107
QAYTISH VAQTIGA DOIR FUNDAMENTAL TEOREMALAR
Xudoynazarov Qahramon
Aniq va ijtimoiy fanlar universiteti
Matematika yo’nalishi 2-kurs magistranti
https://doi.org/10.5281/zenodo.15410142
Annotatsiya:
Mazkur maqolada ehtimollar nazariyasi va topologik dinamik tizimlar
doirasida qaytish vaqti tushunchasi hamda unga oid fundamental teoremalar yoritilgan.
Ayniqsa, Poincare qaytish teoremasi va Kac teoremasi asosida tasodifiy va deterministik
tizimlarda obyektlarning o‘z boshlang‘ich holatiga qaytish ehtimoli, vaqti va shartlari
matematik jihatdan izohlanadi. Ushbu natijalar ergodik nazariya, Markov jarayonlari, fizik
modellar va kompyuter simulyatsiyalarida keng qo‘llaniladi. Maqolada ushbu teoremalar
formulalari, izohli misollar va ularning qo‘llanilishi bo‘yicha tahlillar keltirilgan.
Kalit so‘zlar:
qaytish vaqti, ergodiklik, Markov jarayonlari, Poincare teoremasi, Kac
formulasi, ehtimollar nazariyasi, topologik dinamik tizim, invariant o‘lchov, stoxastik jarayon.
Kirish.
Matematik model va ehtimollar nazariyasi doirasida o‘rganiladigan eng qiziqarli
masalalardan biri — bu tasodifiy yoki deterministik tizimlarda harakatlanuvchi obyektlarning
o‘z boshlang‘ich holatiga qaytishidir. Qaytish vaqti tushunchasi nafaqat abstrakt matematik
tushuncha, balki fizik jarayonlar, moliyaviy simulyatsiyalar, biologik tizimlar va ijtimoiy
jarayonlarni modellashtirishda ham muhim o‘rin tutadi.
Poincare qaytish teoremasi shuni ko‘rsatadiki, hajmi cheklangan va invariant o‘lchovga
ega bo‘lgan fazoviy tizimda har qanday holat, ma’lum vaqt o‘tgach, boshlang‘ich holatiga yaqin
bo‘lgan holatga qaytadi. Keyinchalik B. Kac tomonidan bu natija aniqroq ifodalandi va qaytish
vaqti uchun matematik formulalar taklif qilindi. Ushbu maqola aynan shu teoremalarni tahlil
qilish, ularning mohiyatini ochib berish va amaliy masalalarda qo‘llash imkoniyatlarini
ko‘rsatishga bag‘ishlangan.
Asosiy natijalar:
Poincare qaytish teoremasi:
Agar tizim yopiq, o‘zgaruvchilar fazosi cheklangan va invariant o‘lchov mavjud bo‘lsa,
unda tizimning har qanday holati o‘ziga yaqin bo‘lgan holatga cheksiz ko‘p marta qaytadi.
Kac formulasi:
Ergodik tizimda har qanday ixtiyoriy holat uchun
qaytishning
kutilayotgan vaqti
uning o‘lchovi bilan teskari proportsional:
E[T]=1μ(A)\mathbb{E}[T] = \frac{1}{\mu(A)}E[T]=μ(A)1
bu yerda TTT — qaytish vaqti, μ(A)\mu(A)μ(A) — boshlang‘ich to‘plamning o‘lchovi.
Ergodik tizimlar xossasi:
Barcha traektoriyalar bo‘ylab vaqtincha o‘rta qiymatlar
fazoviy o‘rtacha qiymatlarga yaqinlashadi, ya’ni tizimda statistik barqarorlik mavjud.
Stoxastik jarayonlar uchun qo‘llanishi:
Markov zanjirlari va boshqa stoxastik
modellar uchun qaytish ehtimoli va vaqti stansionarlik va barqarorlik mezonlarini aniqlashda
qo‘llaniladi.
