128
SONLI TOPLAMLARNING CHEGARALARI
Parpieyev Sodiqjon Abdujalilovich
Andijon davlat pedagogika instituti
Matematika va informatika kafedrasi o’qituvchisi
Qobuljonova Diyora Xusniddin qizi
Andijon davlat pedagogika instituti Fizika yo’nalishi talabasi
https://doi.org/10.5281/zenodo.15342308
Annotatsiya:
Ushbu maqolada real sonlar to’plamining chegaralanganligi tushunchasi
hamda uning matematik analizdagi nazariy va amliy ahamiyati atroflicha tahlil qilindi.
Chegaralangan to’plamlar ularning yuqori va quyi chegaralari kabi asosiy tushunchalari qat’iy
mateematik ta’riflar asosida ko’rib chiqildi.
Kalit so’zlar:
Chegaralangan to’plam, soni ketma –ketlik, matematik anliz, chegaralik
sharti, yuqori va quyi chegaralar.
Kirish
. Sonli to’plamlar. Biz avvalgi paragraflarda xaqiqiy sonlar toplami R ni va uning
xossalarini o’rgandik. Odatda elementlari xaqiqiy sonlardan iborat bo’lgan to’plam sonly
to’plam deyiladi va u ko’pincha
𝐸 = {𝑥}
kabi belgilanadi. Matematik analiz kursida asosan
sonli to’plamlar qaraladi. Sonli to’plamlarga yuqorida bir qancha misollar keltirgan edik.
Yana bir qancha misollar keltiramiz.
1.
𝐹
1
= {0,1,
1
2
,
1
3
,
2
3
,
1
4
,
3
4
}
,
2.
𝐹
2
= {𝑥: 𝑥𝜖𝑅 𝑥
3
− 𝑥 = 0}
,
3.
𝐹
3
= {𝑥, 𝑥 ∈ 𝑅 1 ≤ 𝑥 ≤ 2}
4.
𝐹
4
= {𝑥: 𝑥𝜖𝑅 0 < 𝑥 < 1} ∪ {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 3}
.
Kurs davomida har doim uchrab turadigan sonli to’plamlarni keltiramiz .
Ikki
𝑎 ∈ 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅
son berilgan bo’lib,
𝑎 < 𝑏
bo’lsin. Ushbu
{𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
To’plam segment deb ataladiva u
[𝑎, 𝑏]
kabi belgilanadi :
[𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Bunda a va b sonlar
[𝑎, 𝑏]
segmentning chegaraviy nuqtalari yoki chegaralari deyiladi.
Ushbu
{𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
To’plam interval deyiladi va u
(𝑎, 𝑏)
kabi belgilanadi :
(𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
.
Quyidagi
{𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
To’plamlar yarim segment deyiladi va ular mos ravishda
[𝑎, 𝑏)
va
(𝑎, 𝑏]
kabi belgilanadi:
[𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏},
(𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}.
Keyingi muloxazalarda asosan sonli to’plamlar bilan ishko’riladi. Shuning uchun bundan
keyin “sonli to’plam “ deyish o’rniga qisqacha “to’plam “ so’zini ishlatamiz.
Misollar. 1.
𝐸 = {
1
𝑛
: 𝑛 = 1,2,3, }
to’plam yuqoridan chegaralangan, chunki bu
to’plamning xar bir elementi dan katta emas.
2.
𝑁 = {𝑛: 𝑛 = 1,2,3 }
to’plam yuqoridan chegaralanmagan , ammo u quyidan bilan
chegaralangan:
∀𝑛 ∈ 𝑅.
Uchun
𝑛 ≥ 1
.
3.
𝐸
1
–barcha to’g’ri kasrlar va 2,4,6 sonlardan iborat to’plam bo’lsin. Bu to’plam
129
yuqoridan chegaralangan, chunki uning xar bir elementi 6 dan katta emas.
4.
𝐸
2
= {𝑥: 𝑥 < 0}
to’plam quyidan chegaralanmagan.
5.Ushbu
𝐸
3
= {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅, 2 < 𝑥 < 4}
to’plamchegaralanganto’plamdir.
Yuqorida keltirilgan ta’rif va misollardan ko’rinadiki, agar E to’plam yuqoridan
chegaralangan bo’lsa, uning yuqori chegarasi cheksiz ko’p bo’ladi. Bu tasdiq M sonidan katta
bo’lgan xar qanday xaqiqiy son E to’plamning yuqori chegarasi bo’la olishidan kelib chiqadi.
