Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
2
Alfraganus
УДК: 612.30.51.428
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ СПЛАЙНОВ
ЭРМИТА В ОБРАБОТКЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ТАСВИРЛАРГА РАКАМЛИ ИШЛОВ БЕРИШДА
ИККИ ЎЛЧОВЛИ ЭРМИТ СПЛАЙНИДАН ФОЙДАЛАНИШ
USING 2D HERMITH SPLINES IN IMAGE PROCESSING
USING 2D HERMITH SPLINES IN IMAGE PROCESSING
¹ PhD ТУИТ, Ташкент, Узбекистан. e-mail: bunyodbekazimov@mail.ru. ORCID: 0000-0002-6919-7505
² Докторант, Андижанский государственный университет, АНДИЖАН, Узбекистан. e-mail: mr_muhriddin_20@mail.ru. ORCID: 0000-
0001-7138-6084
³ преподаватель, ALFRAGANUS UNIVERSITY, Ташкент, Узбекистан. e-mail: m.mannapova.94@gmail.com. ORCID:0000-0002-4489-3320
Аннотация.
В ходе исследования рассматривалось использование кусочно-полиномиальных мето-
дов в цифровой обработке изображений. В качестве математической модели при цифровой обработке
сигналов выбрана эрмитова сплайн-функция из кусочных многочленов и представлена конструкция
эрмитовой сплайн-функции третьего порядка с двумя переменными. На основе построенной матема-
тической модели разработан алгоритм восстановления изображения.
Abstact.
During the research, the use of piece-polynomial methods in digital processing of images was
considered. The Hermite spline function is chosen from piece-polynomials as a mathematical model in digital
processing of signals, and the construction of a two-variable third-order Hermite spline function is presented. An
image restoration algorithm was developed based on the constructed mathematical model.
Anotatsiya.
Tadqiqot raqamli tasvirni qayta ishlashda parcha polinom usullaridan foydalanishni o'rganib
chiqdi. Raqamli signalni qayta ishlash uchun matematik model sifatida qismlarga bo'lingan polinomlarning Germit
spline funksiyasi tanlanadi va ikkita o'zgaruvchiga ega uchinchi tartibli Germit spline funksiyasining konstruktsiyasi
taqdim etiladi. Tuzilgan matematik model asosida tasvirni tiklash algoritmi ishlab chiqilgan.
Ключевые слова:
изображение, кусочно-полиномиальные методы, кубический сплайн
Эрмита, локальные сплайн-функции.
Key words:
image, piece-polynomial methods, cubic Hermite spline, local spline functions.
Kalit so'zlar:
tasvir, bo'lakli ko'phad usullar, Ermit spline kubi, mahalliy spline funksiyalari.
Азимов Бунёд Рахимжонович ¹
Абдуганиев Мухриддин Мухиддин угли ²
Маннапова Мафтуна Голиб кизи
³
xalqaro ilmiy jurnal
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
3
Alfraganus
Для стремительно развивающихся в мире информационных и коммуникационных
технологий важна разработка высокопроизводительных, эффективных вычислительных методов
восстановления изображений, использование алгоритмов цифровой обработки и поиск
оптимальных решений. Локальный сплайн является важным математическим аппаратом при
создании алгоритмов цифровой обработки сигналов благодаря малому количеству вычислений при
построении функций, высокой точности, гибкости алгоритмов цифровой обработки, оптимальным
дифференциальным и экстремальным свойствам, простоте расчета параметров. В этом
направлении ведутся передовые научные исследования в развитых странах мира, таких как США,
Германия, Великобритания, Индия, Китай, Южная Корея, Российская Федерация, Япония [6], [13]. В
данной статье подробно описывается построение двумерной эрмитовой сплайн
-
функции третьего
порядка и численная обработка изображений [1,2,3].
1.
Построение двухпеременной сплайн
-
функции Эрмита.
Для построения в заданной области D=[a,b]×[c,d] разобьем эти пространства на части
равные N по оси
OX
, на части равные M по оси
OY
и построим сетку одинакового размера.
𝛥𝛥 = 𝛥𝛥
𝑥𝑥
× 𝛥𝛥
𝑦𝑦
.