Zamonaviy matematikaning muhim sohalaridan biri bo‘lgan
dinamik tizimlar
nazariyasi
da vaqt o‘tishi bilan tizimlarning holatining qanday o‘zgarishi, qanday holatlarga
qaytishi va ularning barqarorligi haqida ko‘plab savollar tug‘iladi. Aynan shunday
muammolarga yechim topishda
qaytish vaqti
tushunchasi va unga doir
fundamental
teoremalar
muhim rol o‘ynaydi. Bu teoremalar, ayniqsa, fizikaviy, biologik, iqtisodiy va
108
statistik modellashtirishlarda, vaqt bilan bog‘liq takrorlanish va tizimning o‘z holatiga qaytish
imkoniyatlarini tahlil qilishda keng qo‘llaniladi.
Qaytish vaqti nima?
Qaytish vaqti — bu muayyan holatda turgan dinamik tizimning o‘sha holatga yana
qaytishi uchun o‘tgan vaqt miqdoridir. Ya’ni, tizim vaqt o‘tishi bilan turli holatlarga o‘tadi,
lekin ba’zi holatlari ma’lum bir davrda yana takrorlanishi mumkin. Qaytish vaqti shu
takrorlanishgacha bo‘lgan oraliqni ifodalaydi.
Misol 1: Oddiy aylana bo‘yicha harakat
Tasavvur qiling, bir nuqta birlik aylana bo‘ylab doimiy tezlikda harakat qilmoqda. Bu
nuqta birinchi holatga (masalan, θ=0\theta = 0θ=0) aniq vaqt o‘tgach qaytadi. Agar nuqtaning
harakat tezligi irrasional son bo‘yicha ifodalansa (masalan, ω=2\omega = \sqrt{2}ω=2), unda
u aynan bir holatga hech qachon qaytmasligi mumkin — faqatgina unga juda yaqinlashadi.
Ammo, tezlik ratsional bo‘lsa (masalan, ω=1\omega = 1ω=1), unda nuqta aniq vaqt ichida
aynan bir holatga qaytadi. Bu hodisa
qaytish
tushunchasining klassik misolidir.
Misol 2: Molekulalarning harakati (fizik misol)
Gaz molekulalari yopiq idishda harakat qiladi. Har bir molekula vaqt o‘tishi bilan turli
joylarga harakatlanadi. Ammo Ergodik nazariyaga ko‘ra, agar tizim yetarlicha vaqt davomida
ishlasa, u molekula o‘zining dastlabki holatiga yaqin yoki to‘g‘ri o‘sha joyga qaytadi. Bunday
holat
Poincaré qaytish teoremasi
bilan asoslanadi.
Misol 3: Iqtisodiy tsikllar
Iqtisodiy tizimlarda ayrim holatlar (masalan, inqiroz, o‘sish, barqarorlik) ma’lum vaqt
oralig‘ida takrorlanadi. Tizimning shu holatlarga qaytishi "qaytish vaqti" orqali o‘lchanadi. Bu
tahlil orqali iqtisodiy tsikllar, narx o‘zgarishlari yoki investitsiya faolligi qayta-qayta yuzaga
keladigan davrlar aniqlanadi.
Fundamental ahamiyati
Qaytish vaqti va unga oid fundamental teoremalar orqali:
Dinamik tizimlar
barqaror
yoki
xaotik
ekanligi aniqlanadi;
Tizimning
davriy
yoki
kvazidavriy
xatti-harakati o‘rganiladi;
Ergodiklik
, ya’ni tizimning barcha holatlarni o‘z ichiga olishi yoki yo‘qligi tekshiriladi;
Real tizimlarda (fizika, iqtisod, biologiya)
prognoz qilish
imkoniyati paydo bo‘ladi.
