АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
_____________________________________________________________________________
На правах рукописи
УДК 515.12
Жиемуратов Рзамурат Есбергенович
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И КАТЕГОРНЫЕ СВОЙСТВА
ПРОСТРАНСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ
-ГЛАДКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ
01.01.04 – геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук
Ташкент – 2010
2
Работа выполнена в Институте математики и информационных технологий
Академии Наук Республики Узбекистан
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор, академик АН РУз
Аюпов Шавкат Абдуллаевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
доцент
Рахимов Абдугафур
Абдумажидович
кандидат физико-математических наук
Жураев Турсунбай Файзиевич
Ведущая организация
:
Национальный университет Узбекистана
имени Мирзо Улугбека
Защита состоится «____ » _______________ 2010 г. в « ____ » часов в
ауд. 4-16 на заседании Специализированного Совета Д 015.17.01 при
Институте математики и информационных технологий по адресу: 100125,
Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.
С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке Института математики
и информационных технологий АН РУз
Автореферат разослан «____» __________________ 2010г.
Ученый секретарь
Специализированного Совета,
кандитат физико-математических наук
А.А.Заитов
3
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы.
Ковариантные функториальные конструкции
возникли в общей топологии практически с самого начала ее зарождения.
Например, метрика Хаусдорфа на множестве непустых замкнутых
ограниченных подмножеств метрического
пространства,
топология
Вьеториса на множестве непустых замкнутых подмножеств топологического
пространства, топологическое произведение топологических пространств и
другие.
Начало исследований нормальных ковариантных функторов в
категории компактов и их непрерывных отображений и в различных других
категориях восходит к фундаментальной работе Е.В.Щепина, где он выделил
ряд элементарных свойств ковариантных функторов в категории компактов и
ввел понятие нормального функтора.
В 1998 году Т.Н.Радул начал исследовать функтор
O
слабо
аддитивных сохраняющих порядок нормированных функционалов в
категории компактов и их непрерывных отображений. Т.Н.Радулом было
показано, что функтор
Comp
Comp
O
:
не является нормальным и,
следовательно, исследование этого функтора намного сложнее, чем
исследование
нормальных
функторов.
Появление
функтора
Comp
Comp
O
:
связано с тем, что в последнее время развивается теория
нелинейных функционалов. Кроме того, функторы
P
вероятностных мер,
exp
экспоненты и
суперрасширения являются подфункторами
функтора
O
. Функтор
O
можно продолжить на категорию
Tych
–
тихоновских пространств и их непрерывных отображений аналогично
конструкции А.Ч.Чигогидзе или, методом предложенным В.В.Федорчуком.
Следуя конструкции А.Ч.Чигогидзе в работах Р.Б.Бешимова рассмотрено
продолжение
Tych
Tych
O
:
функтора
O
на категорию
Tych
, которое
называется функтором слабо аддитивных функционалов с компактными
носителями. Другое продолжение
Comp
Tych
O
:
функтора
O
рассмотрено в работах А.А.Заитова. Функтор
Tych
Tych
O
:
, обладает
многими свойствами, которыми обладает функтор
O
. Но множество таких
функционалов слишком узко, например, оно не содержит функционалов,
носители которых не компактны. А множество
X
O
слишком широкое.
Отметим, что операция
Comp
Tych
O
:
перехода от заданного
тихоновского пространства
X
к компакту
X
O
является функтором.
Функтор
O
переводя тихоновские пространства в компакт, не сохраняет
многих специфических свойств заданного тихоновского пространства.
Поэтому
естественно
рассматривать
пространства
функционалов,
заключенные между пространствами
X
O
и
X
O
. Далее, в работах
4
Ш.А.Аюпова и А.А.Заитова были введены функторы:
R
O
– функтор
радоновых слабо аддитивных функционалов и
O
– функтор
-гладких
слабо аддитивных функционалов. Однако для заданного вещественно
полного тихоновского пространства
X
пространства
X
O
R
и
X
O
не
обязаны быть вещественно полными. В связи с этим Ш.А.Аюповым
поставлена задача: выделить такую часть компакта
X
O
, которая является
вещественно полной.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию
топологических и категорных свойств функтора
O
–
-гладких слабо
аддитивных функционалов в категории
Tych
тихоновских пространств и их
непрерывных отображений.