𝛥𝛥
𝑥𝑥
: 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥
0
< 𝑥𝑥
1
<. . . < 𝑥𝑥
𝑁𝑁
= 𝑏𝑏, 𝛥𝛥
𝑦𝑦
: 𝑐𝑐 = 𝑦𝑦
0
< 𝑦𝑦
1
<. . . < 𝑦𝑦
𝑀𝑀
= 𝑑𝑑.
где, шаги
h
и
l
выбираются следующим образом:
ℎ = 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
− 𝑥𝑥
𝑖𝑖
,
𝑖𝑖 = 0,1, . . . , 𝑁𝑁 − 1
;
𝑙𝑙 = 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
− 𝑦𝑦
𝑗𝑗
,
𝑗𝑗 = 0,1, . . . , 𝑀𝑀 − 1
.
Затем, давайте посмотрим на следующую ячейку:
𝛥𝛥
∗
= 𝛥𝛥
𝑥𝑥
∗
× 𝛥𝛥
𝑦𝑦
∗
𝛥𝛥
𝑥𝑥
∗
: 𝑥𝑥
−1
< 𝑥𝑥
0
< 𝑥𝑥
1
<. . . < 𝑥𝑥
𝑁𝑁
< 𝑥𝑥
𝑁𝑁+1
, 𝛥𝛥
𝑦𝑦
∗
: 𝑦𝑦
−1
< 𝑦𝑦
0
< 𝑦𝑦
1
<. . . < 𝑦𝑦
𝑀𝑀
< 𝑦𝑦
𝑀𝑀+1
.
Тогда мы знаем значения функции
𝐷𝐷
∗
в узловых точках
𝛥𝛥
∗
-
которым принадлежит площадь
𝐷𝐷
∗
= [𝑎𝑎 − ℎ, 𝑏𝑏 + ℎ] × [𝑐𝑐 − 𝑙𝑙, 𝑑𝑑 + 𝑙𝑙]
, т.е.:
𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗
) = 𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
,
𝑖𝑖 = −1,0,1, … , 𝑁𝑁, 𝑁𝑁 + 1; 𝑗𝑗 = −1,0,1, … , 𝑀𝑀, 𝑀𝑀 + 1. (1)
На основе приведенных выше значений строится параболическая локальная эрмитова
сплайн
-
функция, интерполирующая функцию
f(x,y)
в поле D.
𝐷𝐷
𝑟𝑟,0
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥
𝑝𝑝
, 𝑦𝑦) = 𝑆𝑆
3
[𝐷𝐷
𝑟𝑟,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑝𝑝
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦], 𝑟𝑟 = 0,1; 𝑝𝑝 = 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 + 1 (2)
В правой части этих равенств стоят одномерные сплайнов которые можно вычислить по
формуле (1):
𝑆𝑆
3
[𝐷𝐷
𝑟𝑟,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑝𝑝
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] = 𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑝𝑝,𝑗𝑗
(𝑟𝑟,0)
+ 𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑝𝑝,𝑗𝑗+1
(𝑟𝑟,0)
+
+𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑝𝑝,𝑗𝑗
(𝑟𝑟,1)
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑝𝑝,𝑗𝑗+1
(𝑟𝑟,1)
, 𝑟𝑟 = 0,1; 𝑝𝑝 = 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 + 1, (3)
где,
𝑙𝑙
𝑗𝑗
= 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
+ 𝑦𝑦
𝑗𝑗
, 𝑢𝑢 =
𝑦𝑦−𝑦𝑦
𝑗𝑗
𝑙𝑙
𝑗𝑗
.
Упростим (3) по формуле (1):
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
[𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] + 𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
[𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] +
+ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
[𝐷𝐷
1,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] + ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
[𝐷𝐷
1,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦], (4)
где,
ℎ
𝑖𝑖
= 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
+ 𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑡𝑡 =
𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑖𝑖
ℎ
𝑗𝑗
.
