`
47
STANDART BO’LINISH UCHUN KUTISH VAQTI FUNKSIYALARINING
ASIMPTOTIK HOLATI
Xudoynazarov Qahramon
Aniq va ijtimoiy fanlar universiteti
Matematika yo’nalishi 2-kurs magistranti
https://doi.org/10.5281/zenodo.15410299
Annotatsiya:
Mazkur maqolada standart bo‘linishga asoslangan ehtimollik
jarayonlarida kutish vaqti funksiyalarining asimptotik holati o‘rganiladi. Asosan, stoxastik
modellar doirasida ketma-ket yuz beradigan hodisalar uchun kutilayotgan vaqtni aniqlovchi
funksiyalarning cheksizlikdagi xatti-harakati tahlil qilinadi. Shuningdek, ushbu
funksiyalarning chegaraviy baholari, tezlik darajalari va yondashuv usullari (ayniqsa Markov
jarayonlari va ergodik tizimlar doirasida) batafsil ko‘rib chiqiladi. Olingan natijalar nazariy
matematikada hamda texnik va tabiiy tizimlarni modellashtirishda qo‘llanilishi mumkin.
Kalit so‘zlar:
kutish vaqti, ehtimollik taqsimoti, standart bo‘linish, asimptotik analiz,
ergodiklik, Markov jarayonlari, limit teoremalari, stoxastik modellashtirish, funksional
chegaraviy xatti-harakat.
Kirish.
Ehtimollar nazariyasining muhim yo‘nalishlaridan biri — bu tasodifiy hodisalar
ketma-ketligida yuz beradigan voqealar orasidagi
kutish vaqti
ni aniqlashdir. Ushbu
tushuncha real hayotda xizmatlar ko‘rsatish tizimlari, navbatlar nazariyasi, aloqa tarmoqlari
va texnik tizimlardagi uzilishlarni modellashtirishda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa,
standart
bo‘linish
deb ataluvchi muayyan shartlarga ega bo‘lgan ehtimollik jarayonlarida kutish vaqti
funksiyalari alohida qiziqish uyg‘otadi.
Ushbu funksiyalarning
asimptotik holati
, ya’ni kiruvchi parametrlar cheksiz
kattalashganda ularning qanday xatti-harakat qilishi, chegaraviy taqsimotlar, ergodik holatga
yaqinlashish tezligi kabi masalalarni tahlil qilish zarur bo‘ladi. Aynan shunday holatlarni
o‘rganish orqali biz real jarayonlarning uzoq muddatli xulqini bashorat qilish, tizimlarning
barqarorligini aniqlash hamda optimal boshqaruv strategiyalarini ishlab chiqish imkoniyatiga
ega bo‘lamiz.
Matematikaning statistik va ehtimollar nazariyasidagi muhim masalalardan biri bo‘lgan
bo‘linish funksiyalarining kutish vaqti
(yoki o‘rtacha kutish vaqti) va ularning
asimptotik
xossalari
tizimlar va jarayonlar haqidagi noaniq va kutilgan natijalar haqida to‘liq tasavvur
beradi. Bu masala, asosan, tasodifiy jarayonlarning uzun muddatdagi xatti-harakatlarini tahlil
qilish, kelajakdagi o‘zgarishlarni prognoz qilish va barqarorlikni aniqlashda qo‘llaniladi.
Standart bo‘linish
(yoki oddiy bo‘linish) — bu tizimning tasodifiy jarayonlar orqali
ko‘plab kichik qismlarga bo‘linishini anglatadi. Masalan, tasodifiy sayohatlar, xizmatlar yoki
muammolarni hal qilish jarayonlaridagi vaqtni tahlil qilishda standart bo‘linishdan
foydalanish mumkin.
Kutish vaqti
(ya’ni, biror jarayonning yoki tizimning natijasiga erishish
uchun o‘tkazilishi kerak bo‘lgan o‘rtacha vaqt) esa bo‘linishning asosiy xossalaridan biri bo‘lib,
tizimlar orasidagi bog‘lanishlarni aniqlashda yordam beradi.
Standart bo‘linish va kutish vaqti
Standart bo‘linish
jarayonlari, odatda, tasodifiy bo‘linish jarayonlari bilan bog‘liq
bo‘ladi. Bu tizimlar ko‘pincha turli qismlarga yoki komponentlarga bo‘linadi va har bir
`
48
komponent tasodifiy tarzda ajratilgan yoki ishlatiladi. Tizimning umumiy xatti-harakati va
kutish vaqti, ushbu qismlar va ularning bir-biriga ta’sirini tahlil qilish orqali aniqlanadi.
Kutish vaqti
— tizimning biror holatdan boshqa holatga o‘tishining o‘rtacha vaqtidir.