Demak,
qaytish vaqti
tushunchasi oddiygina "tizim o‘z holatiga yana qaytadimi yoki yo‘qmi?"
degan savolga fundamental javob beradi. Bu masala matematik analiz, ehtimollar nazariyasi,
ergodik nazariya va fizikadagi klassik mexanika doirasida chuqur o‘rganilgan. Ayniqsa,
Poincaré Qaytish Teoremasi
bu sohadagi eng muhim teoremalardan biri bo‘lib, u istalgan
yopiq va cheklangan hajmli tizimda qaytish muqarrarligini matematik tarzda isbotlab beradi.
o
Yopiq va cheklangan hajmli dinamik tizimda, har qanday boshlang‘ich holatga vaqt
o‘tishi bilan tizim muqarrar ravishda qaytadi.
o
Bu qaytish har doim sodir bo‘ladi, ammo
aniq qaytish vaqti
oldindan hisoblab
bo‘lmasligi mumkin.
o
Teorema
davriy bo‘lmagan
(ya’ni xaotik) tizimlarda ham qaytish ehtimolini
kafolatlaydi.
o
Agar tizim ergodik bo‘lsa, unda qaytish nafaqat muqarrar, balki
ma’lum davrlarda
doimiy ravishda
sodir bo‘ladi.
109
o
Ergodik tizimda vaqt bo‘yicha kuzatilgan statistik o‘rtacha, fazoviy o‘rtachaga teng
bo‘ladi.
o
Agar tizimda biror kichik sohani olayotgan bo‘lsak, unga qaytishning
kutilgan o‘rtacha
vaqti
ushbu sohaning hajmiga teskari proporsional bo‘ladi.
o
Bu shuni bildiradiki, kichikroq sohalarga qaytish uchun ko‘proq vaqt ketadi, kattaroq
sohalarga esa kamroq.
Rekurrentlik (qaytuvchanlik)
— dinamik tizimlarning umumiy xossasi:
o
Ko‘pchilik real tizimlar (masalan, iqlim tizimi, biologik sikllar, iqtisodiy modellar) o‘z
holatlariga muayyan davrlarda qaytadi.
o
Bu qaytuvchanlikni aniqlash orqali real tizimlarning prognoz qilish va boshqarish
imkoniyatlari kengayadi.
Qaytish vaqti
— bu dinamik tizimlarning vaqt bo‘yicha qanday rivojlanishini chuqur
tushunishga imkon beradigan asosiy tushunchadir.
Fundamental teoremalar
, xususan
Poincaré teoremasi
, tizimlarning o‘z holatlariga
qaytishini nazariy jihatdan kafolatlaydi, bu esa ilmiy modellashtirish va tahlil jarayonlarida
asosiy vosita bo‘lib xizmat qiladi.
Dinamik tizimlarda qaytuvchanlik —
barqarorlik va uzluksizlik
belgisi bo‘lishi
mumkin, shu sababli bu tushuncha
fizika, biologiya, iqtisodiyot, astronomiya
kabi ko‘plab
fan sohalarida qo‘llaniladi.
Matematik jihatdan, qaytish teoremalarining amaliy ifodasi
simulyatsiyalar, grafik
analizlar
va statistik modellar orqali aniqlanadi va bu holat real tizimlarning harakatini
oldindan taxmin qilishda qo‘l keladi.
Yakuniy natija shundan iboratki,
har qanday yopiq va energiyasi cheklangan tizim
vaqt o‘tishi bilan o‘zining dastlabki yoki unga yaqin holatiga qaytadi — bu
tabiatdagi
sikliklik va muvozanatga intilish
holatining matematik ifodasidir.
Xulosa.
Qaytish vaqti tushunchasi va unga oid fundamental teoremalar — dinamik
tizimlar va ehtimollar nazariyasining ajralmas qismidir. Poincare va Kac tomonidan
isbotlangan teoremalar harakatlanuvchi obyektlarning vaqt mobaynida qanday xatti-harakat
qilishi, ularning boshlang‘ich holatga qaytish ehtimoli va bu hodisaning umumiy
qonuniyatlarini chuqur tahlil qilish imkonini beradi.
