МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА
имени МИРЗО УЛУГБЕКА
На правах рукописи
УДК 517.946
РУСТАМОВА Мастура Самадовна
ОБ ИНТЕГРАЛЕ МАРТИНЕЛЛИ – БОХНЕРА
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
01.01.01 – Математический анализ
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Т а ш к е н т – 2012
2
Работа выполнена на кафедре «Математический анализ и алгебра»
Каршинского государственного университета
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Гулмирза Худайберганов
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Ганиходжаев Расул Набиевич
,
кандидат физико-математических наук, доцент
Отемуратов Байрамбай Пердебаевич
.
Ведущая организация:
Сибирский Федеральный университет
Защита состоится «___» ____________ 2012 года в ___ часов на
заседании специализированного совета Д.067.02.03 в Национальном
Университете Узбекистана им. Мирзо Улугбека по адресу: 100174,
г.Ташкент, ВУЗ городок, Национальный Университет Узбекистана,
механико-математический факультет, ауд. Г-303.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке
Национального Университета Узбекистана им. Мирзо Улугбека.
Автореферат разослан «____»_________________2012 г.
Ученый секретарь
специализированного cовета,
доктор физико-математических наук М. Тухтасинов
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
В комплексном анализе интегральные
представления занимают важное место. В многомерном комплексном
анализе интегральные представления также являются мощным
конструктивным аппаратом.
В теории функции одной комплексной переменной интегральная
формула Коши является единственной, притом она имеет разнообразные и
важные применения. Формула Коши является универсальной формулой
для любых областей, ядро которой голоморфно, а интеграл вычисляется
по всей границе области. А в многомерном комплексном анализе есть
несколько интегральных представлений, но у них нет универсальности
или голоморфности. Последнее объясняется тем, что у интегральных
представлений, которые справедливы для любых областей, ядро не
голоморфно; а определенное интегральное представление с голоморфным
ядром не представляется возможным для любых областей или интеграл
не вычисляется по всей границе области.
Мартинелли
в 1938 году и Бохнер в 1943 году независимо нашли
строгое доказательство теоремы Гартогса (Осгуда - Брауна) о стирании
компактных особенностей голоморфных функций в
при
.
Причем, Бохнер по сути дела, доказал теорему Гартогса для случая
и
(хотя у него не было понятия
функции).
Интегральное представление Мартинелли - Бохнера является первым
интегральным представлением, в котором интеграл вычисляется по всей
границе области и как интегральная формула Коши в комплексной
плоскости имеет универсальное ядро не зависящей от вида области. Но в
n
– мерном пространстве
n
при
1
n
ядро Мартинелли - Бохнера
является не голоморфным, но оно является гармонической функцией.
Данное обстоятельство долгое время препятствовало широкому
применению интеграла Мартинелли - Бохнера в многомерном
комплексном анализе.
В 70-е годы прошлого века возрос интерес к представлению
Мартинелли – Бохнера. Это связано с повышением внимания к
интегральным методам в многомерном комплексном анализе. Кроме того,
оказалось, что весьма общее интегральное представление Коши –
Фантаппье, найденное Лере, легко получается из представления
Мартинелли – Бохнера. И ещѐ, появилось в тоже время представление
Коппельмана для внешних форм, которая является обобщением
представления Мартинелли – Бохнера. Ядро в формуле Коппелмана
строится так же как ядро Мартинелли – Бохнера с помощью производных
фундаментального решения уравнения Лапласа. В те годы было показано,
что, несмотря на не голоморфное ядро, представление Мартинелли –
Бохнера справедливо только для голоморфных функций. В 1975 году
Харви и Лоусон получили результат о натягивании комплексных пленок
4
на нечетномерные многообразия, в основе которого лежит формула
Мартинелли – Бохнера.
В 1969 году Вайнсток доказал формулу Мартинелли -Бохнера для
непрерывных функций
(
)
f
D C
. В работах А. М. Кытманова,
С.Г.Мысливец были рассмотрены вопросы о вычисление интеграла
Мартинелли – Бохнера в шаре в
и о некоторых его приложениях, о
голоморфности непрерывных функций, представимых интегралом
Мартинелли – Бохнера, о характеризации шара с помощью оператора
Мартинелли – Бохнера.
Ш. Ярмухамедов получил распространение формулы Мартинелли-
Бохнера на неограниченные области.
