Структурная теория конечномерных комплексных алгебр лейбница и классификация нильпотентных супералгебр лейбница

Актуальность и востребованность темы диссертации.
Алгебраические средства весьма полезны при исследовании элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов, при анализе модельных задач экономики, в задачах популяционной биологии и т.д. Так как ассоциативные алгебры, задающиеся определенным тождеством, начаты рассмотривашья после выявления свойства замкнутости относительно обычного умножения квадратных матриц, то их дальнейшее интенсивное развитие привело к созданию теории альтернативных, лиевых, Йордановых алгебр, которые тесно переплетены между собой и имеют многочисленные связи с различными областями математики. Алгебры Лейбница являются обобщениями алгебр Ли, и поэтому многие свойства, справедливые для алгебр Ли, продолжаются на случай алгебр Лейбница. Одним из приоритетных направлений исследований, в этой области, является доказательство аналогов теорем из теории алгебр Ли для алгебр Лейбница и детальное изучение свойств, присущих не Лиевым алгебрам Лейбница.
Из классической теории алгебр Ли известно, что произвольная конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нуль разлагается в полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и её полупростой подалгебры. В свою очередь конечномерные алгебры Лейбница также разлагаются в полупрямую сумму максимального разрешимого идеала и полупростой алгебры Ли. Исследование разрешимых алгебр с нильрадикалами специальных типов связано с различными моделями физики. Таким образом, аналогично случаю алгебры Ли, изучение разрешимых алгебр Лейбница с заданными нильрадикалами является актуальной задачей.
Напомним, что нильпотентные алгебры Ли являются разрешимыми алгебрами специального типа. В связи с тем, что описание нильпотентных алгебр Ли представляется необозримой задачей, то их изучение должно проводится с дополнительными ограничениями. В частности, при изучении нильпотентных алгебр одним из основных ограничений является ограничение на индекс нильпотентности. Следует отметить, что максимальный нильиндекс для алгебры Ли совпадает с размерностью самой алгебры, и такие алгебры получили название филиформных алгебр. Несмотря на то, что филиформные алгебры Лейбница в классе нильпотентных алгебр имеют относительно простое ограничение, они имеют достаточно сложную структуру, которую удобно исследовать с наложением условия градуирования. Эффективность максимальной градуировки обусловлена тем, что она даёт максимально точную информацию о структурных константах в таблице умножения алгебры.
Понятия вырождения, сжатия и деформации алгебры появились из физики. Например, сжатие в алгебре Ли с физической точки зрения означает процесс при котором одна физическая модель получается из другой пределом при воздействии группы инвариантов, в то время как, деформации характеризуются локальным поведением в малой окрестности многообразия объектов заданного типа. Таким образом, изучение деформаций алгебр важно при исследовании локальных геометрических свойств многообразий. В силу того, что алгебраическое многообразие есть объединение конечного числа неприводимых компонент и замыкание орбит жестких алгебр дает неприводимые компоненты многообразия, то нахождение жестких алгебр представляет собой определенный интерес при исследовании свойств конечномерных алгебр с геометрической точки зрения. Основной причиной востребованности исследований, связанных с тематикой настоящей диссертации, является тесная связь алгебр Лейбница и их когомологических свойств с проблемами Йордановых алгебр, алгебр Ли и других их обобщений.
Мотивация изучения другого обобщения алгебр Ли - супералгебр Ли возникла из свойств суперсимметрии в математической физике. Теория супералгебр Ли зарекомендовала себя как универсальный объект в современной алгебре. Так как супералгебры Лейбница обобщают не только алгебры Лейбница, но и супералгебры Ли, то, естественно, их изучение должно проходить в некоторой степени параллельно исследованиям данных многообразий. Аналогично алгебрам Лейбница, изучение конечномерных нильпотентных супералгебр Лейбница с максимальным индексом нильпотентности и супералгебр Лейбница, имеющих индекс нильпотентности, равный размерности самих супералгебр, является актуальной проблемой.
Целью исследования является изучение структурной теории комплексных конечномерных алгебр Лейбница и их дифференцирований, дальнейшее развитие теории вырождений и деформаций неассоциативных алгебр, а также описание нильпотентных супералгебр Лейбница.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
получена характеризация нильпотентности конечномерной алгебры Лейбница в терминах Лейбницевых дифференцирований;
классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся характеристически нильпотентными, и n-мерные филиформные алгебры Лейбница длины п-1;
построен пример, показывающий, что классический результат о разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых идеалов не является верным для алгебр Лейбница;
получено полное описание четырехмерных комплексных алгебр Лейбница и классифицированы пятимерные комплексные разрешимые алгебры Лейбница с трехмерным нильрадикалом;
описаны с точностью до изоморфизма разрешимые алгебры Лейбница, нильрадикал которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов;
классифицированы все алгебры уровня один и алгебры уровня два в многообразиях конечномерных комплексных ассоциативных, Йордановых и лиевых алгебр;
описаны вторые группы когомологий нуль-филиформных алгебр Лейбница и получено описание инфинитезимальных деформаций естественным образом градуированных филиформных алгебр Лейбница;
описаны все супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m, и доказано, что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница и супералгебр Лейбница, имеющих характеристическую последовательность (n I т-1, 1), все остальные супералгебры Лейбница имеют нильиндекс меньше, чем n+m.
Заключение
1. Выявлены свойства некоторых полупростых алгебр Лейбница и доказано, что для алгебр Лейбница аналог классического результата о разложении полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых алгебр Ли не верен.
2. Изучено свойство нильпотентности конечномерных алгебр Лейбница. Доказано, что конечномерная алгебра Лейбница нильпотентна тогда и только тогда, когда существует невырожденное Лейбницево дифференцирование.
3. Классифицированы филиформные алгебры Лейбница, не являющиеся характеристически нильпотентными, и комплексные n-мерные филиформные алгебры Лейбница длины п-1.
4. Получено полное описание, с точностью до изоморфизма, четырехмерных комплексных алгебр Лейбница и классифицированы пятимерные комплексные разрешимые алгебры Лейбница с трехмерным нильрадикалом.
5. Получено описание разрешимых алгебр Лейбница, нильрадикал которых является прямой суммой нуль-филиформных идеалов.
6. Приведены результаты, касающиеся вырождений разрешимых алгебр Лейбница. А именно, доказано, что если разрешимая алгебра вырождается в другую, то размерность нильрадикала предельной алгебры не меньше чем размерность нильрадикала заданной разрешимой алгебры.
7. Изучены алгебры, которые располагаются в нижних уровнях в многообразиях алгебр. Получено полное описание алгебр уровня один и классифицированы алгебры уровня два в многообразиях конечномерных комплексных ассоциативных, Йордановых и лиевых алгебр.
8. Изучены инфинитезимальные деформации алгебр Лейбница. А именно, описана вторая группа когомологий нуль-филиформных алгебр Лейбница. Доказано, что замыкание орбит всех однопорожденных алгебр Лейбница является неприводимой компонентой многообразия комплексных конечномерных алгебр Лейбница.
9. Получено описание инфинитезимальных деформаций естественным образом градуированных филиформных алгебр Лейбница.
10. Классифицированы все супералгебры Лейбница с нильиндексом n+m, и доказано, что кроме нуль-филиформных и филиформных супералгебр Лейбница и супералгебр Лейбница, имеющих характеристическую последовательность (n | m-1, 1), все остальные супералгебры Лейбница имеют нильиндекс меньше, чем n+m.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях других многообразий алгебр и супералгебр, в теории категорий, в изучении алгебр с различными типами градуировок, вычислении групп когомологий и гомологий, а также при изучении различных процессов теоретической физики.