaliy masalalarni yechishda asosiy vosita
bo‘lib xizmat qiladi. Ushbu maqolada ellipsning asosiy xossalari, tenglamasi, fokuslari,
eksantrikligi, parametrik tenglamalari va tangent chiziqlari chuqur tahlil qilindi. Shuningdek,
ellips shaklining geometriya, fizika, astronomiya va texnik fanlardagi qo‘llanilishiga doir
misollar orqali uning amaliy ahamiyati yoritib berildi.
O‘rganilgan materiallar shuni ko‘rsatadiki, ellips faqat nazariy obyekt emas, balki real
hayotdagi ko‘plab hodisalarni matematik modellashtirish uchun qulay shakldir. Shu boisdan,
ellipsning analitik va grafik ko‘rinishlarini chuqur o‘rganish, talabalarning ham nazariy
bilimlarini, ham amaliy ko‘nikmalarini shakllantirishda muhim ahamiyat kasb etadi. Kelgusida
ellipsga oid masalalarni kompyuter texnologiyalari yordamida vizual modellashtirish va tahlil
qilish yo‘nalishida izlanishlar olib borish maqsadga muvofiqdir.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Karimov, Yo. I., va boshqalar.
Geometriya (akademik litseylar uchun darslik)
. Toshkent:
«O‘qituvchi», 2011.
2.
Matmuratov, M. M.
Analitik geometriya
. Toshkent: «Fan va texnologiya», 2016.
3.
Qurbonov, A. Q.
Matematik analiz
. 1-qism, Toshkent: TDPU nashriyoti, 2014.
4.
Otaniyozov, Yo. O.
Yuqi matematik analiz
. Toshkent: «O‘zbekiston», 2012.
5.
Nazarov, S. S., va T. A. To‘rayev.
Oliy matematika
. Toshkent: “Fan”, 2007.
6.
Raxmatov, A. B.
Geometriya va chizmalar geometriyasi
. Toshkent: Toshkent arxitektura-
qurilish instituti nashriyoti, 2010.
7.
Abdullayev, A. A., va boshqalar.
Oliy matematikadan masalalar to‘plami
. Toshkent: «Fan
va texnologiya», 2015.
8.
Ubaydullayev, S. R.
Matematik analizning elementlari
. Toshkent: «O‘qituvchi», 2009.
9.
Nurmuxamedov, H. H.
Analitik geometriya va chiziqli algebra
. Toshkent: «Yangi asr
avlodi», 2018.
10.
Sharopov, A. Sh.
Chiziqli algebra va analitik geometriya
. Toshkent: TATU nashriyoti,
2013.