В работе Хенкина и Лейтерера формула Мартинелли – Бохнера
распространяется на области на многообразии Штейна.
Еще одним обобщением формулы Мартинелли – Бохнера является
формула Андреотти – Норге.
Мы рассматриваем (n+1) мерное комплексное пространство
1
n
и
исследуем вычисление интеграла Мартинелли – Бохнера, спектр
оператора Мартинелли – Бохнера в полупространстве
1
n
.
Степень изученности проблемы.
Интегральное представление Бохнера
– Мартинелли изучалась многими учеными. В этих работах рассматривались
ограниченные области. Обобщение формулы Бохнера – Мартинелли для
неограниченной области рассматривалось в работе Ш. Ярмухамедова, но у
него рассмотрена другая конструкция. Интегральное представление Бохнера
– Мартинелли в полупространстве не исследовано.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Тема диссертационной работы утверждена на Ученом Совете Каршинского
государственного университета (протокол № 5 от 29 декабря 2011г.) и
выполнена в соответствии с плановой темой кафедры «Математический
анализ и алгебра» Каршинского государственного университета.
Цель исследования.
Целью диссертационной работы является
вычисление интеграла Бохнера – Мартинелли в полупространстве найти
собственные функции и собственные значения оператора Бохнера –
Мартинелли в полупространстве.
Задачи исследования.
Основные задачи, решаемые в данной
диссертации следующие:
Вычисление сужения ядра Бохнера – Мартинелли в полупространстве.
Получение формулы для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли
от функций из класса
L
в полупространстве.
Получение доказательство аналога теоремы Лиувилля для функций из
класса
p
L
.
Получение формулы для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли
от функций из класса
p
L
в полупространстве.
5
Исследование свойства спектра оператора Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
L
в полупространстве.
Исследование свойства спектра оператора Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
p
L
в полупространстве.
Объект и предмет исследования:
Объектом и предметом исследо-
вания являются функции многих комплексных переменных
.
Методы исследований.
В диссертационной работе используются
методы теории функций комплексных переменных, методы теории интеграла
в многомерном комплексном анализе.
Основные положения, выносимые на защиту.
Основными
результатами диссертационной работы являются следующие:
Исследование
сужения
ядра
Бохнера
–
Мартинелли
в
полупространстве.
Аналог теоремы Лиувилля для функций из класса
p
L
в
полупространстве.
Формулы для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
L
в полупространстве.
Формулы для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
p
L
в полупространстве.
Исследование свойства спектра оператора Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
L
в полупространстве.
Исследование свойства спектра оператора Бохнера – Мартинелли от
функций из класса
p
L
в полупространстве.
Научная новизна.
Все основные результаты, полученные в
диссертации, являются новыми. Они состоят в следующем:
1.
Вычислено сужение ядра Бохнера – Мартинелли в полупространстве.
2.
Получена формула для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли
от функций из класса
L
в полупространстве.
3.
Получена формула для вычисления интеграла Бохнера – Мартинелли
от функций из класса
p
L
в полупространстве.
4.
Доказан аналог теоремы Лиувилля для функций из класса
p
L
в
полупространстве
5.
Вычислены собственные функции и собственные значения оператора
Бохнера – Мартинелли от функций из класса
L
в полупространстве.
6.
Вычислены собственные функции и собственные значения оператора
Бохнера – Мартинелли от функций из класса
p
L
в полупространстве.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
Полученные результаты могут быть использованы в многомерном
комплексном анализе и его приложениях.
Реализация результатов.
Диссертационная работа носит теоретический
характер. Результаты и методы, представленные в диссертации, могут быть
использованы в научных исследованиях специалистами по многомерному
комплексному анализу.
6
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на
семинаре кафедры математического анализа Национального университета
Узбекистана имени М. Улугбека под руководством профессора А.
Садуллаева, а также регулярно докладывались на областном научном
семинаре «Актуальные вопросы математики » кафедры «Математический
анализ и алгебра» Каршинского ГУ под руководством к.ф.-м.н. А. Имомова.
По материалам диссертации сделаны доклады на республиканской
научной конференции “Новые теоремы молодых математиков -2006”,
(Наманган, 15-16 ноября 2006 года), на международной конференции
“Новые направления в теории динамических систем и некорректных задач”
(Самарканд, 19-20 октября 2007 года), на республиканской научной
конференции «Проблемы современной математики» (Карши, 22-23 апреля
2011года), на республиканской научной конференции «Современные
проблемы комплексного и функционального анализа» (Нукус, 11-12 мая 1912
года).