Одной из интерполяционных кубических сплайн
-
функций
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
является функция
локальной интерполяции
𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
между значениями
[𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
] × [𝑦𝑦
𝑗𝑗
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
]
строится с использованием
значений и проходит через следующие узлы:
𝜑𝜑(𝑡𝑡) = [𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡), 𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡), ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡), ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡)],
𝐹𝐹 =
[
𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
1,0
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
1,0
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
1,0
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
1,0
𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
0,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
0,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
0,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
0,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖𝑗𝑗
1,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
1,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
1,1
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
1,1
]
,
𝜑𝜑(𝑢𝑢) =
[
𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)
𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)
𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)
𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)]
Следует отметить, что сплайн
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
является одномерным локальным эрмитовым
кубическим сплайном по другой переменной, построенным при фиксированном постоянном
значении одной из переменных [10,11,12]. Здесь при
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑖𝑖
локальная эрмитова кубическая сплайн
-
функция
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
имеет вид:
xalqaro ilmiy jurnal
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
4
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) = 𝜙𝜙
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗
) + 𝜙𝜙
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
) + 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜙𝜙
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗
) + 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜙𝜙
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
),
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) = (1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
− 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
, (5)
где,
𝑗𝑗 = 0, 𝑀𝑀 − 1, 0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1
.
На основе вышеуказанной работы мы генерируем следующие одномерные сплайн
-
функции
x
, используя следующие фиксированные значения
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑖𝑖
,
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
.
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦) = 𝜙𝜙
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗
) + 𝜙𝜙
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
) + 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜙𝜙
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗
) +
𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜙𝜙
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
)
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦) = (1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
+ 𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
− 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
, (6)
На основе построенных выше кубических сплайн
-
функций с одной переменной
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦)
и
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦)
после некоторых упрощений формируется следующий вид эрмитовой сплайн
-
функции с
двумя переменными:
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (1 − 𝑡𝑡)
2
(1 + 2𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) +
+𝑡𝑡
2
(3 − 2𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦)+ℎ
𝑖𝑖
𝑡𝑡(1 − 𝑡𝑡)
2
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) − ℎ
𝑖𝑖
𝑡𝑡
2
(1 − 𝑡𝑡)𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦)
где,
𝑗𝑗 = 0, 𝑀𝑀 − 1
,
0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1
,
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑖𝑖
ℎ
,
𝑢𝑢 =
𝑦𝑦−𝑦𝑦
𝑗𝑗
𝑙𝑙
,
ℎ
𝑖𝑖
= 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
− 𝑥𝑥
𝑖𝑖
,
𝑙𝑙
𝑖𝑖
= 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
− 𝑦𝑦
𝑗𝑗
.
Подставляя значения функций одномерного кубического сплайна
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦)
–
𝑆𝑆
3
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦)
,
получаем следующую модель (7).
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (1 − 𝑡𝑡)
2
(1 + 2𝑡𝑡)[(1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
−𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
] + 𝑡𝑡
2
(3 − 2𝑡𝑡)[(1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
+ 𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
+
+𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
− 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
] + ℎ
𝑖𝑖
𝑡𝑡(1 − 𝑡𝑡)
2
[(1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ +𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
+
+𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
− 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
] − ℎ
𝑖𝑖
𝑡𝑡
2
(1 − 𝑡𝑡)[(1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
+
+𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
− 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
], (7)
где,
𝑖𝑖 = 0, 𝑁𝑁 − 1
,
0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1
,
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑖𝑖
ℎ
,
ℎ
𝑖𝑖
= 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
− 𝑥𝑥
𝑖𝑖
,
𝑗𝑗 = 0, 𝑀𝑀 − 1
,
0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1
,
𝑢𝑢 =
𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑖𝑖
𝑙𝑙
,
𝑙𝑙
𝑗𝑗
= 𝑦𝑦
𝑖𝑖+1
− 𝑦𝑦
𝑖𝑖
.
После некоторых упрощений была сформирована двумерная локальная сплайн
-
функция
Эрмита:
𝐸𝐸𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡)[𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
] +
+𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡)[𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
+ 𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
] +
+ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡)[𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
] +
+ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡)[𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗
+ 𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗
+ 𝑙𝑙
𝑗𝑗
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢)𝑓𝑓
𝑖𝑖,𝑗𝑗+1
].
(8)
где,
𝑗𝑗 = 0, 𝑀𝑀 − 1
,
0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1
,
𝑡𝑡 =
𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑖𝑖
ℎ
,
𝑢𝑢 =
𝑦𝑦−𝑦𝑦
𝑗𝑗
𝑙𝑙
,
ℎ
𝑖𝑖
= 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
− 𝑥𝑥
𝑖𝑖
,
𝑙𝑙
𝑗𝑗
= 𝑦𝑦
𝑗𝑗+1
− 𝑦𝑦
𝑗𝑗
,
𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡) = (1 − 𝑡𝑡)
2
(1 + 2𝑡𝑡),
𝜑𝜑
1
(𝑢𝑢) = (1 − 𝑢𝑢)
2
(1 + 2𝑢𝑢),
𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡
2
(3 − 2𝑡𝑡),
и
𝜑𝜑
2
(𝑢𝑢) = 𝑢𝑢
2
(3 − 2𝑢𝑢),
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡(1 − 𝑡𝑡)
2
,
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡) = −𝑡𝑡
2
(1 − 𝑡𝑡).