Степень изученности проблемы.
Изучение функтора
O
было начато
в работах Т.Н.Радула. Им было доказано, что этот функтор является
мономорфным, эпиморфным, сохраняет вес и пересечения, но не сохраняет
прообразы. Категорные свойства функтора
O
– слабо аддитивных
функционалов с компактными носителями, а также топологические свойства
пространства
X
O
были изучены в работах Р.Б.Бешимова.
Р.Б.Бешимовым
также
были
изучены
кардинальные
инварианты
пространства
X
O
. В работах Т.Н.Банаха, А.Ч.Чигогидзе, В.В.Федорчука
были исследованы пространства
X
P
R
– радоновых вероятностных мер,
X
P
–
-гладких вероятностных мер и
X
P
–
-гладких вероятностных
мер. В работах А.А.Заитова были рассмотрены топологические и категорные
свойства функтора
O
. В работах Ш.А.Аюпова и А.А.Заитова были
рассмотрены некоторые категорные и топологические свойства функторов
R
O
и
O
. В то же время топологические и категорные свойства функтора
O
оставались малоизученными.
Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.
Исследования
проводились
по
проекту
Ф.1.1.3
программы
фундаментальных исследований IФ «Математика, механика, информатика».
Цель и задачи исследования.
1)
Установить
критерий
-гладкости
слабо
аддитивных,
сохраняющий порядок функционалов;
2)
Дать описание вещественного пополнения тихоновского
пространства с помощью пространств
-гладких слабо аддитивных,
сохраняющих порядок, нормированных функционалов;
3)
Установить категорные свойства функтора
-гладких слабо
аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов
4)
Установить топологические свойства пространства
-гладких
слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов.
5
Объекты исследования:
-гладкие слабо аддитивные, сохраняющие
порядок, нормированные функционалы, пространство и функтор этих
функционалов.
Предмет исследования:
общая топология, теория ковариантных
функторов.
Методы исследования.
В диссертации применены методы общей
топологии, теории ковариантных функторов и функционального анализа.
Основные положения, выносимые на защиту:
критерий
-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок
функционалов;
монадичность
функтора
-гладких
слабо
аддитивных,
сохраняющих порядок нормированных функционалов;
вещественная полнота пространства
-гладких слабо аддитивных,
сохраняющих порядок, нормированных функционалов;
описание вещественного пополнения тихоновского пространства с
помощью
пространства
-гладких
слабо
аддитивных,
сохраняющих порядок нормированных функционалов;
условие совпадения пространств
-гладких слабо аддитивных и
-гладких слабо аддитивных функционалов;
оценка для веса пространства
-гладких слабо аддитивных,
сохраняющих порядок нормированных функционалов;
Научная новизна
. В работе получены следующие новые результаты:
– дан критерий
-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок
функционалов. Показано, что функтор
O
переводит
z
-вложения во
вложения.
– установлено, что функтор
O
, действующий в категории тихоновских
пространств и их непрерывных отображений, является монадичным.
– доказано, что для всякого тихоновского пространства
X
пространство
X
O
является вещественно полным. Дано описание
вещественного пополнения тихоновских пространств с помощью
пространства
-гладких
слабо аддитивных, сохраняющих порядок
нормированных функционалов.
– приведено достаточное условие совпадения пространств
-гладких
слабо аддитивных и
-гладких слабо аддитивных функционалов.
– показано, что вес пространства
-гладких слабо аддитивных,
сохраняющих порядок, нормированных функционалов находится между
весом его вещественного пополнения и
z
-весом заданного тихоновского
пространства
X
.
Научная и практическая значимость результатов исследования.