Опубликованность
результатов.
Результаты
диссертации
опубликованы в работах [1]-[9] в виде статьей и тезисов конференций,
список которых приведен в конце автореферата. В совместных с Г.
Худайбергановым работах Г. Худайберганову принадлежат постановки
задач, М.С. Рустамовой решение этих задач.
Структура и объем диссертации.
Диссертационная работа состоит из
введения, трех глав и списка литературы. Параграфы, теоремы, леммы,
определения и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых
указывает номер главы. В конце работы приведен список литературы из 67
наименований. Объем диссертации 90 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Первая глава
диссертации посвящена постановки задачи и
предварительным сведениям об интеграле Мартинелли - Бохнера в шаре. В
предварительных сведениях приводятся необходимые обозначения и
определения, и еще известные результаты, используемые в дальнейшем.
Во второй главе
речь идет о вычислении интеграла Мартинелли -
Бохнера в полупространстве.
Будем рассматривать для удобства
1
n
- мерное комплексное
пространство
1
n
переменных
1
1
1
( ,
)
( ,...,
,
)
n
n
n
z
z z
z
z z
.
Если
1
,
n
z w
, то
1
1
1
1
,
...
n
n
n
n
z w
z w
z w
z
w
, и
,
z
z z
,
где
1
1
,...,
,
n
n
z
z
z z
.
Если точка
1
n
z
, то
1
1
1
Re
( Re ,..., Re
, Re
)
,
Re
,
n
n
n
j
j
z
z
z
z
z
x
а
1
1
1
Im
( Im
,..., Im
, Im
)
,
Im
,
n
n
n
j
j
z
z
z
z
z
y
т.е.
,
1,..., ,
1.
j
j
j
z
x
iy
j
n n
7
Ориентация
1
n
определяется порядком координат
1
1 1
1
( ,...,
,,
,...,
,
)
n
n
n
n
x
x
x
y
y y
.
Таким образом, форма объема
dv
имеет вид:
1
1
1
1
_
_
1
1
...
...
( / 2)
(
/ 2)
,
n
n
n
n
dv
dx
dx
dy
dy
dx
dy
i
dz
d z
i
d z dz
где
1
1
...
n
dz
dz
dz
dz
.
Рассмотрим в
1
n
внешнюю дифференциальную форму
( , )
U
z
типа
(
1, )
n
n
вида
1
1
1
2
1
!
( , )
( 1)
(2
)
n
k
k
k
n
n
k
z
n
U
z
d
k
d
i
z
, (1)
где
1
1
...
n
d
d
d
,
1
1
1
1
...
...
k
k
n
d
k
d
d
d
d
.
Она является ядром интегрального представления Мартинелли – Бохнера.
Рассмотрим (верхнее) полупространство
1
1
1
1
1
1
1
( ,
)
: ( ,
)
( ,...,
,
), Im
0 ,
n
n
n
n
n
n
n
z z
z z
z
z z
z
граница которого
1
2
1
1
1
1
1
1
1
( ,
)
: ( ,
)
( ,...,
,
), Im
0
n
n
n
n
n
n
n
n
z z
z z
z
z z
z
.
Основным результатом первого параграфа второй главы является
следующая
Теорема 2.1.
Сужение ядра ( , )
U
z
на
2
1
n
равно
1
1
2
1
2
1
1
1
1
, ,
,
,
2
n
n
n
n
n
n
z
P
z y
dv
z
i
y
(2)
где функция
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
!
, ,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
P
z y
z
z
x
y
является
ядром
Пуассона
для
полупространства
1
n
,
а
1
1
1
( ,
)
( ,...,
,
)
n
n
n
,
,
1,..., ,
1
j
j
j
i
j
n n
,
и
1
1
1
...
...
n
n
dv
d
d
d
d
.
Во втором параграфе второй главы получена формула для вычисления
интеграла Мартинелли - Бохнера в полупространстве для функций из класса
2
1
1
(
)
n
n
f
L
.
Приведем следующее определение.
Определение 2.1.
