YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
9
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING QUTB KOORDINATALARIDAGI
UMUMIY TENGLAMASI VA ULARNING SINFLANISHI
Xoshimova Dilobar
Shahrisabz davlat pedagogika instituti o'qituvchisi
Ulasheva Anvara
Shahrisabz davlat pedagogika instituti talabasi
Berdiyeva Sevara
Shahrisabz davlat pedagogika instituti talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15709197
Annotatsiya.
Mazkur maqolada ikkinchi tartibli chiziqlarning qutb koordinatalaridagi umumiy
tenglamasi va ularning sinflanishi masalasi ko‘rib chiqilgan. Qutb koordinatalari yordamida
konik chiziqlarni ifodalash va tahlil qilish usullari, ularning r va θ orqali ifodalanishi, hamda
bu tenglamalarni sinflashtirish mezonlari (aylana, ellips, parabola va giperbola) nazariy va
matematik asosda yoritilgan. Shuningdek, chiziqlarning geometrik xossalarini aniqlashda
diskriminantdan foydalanish va maxsus holatlar misolida izohlangan. Maqola yakunida
nazariy qoidalar misol bilan mustahkamlangan va mavzuning amaliy ahamiyati ko‘rsatilgan.
Kalit so‘zlar:
Qutb koordinatalari, ikkinchi tartibli chiziqlar, konik kesimlar, aylana,
parabola, ellips, giperbola, analitik geometriya, diskriminant, matematik tahlil.
Annotation.
This article considers the general equation of second-order lines in polar
coordinates and their classification. Methods of expressing and analyzing conic sections using
polar coordinates, their expression in terms of r and θ, and the criteria for classifying these
equations (circle, ellipse, parabola, and hyperbola) are covered on a theoretical and
mathematical basis. Also, the use of the discriminant in determining the geometric properties
of lines and special cases are explained by example. At the end of the article, the theoretical
rules are reinforced with an example and the practical significance of the topic is shown.
Keywords:
Polar coordinates, second-order lines, conic sections, circle, parabola, ellipse,
hyperbola, analytical geometry, discriminant, mathematical analysis.
Аннотация.
В данной статье рассматривается общее уравнение прямых второго
порядка в полярных координатах и их классификация. На теоретической и
математической основе рассматриваются методы выражения и анализа конических
сечений с использованием полярных координат, их выражение через r и θ, а также
критерии классификации этих уравнений (окружность, эллипс, парабола и гипербола).
Также на примере поясняется использование дискриминанта при определении
геометрических свойств прямых и частных случаев. В конце статьи теоретические
правила подкрепляются примером и показывается практическая значимость темы.
Ключевые слова:
Полярные координаты, прямые второго порядка, конические
сечения, окружность, парабола, эллипс, гипербола, аналитическая геометрия,
дискриминант, математический анализ.
Kirish
Analitik geometriya fani fazodagi geometrik shakllarni algebraik usullar yordamida
o‘rganishga xizmat qiladi. Bu yo‘nalishdagi muhim obyektlardan biri — ikkinchi tartibli
chiziqlar bo‘lib, ular o‘z ichiga aylana, ellips, parabola va giperbola kabi konik kesimlarni oladi.
Mazkur chiziqlar ko‘plab matematik modellashtirishda, ayniqsa fizikaviy va muhandislik
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
10
sohalarida keng qo‘llaniladi. Ularning asosiy xossalari, shakli, o‘qi va markaziga doir masalalar
odatda Dekart koordinatalar tizimida tahlil qilinadi. Biroq, ayrim holatlarda — masalan,
markaz yoki fokus muhim rol o‘ynaydigan sistemalarda — qutb koordinatalari orqali
ifodalash ko‘proq qulaylik yaratadi.
Qutb koordinatalar tizimi — nuqtaning holatini radius (masofa) va burchak orqali
aniqlovchi tizim bo‘lib, ayniqsa fokus atrofida simmetrik joylashgan chiziqlarni tasvirlashda
o‘z afzalligini namoyon etadi.
Nazariy asos.
Geometrik shakllarni tahlil qilishda odatda Dekart koordinatalari (x, y)
ishlatiladi. Biroq, ba’zi hollarda, ayniqsa markaz yoki fokus atrofidagi simmetriklikni tahlil
qilishda qutb koordinatalari (r, θ) qulayroq bo‘ladi. Qutb koordinatalarida nuqta holati ikki
parametr orqali belgilanadi: r — qutbdan (boshlang‘ich nuqtadan) bo‘lgan masofa, θ esa
asosiy o‘qda hosil qilgan burchak.