В работе изучены некоторые топологические и категорные свойства
пространства
-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок,
нормированных функционалов. Результаты и методы, представленные в
6
работе, могут быть использованы при исследованиях в общей топологии,
функциональном анализе и теории ковариантных функторов, а также в
специальных курсах для магистров в высших учебных заведениях.
Реализация
результатов.
Диссертационная
работа
носит
теоретический характер.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на
семинаре «Операторные алгебры и их приложения» (Институт математики и
информационных технологий АН РУз, руководитель: академик Ш.А.Аюпов,
2007-2010 гг.), на семинаре «Современные проблемы теории управления и
теории слоений» (Национальный Университет Узбекистана, руководитель:
проф. А.Я.Нарманов, 2008-2010 гг.), на городском семинаре по
функциональному анализу (Национальный Университет Узбекистана,
руководитель:
проф.
В.И.Чилин,
2010
г.),
на
семинаре
при
Специализированном Совете Д.015.17.01 (Институт математики и
информационных технологии АН РУз, руководитель: академик Ш.А.Аюпов,
2010 г.). А также результаты докладывались на республиканской научной
конференции
«Современные
проблемы
математики,
механики
и
информационных технологий», посвященной к 90-летию НУУз (Ташкент,
2008 г.) и «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Нукус, 2009 г.).
Опубликованность результатов.
Основные результаты диссертации
опубликованы в работах [1]-[7], список которых приведен в конце
автореферата. В работе [1] метод изложения, а в работе [3] идеи
доказательств теорем 1 и 2 принадлежат А.А.Заитову, остальные результаты
в этих работах принадлежат диссертанту.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,
трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 49
наименований. Полный объем диссертации – 72 страницы.
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе диссертации приводятся необходимые определения и
обозначения. В первом параграфе первой главы приводятся сведения из
теории ковариантных функторов, действующих в категории
Comp
–
компактных пространств и их непрерывных отображений.
Во втором параграфе приводятся сведения, относящиеся к
-гладким
слабо аддитивным, сохраняющим порядок, нормированным функционалам,
которые являются основными объектами исследования.
Пусть
X
– компакт,
X
C
– банахово пространство непрерывных
функций
R
X
:
с обычными алгебраическими операциями и
sup
-
нормой. Для каждого
R
c
через
X
c
обозначим постоянную функцию,
определяемую по формуле
c
x
c
X
для всех
X
x
. Пусть
X
C
,
.
7
Будем говорить, что
тогда и только тогда, когда
x
x
для всех
X
x
.
Напомним, что функционал
R
X
C
:
называется:
1) слабо аддитивным, если
c
c
X
для любых
X
C
и
R
c
;
2) сохраняющим порядок, если для любой пары функций
X
C
,
неравенство
влечет
;
3) нормированным, если
1
1
X
.
Для компакта
X
через
X
O
обозначается множество всех слабо
аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов
R
X
C
:
. Множество функционалов, удовлетворяющих первым двум
условиям этого определения, обозначим через
X
W
. Множество
X
W
снабжается топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей
функционала
X
O
относительно этой топологии образуют множества
вида
i
i
k
X
O
:
;
,...,
;
1
где
k
i
X
C
i
,...,
1
,
и
0
.
Пусть
X
– тихоновское пространство,
X
C
b
– пространство
ограниченных непрерывных функций
R
X
:
с поточечными
алгебраическими операциями. Для функции
X
C
b
положим
X
x
x
:
sup
. Пространство
X
C
b
с введенной нормой
является банаховым пространством.
Напомним, что функционал
X
O
сосредоточен на замкнутом
подмножестве
A
нормального пространства
X
, если
A
O
. Наименьшее
по включению замкнутое множество
X
A
, для которого
A
O
,
называется носителем функционала
X
O
и обозначается через
supp
.
Рассмотрим некоторую сеть
X
C
. Если для каждой точки
X
x
имеем
x
x
при
, и
0
lim
x
, то говорят, что сеть
X
C
– монотонно убывающая направленность, поточечно
сходящейся к нулю на
X
.