Пусть функция
2
1
(
)
n
f
L
, т.е.
f
принадлежит
пространству существенно ограниченных функций в
2
1
n
. Будем говорить,
что
2
1
1
(
)
n
n
f
L
, если
f
измерима на
2
1
n
и функция
1
1
(1
) ( ,
)
n
n
x
f z x
принадлежит пространству
2
1
(
)
n
L
.
8
Норму
f
в
2
1
(
)
n
L
обозначим через
f
. Ясно, что если
2
1
1
(
)
n
n
f
L
, то
2
1
(
)
n
f
L
и
2
1
1
(
)
n
n
x
f
L
(и обратно).
Рассмотрим функцию
2
1
1
(
)
n
n
f
L
, и обозначим через
*
f
ее интеграл
Пуассона:
2
1
*
1
( )
( , ) ( ,
, )
n
n
f
z
f
z P
z dv
.
Основным результатом второго параграфа второй главы является
следующая
Теорема 2.2.
Если функция
2
1
1
(
)
n
n
f
L
и нормы функций
1
1
1 1
1
* ( ,
)
( ,
)
n
n
n
n
f
y
x
y
f
y
равномерно ограничены в
2
1
(
)
n
L
при
1
0
n
y
, то интеграл Мартинелли -
Бохнера от функции
f
сходится и выполняется равенство
*
1
1
2
2
i
M f
f
f
, (3)
где
1
1
1
,
( )
y
n
f
x
d
x
x
, и
2
1
( ,1)
n
x
y x
.
В третьем параграфе второй главы получен аналог теоремы Лиувилля
для гармонических функций из класса
p
L
.
Рассмотрим пространство
2
1
p
n
L
, 1
p
, т.е. пространство всех
измеримых функций
f
таких, что
2
1
1
( )
n
p
p
f x
dx
. Норму в этом
пространстве обозначим через
p
f
, тогда
2
1
1
( )
n
p
p
p
f
f x
dx
.
В теории голоморфных отображений одним из важных теорем является
теорема Лиувилля.
Теорема 2.3.
(Лиувилль). Если целая функция
( )
f z
комплексных
переменных
1
( ,...,
)
n
z
z
z
ограничена, т.е.
( )
f z
M
,
n
z
, то
( )
f z
есть
константа.
9
Это утверждение является, одним из основных в теории аналитических
функций. Теорема впервые опубликовано в 1884 году. Для случая
1
n
,
Ж.Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и
произошло название.
Лиувилля теорема допускает обобщения в различных направлениях.
Например,
( )
f z
целая функция в
n
и
( )
1
m
f z
M
z
,
n
z
для
некоторого, целого
0
m
то
( )
f z
есть многочлен по переменным
1
( ,...,
)
n
z
z
z
степени не выше
m
. Далее если
( )
u x
- действительная гармоническая функция
во всем числовом пространстве
n
,
1
( ,...,
)
n
x
x
x
, причем
( )
1
m
u x
M
x
(
или
( )
1
m
u x
M
x
),
n
x
, то
( )
u x
есть гармонический многочлен по
переменным
1
( ,...,
)
n
x
x
степени не выше
2
1
n
.
Рассмотрим пространство
2
1
(
)
p
n
L
,
1
p
, т.е. пространство всех
измеримых функций с суммируемой
p
-й степенью
f
таких, что
2
1
1
( )
n
p
p
f x
dx
.
Норму в этом пространстве обозначим через
p
f
, тогда
2
1
1
( )
n
p
p
p
f
f x
dx
. Для функций из этого пространства доказан аналог
теоремы Лиувилля.
Основным результатом третьего параграфа второй главы является
следующая
Теорема 2.4.
Если гармоническая функция
(
)
p
m
f
L
, то она равна
нулю.
В четвертом параграфе второй главы получена формула для вычисления
интеграла Мартинелли - Бохнера в полупространстве для функций из класса
2
1
(
)
p
n
f
L
.
В этом параграфе мы будем работать функциями из пространства
( , )
p
L X
. Поэтому познакомимся с определением этого функционального
пространства
.
Пусть
X
- множество с мерой
. Через
( , )
p
L X
, 1
p
, мы
обозначим совокупность классов эквивалентности -измеримых функций с
суммируемой
p
-й степенью. Положим для
( , )
p
f
L X
1
( )
p
p
p
X
f
f x
d
.