Qutb va Dekart koordinatalari o‘rtasida quyidagi o‘zaro bog‘liqlik mavjud:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑟 = √𝑥
2
+ 𝑦
2
, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑦
𝑥
)
Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy ko‘rinishda quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:
𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦
2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Bu tenglamani qutb koordinatalariga o‘tkazish uchun va 𝑦 ni yuqoridagi formulalar bilan
almashtiramiz:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Natijada quyidagicha murakkabroq ifoda hosil bo‘ladi:
𝐴(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
2
+ 𝐵(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃) (𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃) + 𝐶(𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
2
+ 𝐷(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃) + 𝐸(𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃) + 𝐹 = 0
Bu tenglamani soddalashtirsak:
𝑟
2
(𝐴𝑐𝑜𝑠
2
𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛
2
𝜃) + 𝑟(𝐷𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝜃) + 𝐹 = 0
Bu — qutb koordinatalaridagi ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasidir.
Mazkur tenglamaning tuzilishi shuni ko‘rsatadiki, bu yerda chiziqning turi (aylana,
ellips, parabola yoki giperbola) koeffitsientlarning qiymatiga bog‘liq. Aynan shu tenglamani
diskriminant usuli yordamida sinflashtirish mumkin.
Dekart sistemadagi kabi, quyidagi qiymat asosida chiziqning turi aniqlanadi:
∆= 𝐵
2
− 4𝐴𝐶
Agar bu diskriminant qutb koordinatalaridagi ifodaga o‘tkazilgan tenglama bilan
bog‘lanadigan bo‘lsa, quyidagi holatlar yuzaga keladi:
Agar Δ<0, chiziq ellips yoki aylana bo‘ladi.
Agar Δ=0, chiziq parabola bo‘ladi.
Agar Δ>0, chiziq giperbola bo‘ladi.
Demak, qutb koordinatalarida hosil bo‘lgan tenglama qanchalik murakkab bo‘lmasin, u
asosiy ko‘rsatkich — koeffitsientlar kombinatsiyasi orqali tahlil qilinadi.
Matematik asos.
Ikkinchi tartibli chiziqlar analitik geometriyada umumiy ko‘rinishda
quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:
𝐴𝑥
2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦
2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Bu tenglamada A,B,C,D,E,F — haqiqiy sonli koeffitsientlar. Ushbu tenglama geometrik
jihatdan aylana, ellips, parabola yoki giperbola bo‘lishi mumkin.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
11
Bu tenglamani qutb koordinatalariga o‘tkazish uchun quyidagi almashtirish formulalari
ishlatiladi:
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Bu ifodalarni yuqoridagi umumiy tenglamaga qo‘ysak, quyidagiga ega bo‘lishimizni
ko’rib o’tdik va soddalashtirib oldik:
𝐴(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
2
+ 𝐵(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃) (𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃) + 𝐶(𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃)
2
+ 𝐷(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃) + 𝐸(𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃) + 𝐹 = 0
𝑟
2
(𝐴𝑐𝑜𝑠
2
𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛
2
𝜃) + 𝑟(𝐷𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝜃) + 𝐹 = 0
Bu tenglama quyidagicha umumiylashtiriladi:
𝑟
2
𝑃(𝜃) + 𝑟𝑄(𝜃) + 𝐹 = 0
Bu yerda:
𝑃(𝜃) = 𝐴𝑐𝑜𝑠
2
𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
𝑟𝑄(𝜃) = (𝐷𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝜃)
Bu kvadratik tenglama 𝑟 bo‘yicha yozilgan bo‘lib, u orqali chiziqning qutb
koordinatalaridagi ifodasi hosil bo‘ladi. Ushbu tenglama ko‘rinishidagi tahlil quyidagilarga
olib keladi:
1.
Qutb tenglamaning kvadratikligi: Bu tenglama r bo‘yicha kvadratik bo‘lgani sababli,
u
konik
kesimlar
sinfiga
tegishli
chiziqlarni
ifodalaydi.
Ya’ni:
𝑟
2
𝑃(𝜃) + 𝑟𝑄(𝜃) + 𝐹 = 0
bu ko‘rinish har doim biror ikkinchi tartibli chiziqqa mos keladi.
2.
Sinflanish (konik kesimlar bo‘yicha): Dekart koordinatalarida bo‘lgani kabi,
chiziqning turi quyidagi diskriminant orqali aniqlanadi:
∆= 𝐵
2
− 4𝐴𝐶
Agar:
Δ<0 bo‘lsa — bu aylana yoki ellips,
Δ=0 bo‘lsa — bu parabola,
Δ>0 bo‘lsa — bu giperbola.
Ushbu qoidalarning qutb koordinatalaridagi ko‘rinishi ham shunday tahlil qilinadi, faqat
bu yerda (𝜃) va 𝑄(𝜃) funksiyalarining xususiyatlariga e’tibor beriladi.