Определение 1.2.1.
Функционал
X
O
называется
сильно
-
гладким
, если
0
для любой монотонно убывающей
направленности
X
C
b
, поточечно сходящейся к нулю на
X
.
8
Определение 1.2.2.
Функционал
X
O
называется
сильно
радоновым
, если
0
для любой направленности
X
C
b
равномерно на компактах стремящейся к нулю и состоящей из функций,
ограниченных в совокупности.
Обозначим через
X
O
(соответственно, через
X
O
R
и
X
O
)
пространства всех слабо аддитивных функционалов с компактными
носителями (соответственно, радоновых слабо аддитивных и
-гладких
слабо аддитивных функционалов).
Говорят, что последовательность
X
C
n
есть монотонно
убывающая последовательность, поточечно сходящейся к нулю на
X
, если
для каждой точки
X
x
имеем
x
x
m
n
при
m
n
, и
0
lim
x
n
.
Определение 1.2.3.
Функционал
X
W
назовем
сильно
-
гладким
, если
0
n
для
любой монотонно
убывающей
последовательности
X
C
b
n
, поточечно сходящейся к нулю на
X
.
Для тихоновского пространства
X
через
X
W
обозначим множество
всех сильно
-гладких функционалов
X
W
. Положим
1
1
:
X
X
W
X
O
.
Наделим множества
X
W
и
X
O
топологией поточечной
сходимости.
Для
краткости
сильно
-гладкие
назовем
-гладкими
функционалами.
Очевидно, что имеют место следующие включения
X
O
X
O
X
O
X
O
X
O
R
для любого тихоновского пространства
X
, и равенства
X
O
X
O
X
O
X
O
X
O
R
для произвольного компакта
X
.
В первом параграфе второй главы дается критерий
-гладкости слабо
аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов и
изучаются некоторые категорные свойства функтора
O
.
Пусть
Comp
Y
X
,
и
Y
X
f
:
– непрерывное отображение.
Отображение
Y
O
X
O
f
O
:
определяется по формуле
9
Y
C
X
O
f
f
O
b
,
,
. (1)
Для тихоновских пространств
Y
X
,
и непрерывного отображения
Y
X
f
:
, отображение
Y
O
X
O
f
O
:
определим по формуле
X
O
f
O
f
O
,
где
Y
X
f
:
– (единственное) продолжение
f
на
X
, и
отображение
Y
O
X
O
f
O
:
определено по формуле (1).
Здесь имеет место следующая
Теорема 2.1.2.
Конструкция
O
является ковариантным функтором,
действующим на категории
Tych
тихоновских пространств и их
непрерывных отображений, продолжающим функтор
Comp
Comp
O
:
.
Пусть
K
– замкнутое подмножество компакта
X
. Положим
X
K
K
X
C
,
:
inf
, если
0
,
K
X
K
X
C
,
:
sup
, если
0
,
где
K
– характеристическая функция множества
K
, и
R
.
Следующее утверждение является основным результатом первого
параграфа второй главы, и дает критерий
-гладкости слабо аддитивных,
сохраняющих порядок функционалов.
Теорема 2.1.6.
Функционал
X
W
является
-гладким тогда и
только тогда, когда
0
K
для всякого замкнутого в
X
G
-множества
X
X
K
\
и для произвольного
R
.
Таким образом, согласно этой теореме, множество всех
-гладких
функционалов можем написать в виде
0
:
K
X
O
X
O
для всякого замкнутого в
X
G
-множества
X
X
K
\
и для произвольного
R
.
Во втором параграфе второй главы устанавливается одно из важных
свойств ковариантных функторов – монадичность функтора
-гладких слабо
аддитивных функционалов.
Понятие монады введено С. Эйленбергом и Дж. Муром в связи с
теорией сопряженных функторов.
Определение 2.2.5.