Shuningdek, agar E to’plam quyidan chegaralangan bo’lsa ,uning quyi chegarasi xam
cheksiz ko’p bo’ladi. Bu esa m sonidan kichik bo’lgan xar qanday xaqiqiy son E to’plamning
quyi chegarasi bo’la olishidan kelib chiqadi.
Yuqoridan chegaralangan to’plam uchun uning yuqori chegaralari orasida eng kichigini,
shuningdek, quyidan chegaralangan to’plam uchun uning quyi chegaralari orasida eng
kattasini topish muhimdir.
4- teorema. Xar qanday yuqoridan chegaralangan to’plam uchun uning yuqori
chegaralari orasida eng kichigi mavjud.
Isbot. E to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsin, yani shunday xaqiqiy M son mavjudki,
∀𝑥 ∈ 𝐸.
Uchun
𝑥 ≤ 𝑀
tengsizlik o’rinli.
Endi E to’plam elementlari orasida eng kattasi mavjud bo’lmagan xolni qaraymiz. E ning
yuqori chegaralaridan iborat to’plam
𝐹
′
bo’lsin. Bu
𝐹
′
to’plamga tegishli bo’lmagan barcha
xaqiqiy sonlardan iborat to’plamni F deylik. Ravshanki,
𝐸 ⊂ 𝐹
F va
𝐹
′
to’plamlar R da (F,
𝐹
′
)
kesim bajaradi: ,
𝐸 ⊂ 𝐹
va E – yuqoridan chegaralanganligidan
𝐹 ≠ ∅𝐹
′
≠ ∅
, ekani kelib
chiqadi, shuningdek , F va
𝐹
′
larning tuzilishidan esa
𝐹 ∪ 𝐹
′
= 𝑅
va
∀𝑥 ∈ 𝐹, ∀𝑥 ∈ 𝐹, ∀𝑥
′
∈
𝐹
′
→ 𝑥 < 𝑥
′
bo’ladi. Dedekind teoremasiga ko’ra bu (F,
𝐹
′
) kesim biror
𝛼
xaqiqiy sonni
aniqlaydi:
𝛼
=(F,
𝐹
′
). Bu
𝛼
son tabiiyki, F to’plamning va demak,
𝐸 ⊂ 𝐹
bo’lganidan E
to’plamning xam yuqorichegarasidir, yani
𝛼 ∈ 𝐹
′
Shu bilan birga u
𝐹
′
to’plamning elementlari
orasida eng kichigi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.
14- tarif. Yuqoridan chegaralangan E to’plamning yuqori chegaralarining eng kichigi E
ning aniq yuqori chegarasi deb ataladi. U E kabi belgilanadi.
Xulosa
. Chegaralangan to’plamalr haqidagi tushunchalar matematik analizning asosiy
tamoyillarida biri bo’lib, sonli ketma –ketliklar va funksiyalarning xatti-harakatini chuqur
tushunishda muhim nazariy asos vazifasini bajardi. MAzkur maqolada chegaralilik
fundamental tushunchalarining aniqligi va ularning matematik mulohazalar bilan asoslangan
tahlili taqdim etildi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Ф и х т е н г ольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I,
11, Ш .— М., Наука, 1969. (Узбек тилигаI—IIтомларитаржимақилинган.)
2.
Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Основы математического анализа, т. I, II.—М.Наука, 1964.
(Узбек тилигатаржимакилинган.)
3.
И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа, ч. I.— М., Наука,
1971. (Узбек тилигатаржимақилинган.)
4.
И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа. II.— М., Наука,
1980.
130
5.
Х и н ч и н А. Я. Восемь лекций по математическому анализу.— М., Н аука, 1977.
6.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, II.— М.Высшая школа, 1981.
7.
Никольский С. А1. Курс математического анализа, т. I, II.—М.Наука, 1973.
8.
И л ь и н В. А., С а д о в н и ч и й В. А., С е н д о в Бл. X. .Математический анализ.— М.,
Наука, 1979.
9.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления,т.I, II.— М.,
Наука, 1970.
10.
Рудин У. Основы математического анализа.— М., Мир, 1976.
11.
Зорич В. А. Математический анализ, ч. I.— М., Наука, 1981.