(Здесь мы не делаем различия между классом эквивалентности
( , )
p
f
L X
и конкретной функцией ( )
f x
f
).
Нам понадобится
10
неравенства Минковского:
p
p
p
f
g
f
g
, которая вытекает из
неравенства Гѐльдера:
p
p
X
fgd
f
g
, если
1
1
1
p
q
. Ясно , что
( , )
p
L X
- линейное нормированное пространство при
1
p
.
В случае
- конечной меры эти неравенства превращаются в
соответствующие неравенства для последовательностей.
Основным результатом четвертого параграфа второй главы является
следующее:
Теорема 2.5.
Если гармоническая функция
2
1
(
),
p
n
f
L
1
p
и
нормы функций
1 1
1
( ,
)
n
n
y
f
y
равномерно ограничены в
2
1
(
)
p
n
L
при
1
0
n
y
, то интеграл Мартинелли - Бохнера от функции
f
сходится и
выполняется равенство
*
1
1
2
2
i
M f
f
f
.
где
1
1
1
,
( )
y
n
f
x
d
x
x
, и
2
1
( ,1)
n
x
y x
.
В третьей главе
исследованы свойства спектра оператора Мартинелли
- Бохнера в полупространстве.
В первом параграфе третьей главы речь идет о собственных функциях
оператора Мартинелли - Бохнера для функций из класса
L
в
полупространстве. Для этого нам понадобится интеграл Пуассона данной
функции.
Интеграл Пуассона функции
2
1
1
(
)
n
n
f
L
определим в виде
2
1
*
1
( )
( , ) ( ,
, )
n
n
f
z
f
z P
z dv
и обозначим через
*
f
.
Как известно функция
*
f
гармонична в
1
n
, ее граничные значения
почти всюду совпадают с
f
на
2
1
n
и при фиксированном
1
0
n
y
*
1
( ,
)
n
f
y
f
при некоторых условиях
для всех
1
0
n
y
. И обратно если нормы
*
1
( ,
)
n
f
y
некоторой гармонической в
1
n
функции
*
f
равномерно
ограничены, то существует почти всюду ее граничные значения на
2
1
n
, и
*
f
является интегралом Пуассона от своих граничных значений.
Определим функцию
1
*
1
1
1
1
1
1
1
( )
( ,
,
)
( ,
)
n
y
n
n
n
n
n
f
f z
z x
d
z x
x
,
11
где
1
( ,
)
n
z x
есть некоторое решение уравнения Пуассона в
2
1
n
:
2
*
1
1
n
n
f
y
x
(при условии существования граничных значений данной функции на
2
1
n
),
где -оператор Лапласа в
1
n
, а
~
- оператор Лапласа в
2
1
n
:
1
1
2
2
2
2
n
n
j
j
j
j
x
y
,
n
j
j
n
j
j
y
x
2
2
1
2
2
~
.
Тогда функция
1
f
гармонична в
1
n
.
Теорема 3.1.
Рассмотрим функцию
1
n
f
L
и пусть для таких
функций справедливо
1
1
* ( ,
)
(1/
)
n
n
f
y
O
y
при
1
n
y
.
Собственными функциями оператора Мартинелли - Бохнера из этого класса
являются функции одного переменного
1
n
z
, голоморфные по
1
n
z
с
собственным
числом,
равным
1,
и,
соответственно,
функции
антиголоморфные по
1
n
z
с собственным числом, равным 0, и только они.
При доказательстве теоремы используются теорема Лиувилля и формула
Сохоцкого – Племеля.
Теорема Лиувилля приведена в параграфе 3 главы 2. Теперь приведем
формулу Сохоцкого – Племеля.
Пусть
D
- ограниченная область с кусочно - гладкой границей,
f
-
интегрируемая функция на
D
1
(
(
))
f
L
D
. Рассмотрим интеграл (типа)
Бохнера –Мартинелли
( )
( ) ( , ),
D
F z
f
U
z
z
D
. (4)
Она является функцией, гармонической в
D
и
n
D
, кроме того,
2
1
1
( )
n
F z
O
z
при
z
. Если точка
z
D
, то интеграл в формуле (4),
вообще говоря, не существует как несобственный, поскольку
подынтегральная функция имеет особенность
2
1
1
n
z
. Поэтому для точек
z
D
будем рассматривать главное значение по Коши интеграла
Мартинелли - Бохнера :
0
. .