Монадой (или тройкой) на категории
C
называется тройка
,
,
F
T
, состоящая из ковариантного функтора
10
C
C
F
:
и естественных преобразований
F
Id
:
(единица) и
F
F
2
:
(умножение). При этом для каждого объекта
X
выполнены
равенства:
X
F
X
X
Id
F
(правая единица),
X
F
X
F
X
Id
(левая единица),
X
F
X
X
X
F
(ассоциативность умножения).
Функтор
F
называется монадичным, если он вкладывается в некоторую
монаду.
Следующая теорема является основным результатом второго параграфа
второй главы.
Теорема 2.2.6.
Функтор
Tych
Tych
O
:
является монадичным в
категории
Tych
.
В третьей главе диссертации изучены топологические свойства
пространства
-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок,
нормированных функционалов. В первом параграфе доказано, что
пространство
X
O
является вещественно полным для любого
тихоновского пространства
X
. Кроме того, предложен метод построения
вещественного пополнения тихоновского пространства с помощью
пространства
-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок,
нормированных функционалов.
Для компакта
X
через
X
P
обозначается пространство
вероятностных мер на
X
, которое является подпространством
X
O
. Далее,
для тихоновского пространства
X
через
X
P
обозначается: пространство
вероятностных мер с компактными носителями на
X
, когда
;
пространство вероятностных радоновых мер на
X
, когда
R
;
пространство вероятностных
-гладких мер на
X
, когда
; и
пространство вероятностных
-гладких мер на
X
, когда
.
Ключевым результатом при доказательстве основного результата этого
параграфа является следующее
Предложение 3.1.2.
Пусть
X
– тихоновское пространство. Тогда
пространство
X
P
замкнуто в
X
O
, где
,
,
,
R
.
Напомним, что топологическое пространство
X
называется
вещественно полным (или
R
-полным, или полным по Хьюитту), если оно
является тихоновским пространством и не существует тихоновского
пространства
X
~
, которое удовлетворяло бы следующим двум условиям:
1.
существует гомеоморфное вложение
X
X
g
~
:
, такое, что
X
X
g
X
g
~
;
11
2.
для каждой непрерывной вещественной функции
R
X
f
:
найдется непрерывная функция
R
X
f
~
:
~
, такая, что
f
g
f
~
.
Подпространство
X
пространства
Y
называется
C
-вложенным (в
Y
),
если каждая непрерывная функция
R
X
:
допускает непрерывное
продолжение
R
Y
:
~
.
Для всякого тихоновского пространства
X
существует ровно одно (с
точностью до гомеоморфизма) вещественно полное пространство
vX
,
содержащее
X
в качестве всюду плотного
C
-вложенного подпространства,
которое можно отождествлять с подпространством
X
K
X
x
vX
:
для всякого замкнутого
G
-множества
X
K
, содержащего
X
x
Пространство
vX
называется вещественным (или хьюиттовым)
пополнением пространства
X
.
В работах Т.Н.Банаха, А.Ч.Чигогидзе, В.В.Федорчука было показано,
что пространства
X
P
R
и
X
P
в общем случае не обязаны быть
вещественно полными даже тогда, когда рассматриваемое пространство
X
вещественно полно. Кроме того, известно, что каждое замкнутое
подпространство вещественно полного пространства вещественно полно.
Откуда в силу предложения 3.1.2 вытекает, что пространства
X
O
R
радоновых слабо аддитивных функционалов и
X
O
-гладких слабо
аддитивных функционалов в общем случае не обязаны быть вещественно
полными. Естественно возникает вопрос о том, что какая часть компакта
X
O
является вещественно полным для всякого тихоновского
пространства
X
.
Следующий результат дает ответ на этот вопрос.
Теорема 3.1.3.
Для всякого тихоновского пространства
X
пространство
X
O
является вещественно полным.
Основным результатом первого параграфа третьей главы является
следующая теорема, которая дает описание вещественного пополнения
тихоновского пространства с помощью пространства
-гладких слабо
аддитивных функционалов.