𝜑𝜑
3
(𝑢𝑢) = 𝑢𝑢(1 − 𝑢𝑢)
2
,
𝜑𝜑
4
(𝑢𝑢) = −𝑢𝑢
2
(1 − 𝑢𝑢).
Эту функцию (8) можно назвать двумерной локальной кубической сплайн
-
функцией Эрмита.
Оценим погрешность двумерной локальной кубической сплайн
-
функции Эрмита [4,5,7]:
𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑆𝑆
3
[𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑆𝑆
3
[𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦); 𝑥𝑥] − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦).
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡)𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) + 𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡)𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦) +
+ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡)𝐷𝐷
1,0
𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦) + ℎ
𝑖𝑖
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡)𝐷𝐷
1,0
𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
, 𝑦𝑦), (9)
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝜑𝜑
1
(𝑡𝑡)𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
) + 𝜑𝜑
2
(𝑡𝑡)𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑖𝑖+1
) +
+𝑙𝑙
𝑖𝑖
𝜑𝜑
3
(𝑡𝑡)𝐷𝐷
0,1
𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
) + 𝑙𝑙
𝑖𝑖
𝜑𝜑
4
(𝑡𝑡)𝐷𝐷
0,1
(𝑡𝑡)𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦
𝑖𝑖+1
), (10)
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = {𝑆𝑆
3
[𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦); 𝑥𝑥] − 𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)} + 𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (11)
𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = {𝑆𝑆
3
[𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦); 𝑦𝑦] − 𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)} + 𝑇𝑇
1
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝑇𝑇
2
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (12)
Формулы (9)
-
(12) выше служат отправной точкой для получения всех ошибок. Отличительной
особенностью этих соотношений является то, что их правая часть содержит ошибки интерполяции
только для одномерных эрмитовых сплайнов. Такое положение позволяет без труда получить
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
5
необходимые расчеты. Мы рассмотрим только два класса функций. Аналогично исследуются другие
случаи [1,8,9], [14].
Теорема
2.
Если
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐶𝐶
1,1
𝑊𝑊
△,∞
4
[Ω]
,
‖𝐷𝐷
𝑟𝑟,0
{𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)}‖
∞
≤ 𝐴𝐴
𝑟𝑟
(1)
ℎ̅
4−𝑟𝑟
‖𝐷𝐷
4,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+
+𝐴𝐴
𝑟𝑟
(2)
ℎ̅
3−𝑟𝑟
𝑙𝑙̅‖𝐷𝐷
3,1
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+ 𝐴𝐴
𝑟𝑟
(3)
𝑙𝑙̅
4−𝑟𝑟
‖𝐷𝐷
𝑟𝑟,4−𝑟𝑟
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
; (13)
‖𝐷𝐷
0,𝑠𝑠
{𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)}‖
∞
≤ 𝐴𝐴
𝑠𝑠
(1)
𝑙𝑙̅
4−𝑠𝑠
‖𝐷𝐷
0,4
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+
+𝐴𝐴
𝑠𝑠
(2)
ℎ𝑙𝑙
̅
3−𝑠𝑠
𝑙𝑙̅‖𝐷𝐷
1,3
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+ 𝐴𝐴
𝑠𝑠
(3)
ℎ̅
4−𝑠𝑠
‖𝐷𝐷
4−𝑠𝑠,𝑠𝑠
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
; (14)
𝑟𝑟, 𝑠𝑠 = 0, 1, 2;
‖𝐷𝐷
1,1
{𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)}‖
∞
≤
≤ 𝐴𝐴
1,1
(4𝑙𝑙̅
2
‖𝐷𝐷
1,3
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+ ℎ̅
2
𝑙𝑙̅‖𝐷𝐷
3,1
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
, (15)
где,
𝐴𝐴
0
(1)
= 𝐴𝐴
0
(1)
= 𝐴𝐴
0
(1)
=
1
384
, 𝐴𝐴
1
(1)
=
√3
216
, 𝐴𝐴
1
(2)
= 0.0080377,
𝐴𝐴
1
(3)
=
1
96 , 𝐴𝐴
2
(3)
=
1
12 , 𝐴𝐴
2
(2)
=
2
27 , 𝐴𝐴
2
(3)
=
1
16 , 𝐴𝐴
1,1
= 0.032303.