( ) ( , )
lim
( )
D
D
v p
f
U
z
f
( , )
( , )
B z
U
z
,
z
D
.
В дальнейшем знак главного значения (v.p.)будем иногда опускать т.е.
всегда будем считать, что интеграл вида (4) понимается в смысле главного
значения, если
z
D
.
Пусть
z
D
, обозначим через ( )
z
выражение
0
( , )
( )
lim
( , )
vol S z
D
z
volS z
.
12
Другими словами, ( )
z
есть телесный угол касательного конуса к
поверхности
D
в точке
z
. Поскольку мы рассматриваем область
D
с
кусочно-гладкой границей, то величина ( )
z
определена и не равна нулю.
Теорема 3.2.
Пусть
D
- ограниченная область с кусочно-гладкой
границей
D
и
(
)
f
C
D
, 0
1
. Тогда интеграл Бохнера-Мартинелли
F
непрерывно продолжается на
D
и
( )
F
C
D
,
интеграл
F
непрерывно
продолжается на
\
n
C
D
и
(
\
)
F
C
C D
. Кроме того, выполняются формулы
Сохоцкого-Племеля
( )
(1
( )) ( )
. .
( ) ( , )
D
F
z
z
f z
v p
f
U
z
,
( )
( ) ( )
. .
( ) ( , ),
D
F
z
z f z
v p
f
U
z z
D
. (5)
Если
2
1
(
)
n
f
L
, то интеграл Мартинелли - Бохнера от такой
функции может расходиться, например,
1
f
. Его нужно тогда
рассматривать в смысле главного значения по Коши:
2
1
lim
. .
( ) ( , )
( ) ( , )
n
R
B
v p
f
U
z
f
U
z
R
,
2
1
n
z
,
где
R
B
- шар с центром в нуле радиуса
R
в
2
1
n
.
Предложение 3. 1
. Справедливо равенство
2
1
1
1
1
,
0,
2
. .
( , )
1
,
0.
2
n
n
n
y
v p
U
z
y
Во втором параграфе третьей главы исследуется собственные функции и
собственные значения оператора Мартинелли – Бохнера для измеримых
функций с суммируемой
p
-й степенью в полупространстве.
Рассматриваем пространство
2
1
(
)
p
n
L
,
1
p
, пространство всех
измеримых функций в
2
1
n
с суммируемой
p
-й степенью, для которых
нормы определяются в виде
1
( )
m
p
p
p
f
f x
dv
.
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 3.3.
Рассмотрим функцию
2
1
(
)
p
n
f
L
. Пусть для нормы
функции
*
1
( ,
)
n
f
y
справедливо
*
1
1
( ,
)
(1/
)
n
n
p
f
y
O
y
(6)
при
1
n
y
. Собственными функциями оператора Мартинелли – Бохнера
из этого класса является только нулевая функция.
13
В заключение автор выражает глубокую признательность и искреннюю
благодарность своему научному руководителю - доктору физико–
математических наук, профессору Гулмирзе Худайберганову за
постановку задач и постоянное внимание к работе.
14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена вычислению интегральной формулы
Мартинелли – Бохнера в полупространстве и исследованию интегрального
оператора Мартинелли – Бохнера в полупространстве.
По основным результатам диссертационного исследования приходим к
следующим выводам:
Вычислено сужение ядра Мартинелли - Бохнера на границу
полупространства.
Получена формула для вычисления интеграла Мартинелли – Бохнера от
функций из класса
L
в полупространстве.
Получено доказательство аналога теоремы Лиувилля для функций из
класса
p
L
.
Получена формула для вычисления интеграла Мартинелли – Бохнера от
функций из класса
p
L
в полупространстве.
Исследованы свойства оператора Мартинелли – Бохнера от функций
из класса
L
в полупространстве и найдены собственные функции и
собственные значения оператора Мартинелли – Бохнера в полупространстве
для функций из класса
L
в полупространстве .
Исследованы свойства оператора Мартинелли – Бохнера от функций из
класса
p
L
в полупространстве и найдены собственные функции и
собственные значения оператора Мартинелли – Бохнера в полупространстве
для функций из класса
p
L
в полупространстве.
В целом, полученные результаты позволяют говорить о достижении
целей исследований диссертационной работы. Полученные результаты
являются новыми и в совокупности вносят существенный вклад в теорию
интегральных представлений многомерного комплексного анализа.