Теорема 3.1.4.
Замыкание
X
O
X
O
X
1
тихоновского
пространства
X
в
X
O
является вещественным пополнением
пространства
X
, где
1
:
supp
1
O
X
O
X
.
Во втором параграфе дано достаточное условие совпадения
пространств
-гладких слабо аддитивных и
-гладких слабо аддитивных
12
функционалов. Кроме того, изучено поведение весов тихоновских
пространств при воздействии на них функтором
O
.
Для вещественно полного пространства
X
через
X
h
обозначают
наименьший из кардиналов
k
таких, что всякий компакт
X
X
K
\
может
быть покрыт семейством замкнутых
G
-множеств компакта
X
, не
пересекающихся с
X
, и имеющих мощность
k
. Через
m
обозначим
наименьший кардинал
k
, для которого аксиома
k
MA
не верна.
Теорема 3.2.2.
Пусть
X
– вещественно полное пространство такое, что
m
X
h
. Тогда
X
O
X
O
.
Подпространство
X
пространства
Y
называется
z
-вложенным, если
каждое функционально открытое подмножество из
X
представимо в виде
V
X
G
, где
V
– функционально открытое множество в
Y
.
Определение 3.2.4.
Отображение
Y
X
f
:
топологических
пространств
X
и
Y
называется
z
-вложением, если
f
– вложение
X
в
Y
и
подпространство
X
f
z
-вложено в
Y
.
Теорема 3.2.5.
Если отображение
Y
X
f
:
является
z
-вложением
тихоновского пространства
X
в тихоновское пространство
Y
, то
отображение
Y
O
X
O
f
O
:
является вложением.
z
-весом тихоновского пространства
X
называется наименьшее из
весов компактов, содержащих
X
в качестве
z
-вложенного подпространства.
z
-вес тихоновского пространства
X
обозначается через
X
w
z
.
Теорема 3.2.11.
Для любого бесконечного тихоновского пространства
X
имеем
X
w
z
X
O
w
vX
w
.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию топологических и категорных
свойств пространства
-гладких слабо аддитивных функционалов. В первой
главе диссертации приведены необходимые понятия и факты из теории
ковариантных нормальных функторов, действующих в категории
Comp
–
компактов и их непрерывных отображений.
Во второй главе диссертации исследованы категорные свойства
функтора
-гладких слабо аддитивных функционалов. Доказано, что
конструкция
O
является ковариантным функтором, действующим в
категории
Tych
– тихоновских пространств и их непрерывных отображений.
Дан критерий
-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок
13
функционалов. Установлено, что функтор
O
, действующий на категории
тихоновских пространств и их непрерывных отображений, является
монадичным.
В третьей главе изучены топологические свойства пространства
-
гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных
функционалов. Доказано, что для всякого тихоновского пространства
X
пространство
X
O
является вещественно полным. Дано описание
вещественного пополнения тихоновских пространств с помощью
пространства
-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок,
нормированных функционалов. Приведено достаточное условие совпадения
пространств
-гладких слабо аддитивных и
-гладких слабо аддитивных
функционалов. Показано, что функтор
O
переводит
z
-вложения во
вложения. Показано, что вес пространства
X
O
-гладких слабо
аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов
находится между весом его вещественного пополнения и
z
-весом заданного
тихоновского пространства
X
.
Автор выражает глубокую признательность своему научному
руководителю, академику АН РУз, профессору Шавкату Абдуллаевичу
Аюпову за ценные советы и внимание к работе.
4. СПИСОК ОПУБЛИКОВАНЫХ РАБОТ:
1.
Жиемуратов Р.Е., Заитов А.А. О вещественной полноте пространства
слабо аддитивных
-гладких функционалов // Владикавказский
Математический Журнал, Владикавказ 2009, Том 11, выпуск 1, С. 22-
28.
2.
Жиемуратов Р.Е. О монадичности функтора
O
слабо аддитивных
функционалов // Узбекский Математический Журнал, Ташкент 2009,
№2, с. 62-69.