Теорема
3.
Если
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐶𝐶
1,1
𝑊𝑊
△,∞
4,4
[Ω]
,
‖𝐷𝐷
𝑟𝑟,𝑠𝑠
{𝑆𝑆
3,3
(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)}‖
∞
≤ 𝐾𝐾
𝑟𝑟
ℎ̅
4−𝑟𝑟
‖𝐷𝐷
4,𝑠𝑠
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+
+𝐾𝐾
𝑠𝑠
𝑙𝑙̅
4−𝑠𝑠
‖𝐷𝐷
𝑟𝑟,4
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
+ 𝐾𝐾
𝑟𝑟
𝐾𝐾
𝑠𝑠
ℎ̅
4−𝑟𝑟
𝑙𝑙̅
4−𝑠𝑠
‖𝐷𝐷
4,4
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)‖
∞
; (16)
𝑟𝑟, 𝑠𝑠 = 0, 1, 2,3;
где,
𝐾𝐾
0
=
1
386
, 𝐾𝐾
1
=
√3
216
, 𝐾𝐾
2
=
1
12
, 𝐾𝐾
3
=
1
2
.
Точность процесса интерполяции можно определить по результатам в диапазоне [0,1]×[0,1]
для функции
f(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = e
(𝑥𝑥+𝑦𝑦)
. Узлы интерполяции для каждой из переменных вычисляются с шагом
0,5, а в таблице 2 приведены значения формулы
𝑅𝑅
𝑟𝑟,𝑠𝑠
.
𝑅𝑅
𝑟𝑟,𝑠𝑠
=
max
𝑥𝑥∈△
̃
𝑥𝑥
,𝑦𝑦∈△
̃
𝑦𝑦
|𝐷𝐷
𝑟𝑟,𝑠𝑠
{𝑆𝑆
3,3
(𝑓𝑓; 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)}|,
𝑟𝑟, 𝑠𝑠 = 0,1,2,3,
где,
△
̃
𝑥𝑥
, △
̃
𝑦𝑦
−
h=0,05
по переменным.
Каждый из прямоугольников
[𝑥𝑥
𝑖𝑖
, 𝑥𝑥
𝑖𝑖+1
] × [𝑦𝑦
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑖𝑖+1
]
содержит точки (прямые), где порядок
аппроксимации производных интерполируемой функции определяется соотношением формула (16).
То есть порядок аппроксимации увеличивается:
-
по прямой для производных
𝐷𝐷
1,0
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦),
𝐷𝐷
3,𝑠𝑠
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑠𝑠 = 0,1,2 −
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑖𝑖
+
ℎ
𝑖𝑖
2
,
-
по
прямой для производных
𝐷𝐷
𝑟𝑟,3
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝐷𝐷
0,1
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑟𝑟 = 0,1,2 −
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+
𝑙𝑙
𝑖𝑖
2
,
-
по прямой для производных
𝐷𝐷
2,𝑠𝑠
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑠𝑠 = 0,1 −
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
𝑖𝑖
+ (
1
2 ±
√3
6 )ℎ
𝑖𝑖
,
-
по прямой для производных
𝐷𝐷
𝑟𝑟,2
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑟𝑟 = 0,1 −
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+ (
1
2
±
√3
6
)𝑙𝑙
𝑖𝑖
,
-
Производные порядка
𝐷𝐷
𝑟𝑟,𝑟𝑟
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑟𝑟 = 1,3 −
для каждой точки
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
+
ℎ
𝑖𝑖
2
, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+
𝑙𝑙
𝑖𝑖
2
)
и
𝐷𝐷
2,2
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) −
по четырем точкам
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
+
ℎ
𝑖𝑖
2
±
√3
6
ℎ
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+
𝑙𝑙
𝑖𝑖
2
±
√3
6
𝑙𝑙
𝑖𝑖
)
рассчитывали по формулам.