15
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ
1.
Рустамова М.С. Сужение ядра Бохнера – Мартинелли в
полупространстве // Журнал “Насаф зиѐси”. –Карши, 2005. –№ 2-3.
–С. 92-93.
2.
Рустамова М. С. О собственных функциях и собственных значениях
оператора Бохнера – Мартинелли в полупространстве // Материалы
Республиканской научной конференции «Новые теоремы молодых
математиков – 2006». 15 – 16 ноября 2006, –Наманган, 2006. –С. 49-
50.
3.
Рустамова М.С. Представление Бохнера – Мартинелли в
полупространстве // Материалы международной конференции
“Новые направления в теории динамических систем и
некорректных задач”. 19 – 20 октября 2007. –Самарканд, 2007. –С.
149–150.
4.
Худайберганов Г.Х., Рустамова М.С. О свойствах оператора
Бохнера - Мартинелли в полупространстве // Вестник Сибирского
Федерального университета. Серия математики и физики. –
Красноярск, 2008. – №1. –С. 94 – 99.
5.
Рустамова М.С. Вычисление интеграла Бохнера – Мартинелли в
полупространстве // Журнал «ҚарДУ хабарлари». – Карши, 2010. –
№ 3. – С. 217 – 220.
6.
Рустамова М.С. О собственных функциях оператора Бохнера -
Мартинелли в полупространстве // Узб. Матем. журн. –Ташкент,
2011. – №1. –С. 143 – 150.
7.
Рустамова М.С. Сходимость интеграла Бохнера – Мартинелли в
полупространстве // Материалы республиканской конференции
«Проблемы современной математики». 22 – 23 апреля 2011. –
Карши, 2011. – С. 217 – 220.
8.
Рустамова М.С. Аналог теоремы Лиувилля для функций из класса
)
(
1
2
n
p
R
L
// Материалы научно – практической конференции
«Математика фани ва уни ўқитишнинг долзарб муаммолари». 8-9
ноября 2011, –Андижан, 2011. –С. 44 – 45.
9.
Рустамова М. О вычисление интеграла Мартинелли – Бохнера для
функций из пространства
L
в полупространстве // Материалы
Республиканской
конференции
«Современные
проблемы
комплексного и функционального анализа». 11-12 мая 2012. –
Нукус, 2012. –С. 176 – 178.
16
Физика - математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор
Рустамова Мастура Самадовна
нинг 01.01.01.- математик анализ
ихтисослиги бўйича
“ Ярим фазода Мартинелли - Бохнер интеграли
ҳақида ”
мавзусидаги диссертациясининг
Р Е З Ю М Е С И
Таянч сўзлар:
юқори ярим фазо, Мартинелли - Бохнер интеграл
формуласи, Мартинелли – Бохнер интеграл оператори, кўп комплекс
ўзгарувчили функциялар.
Тадқиқот объектлари:
кўп комплекс ўзгарувчили функциялар, юқори
ярим комплекс фазо.
Ишнинг мақсади:
Мартинелли – Бохнер интегралини ярим фазода
ҳисоблаш, Мартинелли – Бохнер интеграл операторининг турли функционал
фазолардаги спектрал хоссаларини тадқиқ қилиш ва унинг шу функциялар
учун хос функциялари ва хос сонларини ярим фазода топиш.
Тадқиқот методлари:
кўп ўлчамли комплекс анализ усуллари ва
интеграл опреаторлар спектрал назарияси усуллари қўлланилади.
Олинган натижалар ва уларнинг янгилиги:
диссертацияда олинган
барча асосий натижалар янги бўлиб, улар қуйидагилардан иборат:
1.Мартинелли – Бохнер ядросини ярим фазо чегарасида ҳисобланган.
2.
L
функционал фазодан олинган функциялар учун ярим фазода
Мартинелли – Бохнер интегралини ҳисоблаш формуласи топилган.
3.
p
L
синфга кирувчи гармоник функциялар учун Лиувилль теоремаси
аналоги исботланган.
4.
p
L
функционал фазодан олинган функциялар учун ярим фазода
Мартинелли – Бохнер интегралини ҳисоблаш формуласи топилган.
5.Мартинелли – Бохнер интеграл операторининг
L
ва
p
L
синф
функциялари учун ярим фазода хос функциялари ва хос сонлари
топилган.