3.
Заитов А.А., Жиемуратов Р.Е. О весе пространства слабо аддитивных
-гладких функционалов // Узбекский Математический Журнал,
Ташкент 2009, №4, с. 61-69.
4.
Заитов А.А., Жиемуратов Р.Е. Совершенные отображения и функторы
// Материалы республиканский научной конференции «Современные
проблемы математики, механики и информационных технологий»
посвященной к 90-летию НУУз, Ташкент 2008, С. 98-100.
14
5.
Заитов А.А., Жиемуратов Р.Е. О вещественной полноте пространства
слабо аддитивных
-гладких функционалов // Международная
конференция «Современные проблемы математики, механики и их
приложений» посвященная 70-летию академика В.А.Садовничего.
МГУ, 2008, С.26.
6.
Жиемуратов Р.Е. Функтор
-гладких слабо аддитивных функционалов
и совершенные отображения // Материалы республиканской научной
конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения»,
Нукус 2009, С. 82-83.
7.
Jiemuratov R.E. Perfectly
ϰ
-normal spaces and functor
O
// Abstracts of
the third congress of the world mathematical society of Turkic countries,
June 30 – July 4, 2009. Almaty, Vol.1. P. 63.
15
Физика-математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор
Р.Е.Жиемуратовнинг 01.01.04 − геометрия ва топология ихтисослиги бўйича
«Чизиқли бўлмаган
-силлиқ суст аддитив функционаллар фазосининг
топологик ва категорик хоссалари» мавзусидаги диссертациясининг
РЕЗЮМЕСИ
Калит сўзлар
:
-силлиқ суст аддитив функционал, категория,
ковариант функтор.
Тадқиқот объекти:
-силлиқ суст аддитив, тартиб сақловчи,
нормаланган функционаллар, бу функционаллар фазоси ва функтори.
Ишнинг мақсади:
-силлиқ суст аддитив функционаллар фазосининг
топологик ва категорик хоссаларини ўрганиш.
Тадқиқот усули:
умумий топология, ковариант функторлар назарияси
ва функционал анализнинг усулларидан фойдаланилди.
Олинган илмий натижалар ва уларнинг янгилиги:
диссертацияда
олинган барча натижалар янги бўлиб, улар қуйидагилардан иборат:
O
конструкцияси Тихонов фазолари ва уларнинг узлуксиз акслантиришлари
категориясида ковариант функтор бўлиши исботланди. Суст аддитив, тартиб
сақловчи функционалларнинг
-силлиқ бўлиш критерияси келтирилди.
O
функтори монада ҳосил қилиши кўрсатилди. Ихтиёрий
X
Тихонов фазоси
учун
-силлиқ суст аддитив функционалларнинг
X
O
фазоси ҳақиқий
тўла бўлиши исботланди.
-силлиқ суст аддитив функционаллар фазоси
ёрдамида Тихонов фазоларининг ҳақиқий тўлдирмалари тавсифи берилди.
-
силлиқ суст аддитив ва
-силлиқ суст аддитив функционаллар
фазоларининг устма-уст тушиш етарли шарти келтирилди.
O
функтори
z
-
жойлаштиришни жойлаштиришга ўтказиши кўрсатилди. Ихтиёрий
X
Тихонов фазоси учун
-силлиқ суст аддитив, тартиб сақловчи, нормаланган
функционалларнинг
X
O
фазосининг салмоғи унинг ҳақиқий тўлдирмаси
салмоғи ва берилган Тихонов фазосининг
z
-салмоғи орасида бўлиши
исботланди.
Амалий аҳамияти:
диссертация натижалари назарий аҳамиятга эга.
Тадбиқ этиш даражаси ва иқтисодий самарадорлиги:
ишда
келтирилган натижалар ва методлар умумий топология, функционал анализ
ва ковариант функторлар назарияларидан махсус курслар ўқишда
қўлланилиши мумкин.
