YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
122
PIFAGOR TEOREMASI VA UNING GEOMETRIYADA QO‘LLANILISHI
Dinora Sobirova
Ajiniyoz nomidagi NDPI Fizika va Matematika fakulteti talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15314331
Annotatsiya:
Mazkur maqolada Pifagor teoremasining matematik mazmuni, uning
isboti va tarixiy ildizlari tahlil qilinadi. Shuningdek, teoremaning geometriyada, trigonometrik
nisbatlarda, masalalarni modellashtirishda va muhandislik amaliyotida qo‘llanilishiga doir
aniq misollar orqali yoritiladi. Maqola o‘quvchilarga nafaqat nazariy bilim, balki uning hayotiy
qo‘llanma sifatida ahamiyatini to’liq ochib berishga va ularni ko‘rsatishga qaratilgan.
Kalit so‘zlar:
Pifagor teoremasi, to‘g‘ri burchakli uchburchak, geometriya, masala
yechimi, gipotenuza, amaliy matematika, trigonometrik nisbatlar
.
Matematikaning eng qadimiy va mustahkam poydevorlaridan biri bo‘lgan Pifagor
teoremasi asrlar davomida nafaqat nazariy fanlar, balki hayotiy masalalarni hal etishda ham
keng qo‘llanib kelinmoqda. Teorema ilk bor qadimgi Yunoniston davrida Pifagor tomonidan
shakllantirilgan bo‘lsa-da, uning mohiyati va qo‘llanish doirasi vaqt o‘tgan sayin yanada
chuqurlashib bordi. Ayniqsa, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar bilan bog‘liq masalalarni hal
qilishda bu teorema muhim vosita sifatida xizmat qiladi. Gipotenuzaning kvadrati katetlar
kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘lishi haqidagi oddiy, ammo chuqur mazmunli bu tenglama
geometriya, algebra, trigonometrik tahlil, fizika va muhandislik sohalarida fundamental rol
o‘ynaydi.
Pifagor teoremasining kuchi uning soddaligida, universalligida va amaliy qudratida
mujassam. U orqali ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofani topish, balandlik, diagonallar, egri
chiziqlar atrofidagi hisob-kitoblar va hatto zamonaviy algoritmlar asosida tahlillar yuritish
mumkin. Shu sababli bu teoremani o‘rganish nafaqat matematikani o‘zlashtirish, balki
mantiqiy fikrlashni, muammoga tizimli yondashishni rivojlantirishda ham beqiyos
ahamiyatga ega.
Ushbu maqolada Pifagor teoremasining nazariy asosi, asosiy isbotlari va
geometriyada uchraydigan amaliy masalalardagi qo‘llanilishi tizimli tarzda ko‘rib chiqiladi.
Maqsad – o‘quvchilar va o‘rganuvchilarga ushbu teoremaning asl mohiyatini anglatish, uni
real hayotda qanday ishlashini ko‘rsatish va matematik tafakkurni chuqurlashtirishdan iborat.
Pifagor teoremasi — geometriyaning asosiy qonuniyatlaridan biri bo‘lib, to‘g‘ri
burchakli uchburchaklarda qo‘llaniladi. Teorema shunday deydi:
to‘g‘ri burchakli
uchburchakning gipotenuzasining (eng uzun tomon) kvadrati, uning katetlarining
kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar to‘g‘ri burchakli
uchburchakda a va b katetlari, c esa gipotenuza bo‘lsa, unda quyidagi tenglama to‘g‘ri bo‘ladi:
𝑎
2
= 𝑏
2
+ 𝑐
2
Bu tenglama oddiy bo‘lib tuyulsa-da, uning matematik va amaliy ahamiyati ulkan.
Pifagor teoremasi nafaqat geometriya, balki trigonometrik hisoblashlar, fizikada va amaliy
muhandislikda keng qo‘llaniladi.
Pifagor teoremasining isboti bir necha xil usulda amalga oshirilgan. Ulardan biri
Algebraik isbot
dir. To‘g‘ri burchakli uchburchakning barcha tomonlari kvadratga olingan va
bu kvadratlarning yuzalari yig‘indisi yordamida teorema tasdiqlanadi. Boshqa isbotlar esa
geometrik
usullarni, ya’ni to‘g‘ri burchakli uchburchaklarni katta kvadrat yoki boshqa
shakllarga ajratish va o‘zgartirish orqali amalga oshiriladi. Birinchi isbotni ko‘rsatish uchun,
biz to‘g‘ri burchakli uchburchakni oling, uning katetlari a va b, gipotenuzasi esa c.
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
123
Uchburchakni 4 dona nusxasini olish orqali kvadrat shaklga keltirishingiz mumkin. Bu
kvadratning yuzasini hisoblash orqali teoremaning to‘g‘riligini isbotlash mumkin. Shuningdek,
isbot qilishning boshqa geometrik shakllardan ham foydalanish mumkin.
Pifagor teoremasi turli matematik masalalarni hal qilishda va real hayotdagi
muammolarni yechishda keng qo‘llaniladi. Keling, ba’zi misollarni ko‘rib chiqaylik.
