Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
17-to’plam 2-son Mart 2025
123
IQTISODIYOTDA DIFFERENSIAL HISOBNING QO’LLANILISHI
Angren universiteti Kat. o’q.
Bekmatov D.Sh.
Annotatsiya: Maqolada firma va iqtisodiy hodisalarni hal qilishda
differensial hisobning ahamiyati haqida so’z boradi. Matematikadagi ayrim
tushunchalarni iqtisodiyotdagi o’rnini masalalar orqali ko’rib chiqamiz.
Tayanch so’zlar: elastiklik, chegaraviy xarajatlar, chegaraviy moyillik,
iste’mol va jamg’arma funksiyalar.
Kirish.
Hozirda yurtimizda tadbirkorlarga yaritib berilayotgan imkoniyatlar
ko’paygan sari xususiy firma va korxonalarning soni yildan yilga ko’payib
bormoqda. Bu firma va korxonalar kelajakda kam xarajat qilib, ko’p foyda ko’rish
uchun ularning mahsulot ishlab chiqarishini oldindan pragnoz qilish maqsadga
muvofiq bo’ladi. Shuningdek, yurtimizning jahon bozorida o’z o’rnini yuqoriga
ko’tarishda ham bu masalalar juda muhim hisoblanadi.
Tahlil va natijalar muhokamasi.
Endi ayrim iqtisodiy masalalarni differensial hisobni qo’llash yordamida
ko’rib chiqamiz:
Ishlab chiqarish xarajatlari
. Agar ishlab chiqarishning xarajat funksiyasi
y
ni ishlab chiqarilgan mahsulot miqdori
x
ning funksiyasi sifatida qaralsa, ya’ni
y=C(x)
u holda,
y’=C’(x)
ishlab chiqarishning chegaraviy xarajatini ifodalaydi va
taxminan bir birlik qo’shimcha mahsulot ishlab chiqarish uchun sarflanadigan
o’zgaruvchan xarajatni o’sishini xarakterlaydi. O’rtacha xarajat bir birlik mahsulot
ishlab chiqarishaga sarflanadigan xarajatdir. Ya’ni:
y=
𝐶(𝑥)
𝑥
Masala
. Firmaning mahsulot ishlab chiqarishga sarflanadigan xarajat
funksiyasi quyidagicha:
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
17-to’plam 2-son Mart 2025
124
y(x)=0.1x
3
-1.2x
2
+5x+250
Ishlab chiqarishning o’rtacha va chegaraviy xarajatini toping va uning x=10
dagi qiymatini toping.
Yechish.
Funksiyaning y’(x) hosilasini va uning x=10 da y’(10) qiymatini
topamiz. Ishlab chiqarishning chegaraviy xarajatlari:
y’(x)=0.3x
2
-2.4x+5, y’(10)=30-24+5=11
O’rtacha xarajatlar: y=
𝑦(𝑥)
𝑥
=
0.1𝑥
3
−1.2𝑥
2
+5𝑥+250
𝑥
=0.1x
2
-1.2x+5+
250
𝑥
.
y=
𝑦(10)
10
= 10 − 12 + 5 + 25 = 28
bu berilgan ishlab chiqarish darajasida bir
birlik mahsulot ishlab chiqarishga sarflangan o’rtacha xarajatdir. Funksiya
orttirmasini taqribiy hisoblash formulasiga ko’raΔC= dC=C’(x)Δx, C’(10)
kattalikni shunday ifodalash mumkin: agar 10ta mahsulot ishlab chiqarilgan bo’lsa,
u holda 11-mahsulot ishlab chiqarish bo’yicha qo’shimcha xarajatlar taxminan
C’(10)=9 ga teng.
Iste’mol va jamg’arma funksiyasi.
Agar x milliy daromad, C(x) iste’mol
funksiyasi (daromadning sarflanadigan qismi), S(x)- jamg’arma funksiyasi bo’lsa,
u holda
x=C(x)+S(x)
bo’ladi. Uni x bo’yicha differensiallab:
𝑑𝐶
𝑑𝑥
+
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 1
Tenglamani hosil qilamiz , bu yerda
𝑑𝐶
𝑑𝑥
iste’molga bo’lgan chegaraviy
moyillik;
𝑑𝑆
𝑑𝑥
jamg’armaga bo’lgan chegaraviy moyillik.
Masala.
Mamlakatning iste’mol funksiyasi
C(x)=10+0.47x+ 0.36x
3/4
bu
yerda x- jami milliy daromad (pul birligida)
a) iste’molga bo’lgan chegaraviy moyillikni;
b)agar milliy daromad 15 mlrd p/b bo’lsa, jamg’armaga bo’lgan chegaraviy
moyillikni toping.