3.
Qutb koordinatalaridagi maxsus holatlar:
Agar fokus koordinatalar boshi (qutb)da joylashgan bo‘lsa, quyidagi klassik qutb
tenglamalari olinadi:
Parabola:
𝑟 =
𝑙
1+𝑐𝑜𝑠θ
Ellips (eksentrisitet 𝑒<1):
𝑟 =
𝑒𝑑
1+𝑒𝑐𝑜𝑠θ
Giperbola (eksentrisitet 𝑒>1):
𝑟 =
𝑒𝑑
1+𝑒𝑐𝑜𝑠θ
Bu tenglamalar konik chiziqlarning fokusli (direktrisa orqali aniqlanuvchi) qutb
ifodalaridir va ularning umumiy ko‘rinishi:
𝑟 =
𝑒𝑑
1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠θ
ko‘rinishidadir, bu yerda 𝑒 — eksentrisitet, 𝑑 — fokusdan direktrisagacha bo‘lgan
masofa.
Misol: Quyidagi tenglama berilgan:
𝑟 =
2
1+𝑐𝑜𝑠θ
Bu tenglama qutb koordinatalarida berilgan va konik kesimni ifodalaydi. Biz undan
chiziq turini aniqlash va asosiy xossalarini tahlil qilamiz.
Yechish va tahlil: bu tenglama quyidagi umumiy ko‘rinishga juda o‘xshaydi:
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
12
𝑟 =
𝑒𝑑
1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠θ
Bu — konik kesimning fokusli ifodasi, bu yerda: 𝑒 — eksentrisitet (shaklni aniqlaydi), 𝑑
— fokusdan direktrisagacha bo‘lgan masofa.
Tenglamani ushbu ko‘rinish bilan solishtiramiz:
𝑟 =
2
1 + 𝑐𝑜𝑠θ
→ 𝑒𝑑 = 2, 𝑒 = 1 → 𝑑 = 2
Shunday qilib: 𝑒=1
⇒
bu parabola. Fokus qutbda joylashgan, direktrisa esa 𝑥=−2(chunki
+cosθ bo‘lgani uchun direktrisa chiziq 𝑥=−𝑑). Bu parabola o‘q bo‘ylab o‘ng tomonga qaragan
bo‘ladi (chunki +cos𝜃 ishlatilgan).
Xulosa.
Ikkinchi tartibli chiziqlar analitik geometriyaning asosiy obyektlaridan bo‘lib,
ularning tahlili odatda Dekart koordinatalar tizimida olib boriladi. Biroq, ayrim holatlarda —
ayniqsa markaz yoki fokus atrofida simmetriya mavjud bo‘lganda — qutb koordinatalarida
tahlil qilish ancha qulay va samarali bo‘ladi. Ushbu maqolada ko‘rib chiqilganidek, ikkinchi
tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasini qutb koordinatalariga o‘tkazish orqali ularni
algebraik va trigonometrik ifodalar yordamida tasvirlash mumkin.
Tenglamaning kvadratik tuzilmasi orqali chiziqning turi (aylana, ellips, parabola yoki
giperbola) aniqlanadi va bu sinflanish koeffitsientlar orasidagi munosabat, ayniqsa
diskriminant qiymati yordamida amalga oshiriladi. Shuningdek, fokusli ifodalar orqali ham
konik kesimlarning qutb ko‘rinishlari sodda va tushunarli ifodalanadi.
Qutb koordinatalarida tahlil qilish, ayniqsa fizikadagi markaziy kuchlar muammolari,
orbitallarning shakli, optikada linzalar va egriliklar tadqiqotida keng qo‘llaniladi. Demak, bu
mavzuni chuqur o‘rganish nafaqat matematik bilimlarni mustahkamlash, balki ularni amaliy
sohalarda qo‘llash imkonini ham beradi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Т.А. Тошматов, М.Ю. Юнусов. Analitik geometriya. – Toshkent: O‘zbekiston Milliy
universiteti nashriyoti, 2018.
2.
Ж. Базаров. Geometriya va chiziqli algebra. – Toshkent: Fan va texnologiya, 2017.
3.
A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrentyev. Matematika: Entsiklopedik lug‘at. –
Toshkent: O‘qituvchi, 2001.
4.
H. Anton, C. Rorres. Elementary Linear Algebra with Applications. – Wiley, 11th Edition,
2014.
5.
Thomas, G.B., Finney, R.L. Calculus and Analytic Geometry. – Addison-Wesley, 9th
Edition, 1996.
6.
Stewart, J. Multivariable Calculus: Early Transcendentals. – Cengage Learning, 8th
Edition, 2015.
7.
Khan Academy, Conic Sections in Polar Coordinates. https://www.khanacademy.org