Misol 1: To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini topish
Faraz qilaylik, to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari quyidagicha berilgan:
a=3 va b=4 . Gipotenuzani topish uchun Pifagor teoremasini qo‘llaymiz:
Yechim:
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
9 + 16 =
𝑐
2
B
3
2
+ 4
2
= 𝑐
2
25 =
𝑐
2
→
c = 5
Javob : Shunday qilib, gipotenuza uzunligi 5ga teng.
Misol 2: Balandlikni aniqlash C A
Deylik, binoning yuqori qavatidan pastga tushayotgan obyektni kuzatmoqdamiz. Agar
obyekt to‘g‘ri burchakli uchburchak shaklida yerga tushsa va uning
yerga bo‘lgan masofasi (katetlardan biri) 12 m bo‘lsa, yerga tushgan ob’ektning masofasi
(ikkinchi katet) 16 m bo‘lsa, binoning balandligini (gipotenuza) aniqlash uchun Pifagor
teoremasidan foydalanamiz:
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
A
12
2
+ 16
2
= 𝑐
2
400=
𝑐
2
c = 20
C B
Javob: Binoning balandligi 20 m ga teng.
Misol 3: Diagonalni hisoblash
Ko‘plab geometrik shakllarda, masalan, kvadratlar va to‘rtburchaklar uchun diagonal
uzunligini topishda Pifagor teoremasi ishlatiladi. Agar bir kvadratning tomonining uzunligi
a=7 m bo‘lsa, uning diagonali d ni topish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
𝑎
2
+ 𝑏
2
= 𝑐
2
A B
7
2
+ 7
2
= 𝑑
2
2*49 =
𝑑
2
d =
7√2
7
C 7 D
Shunday qilib, kvadratning diagonali
7√2
m ga teng.
Pifagor teoremasi faqatgina to‘g‘ri burchakli uchburchaklarda qo‘llanib qolmaydi. Uning
geometrik amaliyotlarda qo‘llanilishi ham keng. Masalan, tekislikda nuqtalar orasidagi
masofani aniqlash, uchburchaklarni o‘zgartirish, shakllarni modellashtirishda va hatto uch
o‘lchamli fazolarda ham Pifagor teoremasi foydalaniladi. Pifagor teoremasi — bu
matematikaning asosiy va eng muhim qonunlaridan biri bo‘lib, uning qo‘llanilishi bizning
YOSH OLIMLAR
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/yo
124
kundalik hayotimizda juda keng. Teoremaning oddiy ko‘rinishi, ya’ni to‘g‘ri burchakli
uchburchakda gipotenuzaning kvadrati katetlarning kvadratlari yig‘indisiga tengligi, aslida
ko‘plab murakkab masalalarni yechish uchun asosiy poydevordir. Bu teorema nafaqat
geometriya, balki fizika, muhandislik, kompyuter grafikasi va boshqa sohalarda ham keng
qo‘llaniladi. Maqolada keltirilgan misollar orqali, Pifagor teoremasi yordamida to‘g‘ri
burchakli uchburchaklar, kvadratlar, diagonallar va masofa hisoblash kabi amaliy masalalar
osonlikcha hal qilinishi mumkinligini ko‘rdik. Ayniqsa, geometriyada bu teorema o‘zining
universal qoidasi bilan, murakkab geometrik shakllarni soddalashtirishga yordam beradi.
Teoremaning isbotlari va amaliy qo‘llanilishlari matematik tafakkurni rivojlantiradi va
o‘quvchilarga yanada chuqurroq tushunchalar berishga xizmat qiladi. Pifagor teoremasi orqali
nafaqat matematikani o‘rganish, balki muammolarga tizimli yondashish, analitik fikrlash va
muhokama qilish qobiliyatlari ham shakllanadi. Bu esa har bir talaba uchun matematik
bilimlarni chuqurlashtirishga yordam beradi va o‘zining amaliy ahamiyatini kun sayin
oshiradi. Shu bilan birga, Pifagor teoremasi, sodda ko‘rinishiga qaramay, ilm-fan va
texnologiyalarda qanchalik katta rol o‘ynashini ko‘rsatadi. Bu teorema nafaqat matematik
nuqtai nazardan, balki amaliy sohalarda muhim vosita sifatida qimmatli. Umuman olganda,
Pifagor teoremasining o‘rganilishi nafaqat matematika fanining o‘zini, balki unga asoslangan
boshqa ko‘plab ilmiy va amaliy sohalar uchun ham muhimdir. Uni o‘zlashtirish va qo‘llash
orqali, har bir talaba matematik tafakkurni yanada rivojlantirishi, shuningdek, kundalik
hayotda ham turli masalalarni yechishda foydali ko‘nikmalarga ega bo‘lishi mumkin.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Abdullayev, T., & Karimov, B. (2019).
Geometriya asoslari
. Toshkent: “O‘qituvchi”
nashriyoti.
2.
Smirnova, E. A. (2015).
Geometriya 7-9 sinflar uchun
. Moskva: Prosveshcheniye.
3.
Stewart, J. (2012).
Calculus: Early Transcendentals
. Boston: Cengage Learning.
4.
Khan
Academy.
(2023).
Geometry
–
Triangles
.
https://www.khanacademy.org/math/geometry
5.
Weisstein, E. W. (n.d.).
Triangle
. In
MathWorld – A Wolfram Web Resource
.
https://mathworld.wolfram.com/Triangle.html