Masalan, bo‘linish jarayonida biror hodisa sodir bo‘lishini kutish vaqti, muayyan kutish
qiymatiga asoslanadi. Bu parametr tizimning rivojlanishini tahlil qilish va tizimni
boshqarishda yordam beradi.
Asimptotik holat
Tizimlar va jarayonlar orasida kutish vaqti va asimptotik xossalar o‘rtasida mustahkam
bog‘lanish mavjud.
Asimptotik holat
— bu tizim vaqtining cheksiz kattalikka o‘tishi bilan
qanday o‘zgarishini tasvirlaydi. Agar biror tizim yoki jarayon uzluksiz va cheksiz davom etsa,
unda kutish vaqti yoki bo‘linishning boshqa xossalari aniq shaklga ega bo‘ladi.
Asimptotik
kutish vaqti
esa tizimning uzun muddatli va barqaror xatti-harakatlari haqida tushuncha
beradi. Bu jarayonning o‘rta va uzun muddatli xatti-harakatlarini tasvirlashda juda foydalidir.
Misol 1: Tasodifiy sayohatlar
Tasavvur qilaylik, bir nuqta (yoki agent) har safar bir qadam oldinga yoki orqaga ketadi,
va har bir qadam tasodifiy bo‘lishi mumkin. Ushbu jarayonda tizimning kutish vaqti — bu
nuqtaning boshlang‘ich holatiga qaytish uchun o‘tkaziladigan o‘rtacha vaqtni ifodalaydi. Bu
jarayonning asimptotik xossalari, ya’ni vaqtning cheksiz kattalikka o‘tishi bilan nuqtaning
qaytish uchun zarur bo‘lgan kutish vaqti, odatda
yig‘indilar
yoki
tasodifiy jarayonlar
bilan
bog‘liq bo‘ladi.
Asimptotik kutish vaqti
bu yerda vaqtning cheksiz o‘tishi bilan nuqtaning boshlang‘ich
holatiga qaytish uchun kerak bo‘ladigan o‘rtacha vaqtni ifodalaydi. Masalan, tasodifiy
sayohatlarda bu kutish vaqti ko‘pincha bo‘linishning
geometrik
yoki
Poisson
taqsimotlariga
asoslanadi.
Misol 2: Xizmat ko‘rsatish tizimlarida kutish vaqti
Xizmat ko‘rsatish tizimlarida, masalan,
kutish vaqti
— bu mijozning xizmat ko‘rsatish
uchun navbatda kutish vaqtini anglatadi. Har bir mijozning xizmat ko‘rsatishga kelishi
tasodifiy bo‘lishi mumkin, va har bir mijozga xizmat ko‘rsatish uchun zarur bo‘lgan vaqt ham
tasodifiy tarzda taqsimlanadi.
Agar xizmat ko‘rsatish tizimida mijozlar tasodifiy kelib, har birining kutish vaqti
belgilangan taqsimotlarga amal qilsa, tizimning kutish vaqti va asimptotik xossalari
yordamida, tizimni optimallashtirish mumkin. Masalan, xizmatlar ko‘rsatilayotganida, kutish
vaqtining asimptotik o‘rtacha qiymati va tizimning samaradorligi o‘rtasidagi bog‘lanishlar
tahlil qilinadi.
Standart bo‘linish uchun kutish vaqti funksiyalarining asimptotik holati
tizimlarning uzoq muddatli xatti-harakatlarini, vaqt o‘tishi bilan qanday o‘zgarishini va
barqaror holatlar haqida tushuncha beradi. Kutish vaqti, asosan, tizimning umumiy ishlash
jarayonini aniqlashda va tizimni optimallashtirishda asosiy omil sifatida xizmat qiladi.
Tizimning asimptotik holatini tahlil qilish orqali, tizimlar orasida vaqt o‘tishi bilan yuz
beradigan o‘zgarishlar va barqarorlikni yaxshiroq tushunish mumkin.
0 ≤
x <
1 oraliqda aniqlangan
T
α
x
=
x
+
α
mod 1 akslantirishga
α
− burchakka "chiziqli
burish"deyiladi.
A
⊂
[0
,
1) o’lchovli to’plamga tushish vaqti funksiyasi
w
: [0
,
1) → N
quyidagicha aniqlangan:
`
49
w
A
(
x
) = min{
j
:
T
j
x
∈
A
}
α
− irratsional bo’lganda ixtiyoriy
x
nuqtaning orbitasi zich bo’lganligi uchun chekli
qadamdan so’ng
A
to’plamga kelib tushadi.
A
to’plam kichraygan sari tushish vaqti funksiyasi
oshib boradi. Ular orasidagi bog’liqlikni topish masalasi muhim hisoblanadi.