Қўлланиш соҳаси:
диссертация натижалари умумий топологияда,
ковариант функторлар назариясида ва функционал анализда қўлланилиши
мумкин.
16
РЕЗЮМЕ
диссертации Жиемуратова Р.Е. на тему «Топологические и категорные
свойства пространства нелинейных
-гладких функционалов» на соискание
ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности
01.01.04 – геометрия и топология
Ключевые слова:
-гладкий слабо аддитивный функционал,
категория, ковариантный функтор.
Объекты исследования:
-гладкие слабо аддитивные, сохраняющие
порядок, нормированные функционалы и их пространство и функтор.
Цель работы:
исследование топологических и категорных свойств
пространства
-гладких слабо аддитивных функционалов.
Методы исследования:
применены методы общей топологии, теории
ковариантных функторов и функционального анализа.
Полученные результаты и их новизна:
полученные в диссертации
результаты являются новыми и они состоят следующем. Показано, что
конструкция
O
является ковариантным функтором, действующим в
категории
Tych
– тихоновских пространств и их непрерывных отображений.
Дан критерий
-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок
функционалов. Установлено, что функтор
O
является монадичным.
Доказано, что для всякого тихоновского пространства
X
пространство
X
O
является вещественно полным. Дано описание вещественного
пополнения тихоновских пространств с помощью пространства
-гладких
слабо аддитивных функционалов. Приведено достаточное условие
совпадения пространств
-гладких слабо аддитивных и
-гладких слабо
аддитивных функционалов. Доказано, что функтор
O
переводит
z
-
вложения во вложения. Показано, что вес пространства
X
O
-гладких
слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов
находится между весом его вещественного пополнения и
z
-весом заданного
тихоновского пространства
X
.
Практическая
значимость:
результаты
диссертации
имеют
теоретический характер.
Степень внедрения и экономическая эффективность:
Результаты и
методы, представленные в работе могут быть использованы при чтении
специальных курсов по общей топологии, функциональном анализе и теории
ковариантных функторов.
Область применения:
общая топология, функциональный анализ и
теории ковариантных функторов.
17
RESUME
Thesis of
Jiemuratov Rzamurat Esbergenovich
on the scientific degree
competition of the doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, speciality
01.01.04 – geometry and topology
subject:
«Topological and categorical properties of the spaces of nonlinear
-smooth
functionals ».
Keywords:
-smooth order- preserving functional, category, functor.
Subject of the inquiry:
-smooth weakly additive, order- preserving,
normed functionals and their space and functor.
Aim of the inquiry:
to investage topological and categorical properties of
the spaces of
-smooth order- preserving functionals.
Methods of inquiry:
methods of general topology, covariant functors theory
and functional analysis have been used.
The results achieved and their novelty
: results obtained in the thesis are
new and consist of the following: It is proven that the construction
O
is a
covariant functor, acting in the category of Tychonoff spaces and their continuous
maps. A criteria is given for
-smoothness of weakly additive, order- preserving
functionals. It is shown that if
Y
X
f
:
is a
z
-embedding between Tychonoff
spaces, then the map
X
O
X
O
f
O
:
is an embedding. It is shown that
the functor
O
forms a monada.
It is proven that the space
X
O
is Hewitt
complete for every Tychonoff space
X
.
A description is given for the Hewitt completions of Tychonoff spaces in
terms of the spaces of
-smooth order-preserving functionals. We give a
condition for coincidence of the spaces of
-smooth weakly additive and
-
smooth weakly additive functionals. It is shown that weight of the space
X
O
of
-smooth weakly additive functionals is between the weight of Hewitt
completions and
z
-weight of the given Tychonoff space
X
.
The practical value:
the results of the thesis have a theoretical character.
Degree of application and economic effectivity:
Results and methods
introduced in the work can be used in special courses on general topology,
functional analysis and theory of covariant functors.
Sphere of usage:
the results of the thesis may be used in general topology,
covariant functors theory and functional analysis.