Амалий аҳамияти:
олинган натижалар назарий аҳамиятга эга. Бу
натижалар кўп ўлчамли комплекс анализнинг интеграл формулалари
назариясини бойитишга маълум даражада ҳисса қўшади.
Тадбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги:
ишда олинган
натижаларни кўп комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси бўйича
махсус курслар ўқишда ҳамда шу йўналишнинг кейинги ривожланишида
тадбиқ этилиши мумкин.
Қўлланиш соҳаси:
олинган натижалар ва методлар кўп комплекс
ўзгарувчили функциялар назарияси бўйича магистрантларга махсус курслар
ўқитишда ва шу йўналишнинг кейинги ривожланишида ҳамда табиий
фанларнинг бошқа соҳаларида қўлланилиши мумкин.
17
Р Е З Ю М Е
диссертации
Рустамовой Мастуры Самадовны
на тему
«Об интеграле
Мартинелли – Бохнера в полупространстве»
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01.-
Математический анализ.
Ключевые
слова:
верхнее
комплексное
полупространство,
интегральная формула Мартинелли – Бохнера, интегральный оператор
Мартинелли – Бохнера.
Объекты исследования:
функции многих комплексных переменных,
верхнее комплексное полупространство.
Цель работы:
вычисление интеграла Мартинелли - Бохнера в
полупространстве, исследование свойств оператора Мартинелли - Бохнера
в полупространстве для функций из разных функциональных пространств и
нахождение
собственных
функций
и
собственных
значений
в
полупространстве.
Методы исследования:
методы
теории функций многих комплексных
переменных, методы спектральной теории интегральных операторов.
Полученные результаты и их новизна:
все основные результаты
диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1.
Вычислено сужение ядра Мартинелли - Бохнера на границе
полупространства.
2.
Получена формула для вычисления интеграла Мартинелли - Бохнера
от функций из класса
L
в полупространстве.
3.
Доказан аналог теоремы Лиувилля для гармонических функций из
класса
p
L
в полупространстве.
4.
Получена формула для вычисления интеграла Мартинелли - Бохнера
от функций из класса
p
L
в полупространстве.
5.
Вычислены собственные функции и собственные значения оператора
Мартинелли - Бохнера для функций из классов
L
и
p
L
в полупространстве.
Практическая значимость: д
иссертация носит теоретический
характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность:
полученные
результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов для
магистрантов и в дальнейшем развитии данного направления.
Область применения:
полученные результаты вносят определенный
вклад в теорию интегральных представлений многомерного комплексного
анализа, а также могут быть использованы при решении различных задач
современной теории многомерных интегральных представлений.
18
R E S U M E
Thesis of
Rustamova Mastura Samadovna
on the scientific degree
competition of the doctor of philosophy in physics and mathematics on specialty
on 01.01.01. – Mathematical analysis, subject:
“About integral of Martinelli –
Bochner on the semi space”
.
Key words:
top complex semi space, formula of Martinelli – Bochner`s
integral, integral operator of Martinelli – Bochner`s, functions of many complex
variables.
Subjects of research:
finding
their
of eigen values and eigen functions on the
semi space.
Purpose of work:
calculation of the integral of Martinelli – Bochner on the
semi space the study of propetties of the Martinelli – Bochner operator on the semi
space of functions from various functional spaces.
Methods of research:
methods of the theory of functions of many complex
variables, methods of the spectral theory of integral operators.
The results obtained and their novelty:
all obtained results are new and
consists of the following:
1. Of Martinelli – Bochner kernel is fended on the border of the semi space.
2. The formula of calculation of Martinelli – Bochner integral of functions
from the class
L
in the semi space is obtained.
3. The version of Liuvill`s theorem for harmonic functions from the class
p
L
in semi space is proved.
4. The formula of calculation of Martinelli – Bochners integral of functions
from the class
p
L
on the semi space is obtained.
5. The eigen functions and eigen values of the Martinelli – Bochner operator of
functions from the classes
L
and
p
L
on the semi space are calculated.
Practical value:
the result from the thesis has theoretical character.
Degree of
implementation and economic effectiveness:
the results com be
used for reading special courses of functional theory.
Field of application:
The obtained results may be used in solving of various
problems of the modern theory multivariate complex analysis.
19
20