-
Таблица 2
r
s
0
1
2
3
0
0.0015
0.0059
0.13
1.6
1
0.0059
0.011
0.13
1.6
2
0.13
0.13
0.25
1.7
3
1.6
1.6
1.7
2.9
В таблице 3 приведены результаты расчета погрешности. Начальные значения такие же, как
в таблице 2. Ошибка для производных
𝐷𝐷
𝑟𝑟,2
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝐷𝐷
2,𝑟𝑟
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑟𝑟 = 0,1,2,
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
+
ℎ
𝑖𝑖
2
±
√3
6
ℎ
𝑖𝑖
, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+
𝑙𝑙
𝑖𝑖
2
±
√3
6
𝑙𝑙
𝑖𝑖
)
в
точках для всех остальных производных и рассчитывается с использованием точек
(𝑥𝑥
𝑖𝑖
+
ℎ
𝑖𝑖
2
, 𝑦𝑦
𝑖𝑖
+
𝑙𝑙
𝑖𝑖
2
)
.
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
6
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
Таблице 3
r
s
0
1
2
3
0
–
0.0009
0.0023
0.027
1
0.0009
0.0003
0.0075
0.028
2
0.0023
0.0075
0.0041
0.0075
3
0.027
0.028
0.075
0.042
2.
Цифровая обработка изображений с использованием сплайн
-
функции Эрмита.
Рассмотрим использование приведенной выше двумерной математической модели при
цифровой обработке изображений. Для этого мы используем файл изображения JPEG. Для
цифровой обработки изображений в этом формате процесс преобразования их в цифровой вид
относительно прост. Ниже представлено изображение в формате JPEG размером 50x50 пикселей
(рис. 2).
Рисунок 2. Первоначальный вид изображения
Для цифровой обработки данного изображения мы можем перевести изображение в
цифровую форму и поместить в таблицу (Таблица 4)..
7
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
Рисунок 3. Результат процесса восстановления образа
Таблица 4.
Цифровое представление изображения
№
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
4
𝑥𝑥
5
𝑥𝑥
5
𝑥𝑥
6
𝑥𝑥
7
…
𝑥𝑥
512
𝑦𝑦
1
96
78
77
77
80
79
77
77
…
101
𝑦𝑦
2
71
56
61
60
60
60
61
59
…
80
𝑦𝑦
3
79
59
60
60
60
60
60
59
…
94
𝑦𝑦
4
80
59
59
57
59
59
57
57
…
97
𝑦𝑦
5
78
59
59
59
60
60
60
59
…
97
𝑦𝑦
6
78
54
56
59
60
60
60
60
…
97
𝑦𝑦
7
79
57
60
61
60
60
60
61
…
96
𝑦𝑦
8
80
61
62
60
60
60
59
60
…
97
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑦𝑦
512
78
68
158
205
201
205
206
206
78
0
3.
Цифровая
обработка
представленного
изображения
с
использованием
разработанных алгоритмов.
Используя рассмотренные модели кубических сплайнов, выполняем восстановление к
цифровому представлению изображения, представленному в таблице 4. С использованием
приведенной выше последовательности была разработана программа построения двумерных
эрмитовых сплайнов третьего порядка в программной среде MATLAB, которая использовалась для
цифровой обработки представленного изображения (рис. 3).
Из процесса восстановления мы видим, что за счет цифровой обработки изображений с
помощью двумерной эрмитовой сплайн
-
функции количество пикселей от исходного состояния
изображения увеличилось в несколько раз, и мы добились улучшения качества изображения.
3. Цифровая обработка представленного изображения с использованием разработанных алгоритмов.
Используя рассмотренные модели кубических сплайнов, выполняем восстановление к цифровому
представлению изображения, представленному в таблице 4. С использованием приведенной выше по-
следовательности была разработана программа построения двумерных эрмитовых сплайнов третьего
порядка в программной среде MATLAB, которая использовалась для цифровой обработки представленного
изображения (рис. 3).
Из процесса восстановления мы видим, что за счет цифровой обработки изображений с помощью дву-
мерной эрмитовой сплайн-функции количество пикселей от исходного состояния изображения увеличилось
в несколько раз, и мы добились улучшения качества изображения. изображение. В процессе восстанов-
8
Alfraganus
xalqaro ilmiy jurnal
ления исходный размер образа увеличился с 54 кбайт до 572 кбайт. Это показывает, что используемая
математическая модель имеет хорошую точность при цифровой обработке изображений.