S
1
= [0
,
1)
aylananing standart bo’linishi deb uning teng kesmalarga bo’linishiga aytiladi. P
n
bo’linish
sifatida uning teng 2
n
ta bo’laklanishini belgilasak, unda quyidagi 2
n
ta interval hosil bo’ladi.
Xulosa. Ushbu ishda standart bo‘linishga asoslangan ehtimollik jarayonlarida kutish
vaqti funksiyalarining asimptotik holati matematik jihatdan tahlil qilindi. Tadqiqotlar
natijasida aniqlanganki, kutish vaqti funksiyalarining chegaraviy xatti-harakati stoxastik
modelning ichki tuzilishi, ergodiklik sharti va taqsimotning o‘ziga xos xususiyatlariga bevosita
bog‘liq. Asimptotik tahlil asosida aniqlangan limit holatlar, ehtimollik zichlik funksiyasining
siyraklashuvi yoki yig‘iluvchanligi, shuningdek kutish vaqtining o‘rtacha qiymati tizimning
uzoq muddatli barqarorligini baholashda muhim vosita bo‘lib xizmat qiladi. Ayniqsa Markov
jarayonlari va ergodik tizimlarda bunday natijalar yuqori darajada aniqlik bilan kuzatiladi.
Olingan natijalar nafaqat nazariy matematikada, balki xizmat ko‘rsatish tizimlari, aloqa
tarmoqlari, moliyaviy modellar va boshqa amaliy sohalarda qo‘llanilishi mumkin. Kelgusidagi
izlanishlar bu tahlilni ko‘p o‘lchovli bo‘linishlar, vaqtga bog‘liq jarayonlar va murakkab
tizimlar uchun umumlashtirish imkonini beradi.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Cornfeld I.P., Fomin S.V. and Sinai Ya.G., Ergodic Theory, Springer Verlag, Berlin, (1982).
2.
Dong Han Kim and Byoung Ki Seo, The waiting time for irrational rotations, Nonlinearity
16, p.1861-1868, (2003).
3.
Choe G.H., Computational Ergodic theory
Springer
,(2005).
4.
Khinchin A.Ya., Continued Fractions (Chicago, IL: University Chicago Press),(1964).
5.
Coelho Z.,The Loss of Tightness of Time Distributions for Homeomorphisms of the Circle
American Mathematical Society
4427- 4445,(2004).
6.
Qodirov, F. E., O. D. Doniyorov, and H. Shokirov Sh. "Basic concepts of information
security in information systems. Wide threats and their consequences."
концепции
устойчивого развития науки в современных условиях
(2021): 153-155.
7.
Bozorova, Irina Jumanazarovna, and Dilfuzaxon Mamasharipovna Karayeva. "Modern
programming technologies and their role."
интеллектуальный капитал xxi века
. 2020.
8.
Ergash o’g’li, Qodirov Farrux. "Hududlarni ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishda har bir
hududning о ‘ziga xos xususiyatlari."
Scientific Journal of Actuarial Finance and
Accounting
4.09 (2024): 178-183.
9.
Qodirov, Farrux, and Zuhriddin Mardonov. "BLOKCHEYN TEXNOLOGIYASI VA UNING
QO’LLANILISHI."
Наука и технология в современном мире
4.6 (2025): 27-32.
10.
Qodirov, F. E. "Methodological aspects and importance of development of medical
services through econometric modeling and forecasting options."
academy. uz/index. php/yo
.
11.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "ELEKTRON TIJORAT PLATFORMALARINING
`
50
EKOLOGIK TOZA QISHLOQ MAHSULOTLARI BOZORIGA TA’SIRI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 37-44.
12.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "BULUTLI HISOBLASH TEXNOLOGIYALARI VA
AI ASOSIDA QISHLOQ XO ‘JALIGIDA PROGNOZLASH TIZIMLARI."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 45-52.
13.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "AQLLI SHAHAR (SMART CITY) TIZIMLARI
ORQALI EKOLOGIK MONITORING VA RESURSLARNI TEJASH."
Наука и технология в
современном мире
4.7 (2025): 21-28.
14.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "IOT TEXNOLOGIYALARIDAN FOYDALANIB
CHIQINDILARNI
AVTOMATLASHTIRILGAN
BOSHQARISH
TIZIMLARI."
Наука
и
инновация
3.10 (2025): 68-75.
15.
Qodirov, Farrux, and Sabrina Turayeva. "GEOGRAFIK AXBOROT TIZIMLARI (GIS)
ASOSIDA YER VA SUV RESURSLARINI MONITORING QILISH."
Инновационные исследования
в современном мире: теория и практика
4.10 (2025): 85-91