Yechish.
Iste’molga bo’lgan chegaraviy moyillik:
C’(x)
=0.47+0.27
𝑥
−1
3
;
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
17-to’plam 2-son Mart 2025
125
uning qiymati esa
C’(15)
=0.47+0.27·
1
√15
3
≈ 0.57
Jamg’armaga bo’lgan
chegaraviy moyillik:
S’(x)=1-C’(x)
=0.43.
Endi hosilaning tadbiqini oddiy masalalarda ko’rib chiqamiz:
Masala.
Agar erta pishar kartoshka terimini avgustning boshida boshlansa, u
holda har bir sotixdan 200kg dan hosil olish mumkin va har bir kilogrammi 12p/b.
dan sotiladi.
Terim bir haftaga kechiktirish har sotixdan 50kg dan hosildorlikni oshiradi,
lekin narx har hafta 2p/b. ga arzonlashadi. Agar terim muddati 5 hafta bo’lsa,
kartoshkani sotishdan olinadigan foyda eng ko’p bo’lishi uchun hosilni qaysi hafta
yig’ib olish kerak?
Yechish.
Hosilni
t
-haftada yig’ib olganda foyda eng ko’p bo’lsin (1
≤ 𝑡 ≤ 5
).
U holda shu haftada kartoshkani bir kilogrammining narxi 12-2(
t-1
)=14-2
t
p/b.
bo’ladi. Hosildorlik esa har gektaridan 200+50(
t-
1)= 150+50
t
kg dan bo’ladi. Bir
gektar hosilni umumiy foyda tenglamasini tuzib olamiz:
𝜋(𝑡) = (200 + 50(𝑡 − 1))(12 − 2(𝑡 − 1)) = 100(21 + 4𝑡 − 𝑡
2
).
Demak,
umumiy foyda eng ko’p bo’lishi uchun
𝜋(𝑡) = 100(21 + 4𝑡 − 𝑡
2
)
funksiya
maksimum qiymatini toppish kerak. Buning uchun esa
𝜋′(𝑡) = 0
tenglamani
yechib, aniqlangan
t
sonini umumiy foyda tenglamasiga qo’ysak har bir gektar
yerdan olinadigan
max
daromad kelib chiqadi.
𝜋′(𝑡) = 0 → 4 − 2𝑡 = 0,
t
0
=2.
Demak,
𝜋(2) = 100(21 + 8 − 4) = 2500
mavsum davomida bir gektar yerdan
olinishi mumkin bo’lgan eng ko’p daromad. Shunday qilib hosilni 2-haftada yig’ib
olish kerak ekan.
Xulosa.
Ko’plab inqirozga uchrayotgan firma yoki korxonalardan ayrimlari
matematikaning iqtisodiyotdagi qo’llanilishinibilmasliklari uchun bankrot
bo’lishadi. Bu maqolada matematikaning faqat bitta tushunchasi keng yoritib
berishga harakat qilindi. Lekin bu kabi tushunchalarni maktab o’quvchilariga va
talabalarga yoritib berish hozirda susaygan. Bu tushunchalarni yoritib berish orqali
yoshlarga iqtisodiyotga va biznesga qiziqishini oshirish mumkin.
Yangi O'zbekiston taraqqiyotida tadqiqotlarni o'rni va rivojlanish omillari
17-to’plam 2-son Mart 2025
126
Adabiyotlar:
1.
Azlarov T.A., Mansurov H. Matematika analiz . – T.,2006.
2.
Xojiyev J. Algebra va sonlar nazariyasi. – T.: O’zbekiston 2001.
3.
Jurayev T.J., Xudoyberganov R.X., Vorisov A.K., Mansurov X. Oliy
matematika asoslari.-T.: O’zbekiston 1999.
4.
Soatov Y.U. Oliy matematika. –T.: O’qituvchi, 1-jild, 2-jild, 1994., 3-jild,
1996.
5.
Общий курс высшей математике для экономистов. /Под ред. В.И.
Ермакова. –М.:ИНФРА-М, 2006.
6.
Высшая математика для экономистов./Под ред. Н.Ш.Кремера. –
М.:ЮНИТИ,2006.
7.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического
бакалаврианта. –М.:Дело, 2006.
8.
Шипачев В.С. Курс высшей математики. –М.: Проспект, 2005.
9.
Солодовников А., Бабайыев А.А., Браилов А.В. Математика в
экономике. –М.: Финансы и статистика, 2004.
10.
Коршунова Н., Плясунов В. Математика в экономике.- М.: Вита пресс,
2004.