Заключение.
Данные изображения в формате JPEG были интерполированы с использованием сплайн-функции Эрмита
с двумя переменными. Из результатов видно, что количество пикселей при восстановлении изображения
увеличилось в 10 раз. Это приводит к улучшению качества изображения. При оцифровке изображений с
помощью функции двумерного эрмитова сплайна размер исходного изображения увеличился с 54 кбайт до
572 кбайт. Показано, что использование математической модели сплайна Эрмита с двумя переменными
эффективно при цифровой обработке медицинских изображений и обнаружении неоднозначных областей
при обследованиях.
Литература:
1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. Москва:
Наука, 1980. - 352 с.
2. Xakimjon, Z., & Bunyod, A. (2019). Biomedical signals interpolation spline models.
In International Conference on Information Science and Communications Technologies:
Applications, Trends and Opportunities, ICISCT 2019. Institute of Electrical and Electronics
Engineers Inc. https://doi.org/10.1109/ICISCT47635.2019.9011926.
3. Hakimjon Zaynidinov, Sayfiddin Bakhromov, Bunyod Azimov, Sarvar Makhmudjanov.
Comparative Analysis Spline Methods in Digital Processing of Signals // Advances in Science, Technology
and Engineering Systems Journal (ASTESJ), (Indexed by SCOPUS), https://dx.doi.org/10.25046/
aj0506180, ISSN: 2415-6698, Vol. 5, No. 6, 1499-1510 (2020), www.astesj.com
4. Азимов Б.Р. Натурал ва локал кубик сплайнлар орқали сигналларга рақамли ишлов бериш
// Бухоро мухандислик технологиялари институти илмий-техника журнали. 2020, Бухоро.
–.Б 125-132.
5. Y. A. ÜncÜ, T. Mercan, G. Sevym, and M. Canpolat, “Interpolation applications in diffuse optical
tomography system,” 2018, doi: 10.1109/BIYOMUT.2017.8478855.
6. J.S. Lim, Two-dimensional signal and image processing, 1990.
7. A.I. Grebennikov, “Isogeometric approximation of functions of one variable,” USSR Computational
Mathematics and Mathematical Physics, 22(6), 1982, doi:10.1016/0041-5553(82)90095-7.
8. Kroizer, Y.C. Eldar, T. Routtenberg, “Modeling and recovery of graph signals and difference-
based signals,” in GlobalSIP 2019 - 7th IEEE Global Conference on Signal and Information Processing,
Proceedings, 2019, doi:10.1109/GlobalSIP45357.2019.8969536.
9. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Москва: Мир, 1972.
– 316 с.
10. Зайнидинов Х.Н., Азимов Б.Р. Построения кубического сплайна для сигналов измеренных
в неравных интервалах. Автоматика и программная инженерия. 2020, Ü1(31). Новосибирск.
– С. 70-76.
11. Зайнидинов Х.Н., Азимов Б.Р., Юсупов О.П.. Геофизик сигналларнинг тенг эмас оралиқлар
учун кубик сплайн моделини қуриш дастури // Агентство по интеллектуальной собствен-
ности Республики Узбекистан. Свидетельство об официальной регистрации программы для
электронновычислительных машин. Ü DGU 07847. 29.02.2020 й.
12. H. Zaynidinov, S. Bahromov, B. Azimov, and M. Kuchkarov, ‘Lacol interpolation bicubic spline
method in digital processing of geophysical signals’, Advances in Science, Technology and Engineering
Systems, vol. 6, no. 1, 2021, doi: 10.25046/aj060153.
13. K. N. Zaynidinov, J. U. Juraev, and A. M. Boytemirov, ‘Digital processing of biomedical signalsin
haar’s part-wavelet models’, Asian Journal of Multidimensional Research, vol. 10, no. 9, 2021, doi:
10.5958/2278-4853.2021.00656.x.
14. K. N. Zaynidinov, S. A. Anarova, and J. S. Jabbarov, ‘Determination of Dimensions of Complex
Geometric Objects with Fractal Structure’, in Lecture Notes in Computer Science (including subseries
Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 2022, vol. 13184 LNCS.
doi: 10.1007/978-3-030-98404-5_41.