Mazkur teoremalar amaliy jihatdan ham muhim bo‘lib, ular orqali fizik, biologik va
ijtimoiy tizimlarning simulyatsiyasi, stoxastik modellarni barqarorlashtirish va prognozlash
masalalari hal qilinadi. Kelgusida bu yo‘nalishda olib boriladigan tadqiqotlar ko‘p o‘lchovli
fazolarda, ergodik bo‘lmagan tizimlarda ham qaytish xatti-harakatlarini chuqurroq
o‘rganishga xizmat qiladi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Qodirov, Farrux. "On the properties of homeomorphisms of the circle with singularities."
Uzbek Mathematical Journal
, vol. 2020, no. 2, 2020, pp. 45–53.
2.
Qodirov, Farrux, and B. Aliev. "Invariant sets of circle homeomorphisms with singular
points."
Bulletin of Tashkent University
, vol. 2021, no. 1, 2021, pp. 34–42.
3.
Qodirov, Farrux. "Dynamical systems and the behavior of circle mappings under
110
continuous transformations."
International Journal of Mathematical Sciences
, vol. 17, no. 4,
2022, pp. 101–110.
4.
Qodirov, Farrux. "Topological aspects of circle transformations in one-dimensional
manifolds."
Scientific Reports of Mathematics Department
, vol. 9, no. 3, 2021, pp. 22–30.
5.
Qodirov, Farrux. "Homeomorphisms and their fixed points on compact topological
spaces."
Journal of Applied Topology and Geometry
, vol. 8, no. 2, 2023, pp. 88–97.
6.
Qodirov, F. E., O. D. Doniyorov, and H. Shokirov Sh. "Basic concepts of information
security in information systems. Wide threats and their consequences."
концепции
устойчивого развития науки в современных условиях
(2021): 153-155.
7.
Bozorova, Irina Jumanazarovna, and Dilfuzaxon Mamasharipovna Karayeva. "Modern
programming technologies and their role."
интеллектуальный капитал xxi века
. 2020.
8.
Ergash o’g’li, Qodirov Farrux. "Hududlarni ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishda har bir
hududning о ‘ziga xos xususiyatlari."
Scientific Journal of Actuarial Finance and
Accounting
4.09 (2024): 178-183.
9.
Qodirov, Farrux, and Zuhriddin Mardonov. "BLOKCHEYN TEXNOLOGIYASI VA UNING
QO’LLANILISHI."
Наука и технология в современном мире
4.6 (2025): 27-32.
10.
Qodirov, F. E. "Methodological aspects and importance of development of medical
services through econometric modeling and forecasting options."
academy. uz/index. php/yo
.
11.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "ELEKTRON TIJORAT PLATFORMALARINING
EKOLOGIK TOZA QISHLOQ MAHSULOTLARI BOZORIGA TA’SIRI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 37-44.
12.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "BULUTLI HISOBLASH TEXNOLOGIYALARI VA
AI ASOSIDA QISHLOQ XO ‘JALIGIDA PROGNOZLASH TIZIMLARI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 45-52.
13.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "AQLLI SHAHAR (SMART CITY) TIZIMLARI
ORQALI EKOLOGIK MONITORING VA RESURSLARNI TEJASH."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 21-28.
14.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "IOT TEXNOLOGIYALARIDAN FOYDALANIB
CHIQINDILARNI
AVTOMATLASHTIRILGAN
BOSHQARISH
TIZIMLARI."
Наука
и
инновация
3.10 (2025): 68-75.
15.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "GEOGRAFIK AXBOROT TIZIMLARI (GIS)
ASOSIDA YER VA SUV RESURSLARINI MONITORING QILISH."
Инновационные исследования
в современном мире: теория и практика
4.10 (2025): 85-91.
