m-субгармоник функцияларда потенциаллар назарияси

1

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 16.07.2013.FM.01.01

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

УРГАНЧ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

АБДУЛЛАЕВ БАХРОМ ИСМОИЛОВИЧ

m

-СУБГАРМОНИК ФУНКЦИЯЛАРДА ПОТЕНЦИАЛЛАР

НАЗАРИЯСИ

01.01.01 – Математик анализ

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

2

УДК:

517.55

Докторлик диссертацияси автореферати мундарижаси

Оглавление автореферата докторской диссертации

Content of the Abstract of the Doctoral dissertation

Абдуллаев Бахром Исмоилович
m-субгармоник функцияларда потенциаллар назарияси………………...

3

Абдуллаев Бахром Исмоилович
Теория потенциала на m-субгармонических функциях…………………

26

Abdullaev Bakhrom Ismoilovich
Potential theory on m-subharmonic functions……………………………….

47

Эълон қилинган ишлар рўйхати
Список опубликованных работ
List of published works……………………………………………………...

72

3

ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ ҲУЗУРИДАГИ ФАН

ДОКТОРИ ИЛМИЙ ДАРАЖАСИНИ БЕРУВЧИ 16.07.2013.FM.01.01

РАҚАМЛИ ИЛМИЙ КЕНГАШ

УРГАНЧ ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ

АБДУЛЛАЕВ БАХРОМ ИСМОИЛОВИЧ

m-СУБГАРМОНИК ФУНКЦИЯЛАРДА ПОТЕНЦИАЛЛАР

НАЗАРИЯСИ

01.01.01 – Математик анализ

(физика-математика фанлари)

ДОКТОРЛИК ДИССЕРТАЦИЯСИ АВТОРЕФЕРАТИ

Тошкент – 2016

4

Докторлик диссертацияси мавзуси Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамаси

ҳузуридаги Олий аттестация комиссиясида № 30.09.2014/B2014.5.FM119 рақам билан
рўйхатга олинган.

Докторлик диссертацияси Урганч давлат университетида бажарилган.
Диссертация автореферати уч тилда (ўзбек, рус, инглиз) Илмий кенгаш веб-саҳифаси

(

http://ik-fizmat.nuu.uz/

)

ва

«ZIYONET»

таълим

ахборот

тармоғида

(

www.ziyonet.uz

)

жойлаштирилган.

Илмий маслаҳатчи:

Садуллаев Азимбай

физика-математика фанлари доктори, профессор,
академик

Расмий оппонентлар:

Кружилин Николай Георгиевич

физика-математика фанлари доктори, профессор

Ганиходжаев Расул Набиевич

физика-математика фанлари доктори, профессор

Джалилов Ахтам Абдурахманович

физика-математика фанлари доктори, профессор

Етакчи ташкилот:

Сибирь федерал университети

Диссертация ҳимояси Ўзбекистон Миллий университети ҳузуридаги 16.07.2013.FM.01.01

рақамли Илмий кенгашнинг «24» март 2016 йил соат 14-00 даги мажлисида бўлиб ўтади (Манзил:
100174, Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (+998-71) 227-12-24, факс:
(+998-71) 246-53-21, 246-02-24, e-mail:

nauka@nu.uz

)

Докторлик диссертацияси билан Ўзбекистон Миллий университетининг Ахборот-ресурс

марказида танишиш мумкин (__________рақами билан рўйхатга олинган). Манзил: 100174,
Тошкент ш., Олмазор тумани, Университет кўчаси, 4-уй. Тел.: (+998-71) 246-02-24.

Диссертация автореферати 2016 йил «18» февраль куни тарқатилди.
(2016 йил «18» февралдаги _______ рақамли реестр баённомаси).

A.А.Азамов

Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий

кенгаш раиси, ф.-м.ф.д., профессор

А.Х.Худойбердиев

Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий

кенгаш илмий котиби, ф.-м.ф.н.

Ю.Х.Эшкабилов

Фан доктори илмий даражасини берувчи Илмий

кенгаш ҳузуридаги илмий семинар раиси, ф.-м.ф.д.

5

Кириш (докторлик диссертацияси аннотацияси)

Диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати.

Классик

потенциаллар назарияси Лаплас оператори ва субгармоник функциялар
синфига асосланиб, плюрипотенциаллар назарияси ночизиқли Монж-Ампер
тенгламаси

ва

плюрисубгармоник

функциялар

билан

боғланган.

Плюрипотенциаллар назарияси ҳозирда жадал суръатларда ривожланиб
келмоқда ва геометрик кўпхилликлар, Эйнштейннинг нисбийлик
назариясида,

жумладан,

Эйнштейн

метрикасининг

мавжудлигини

исботлашда, шунингдек, хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг
бир қанча масалаларида ўз татбиқини топган. Плюрисубгармоник
функциялар синфининг ўзига хос кенгайтмаларини ўрганиш ва бу
кенгайтмалар учун потенциаллар назариясини яратиш билан боғлиқ
татқиқотлар ҳозирги пайтда комплекс анализнинг устивор йўналишларидан
биридир.

Классик потенциаллар назарияси ва плюрипотенциал назариясини

бирдек ўз ичига олган янги назарияни яратиш учун Лаплас ва ночизиқли
Монж-Ампер операторини умумлаштирувчи гессианлардаги операторлардан
фойдаланиш кутилган. Бироқ кутилаётган потенциаллар назарияси қандай
функцияларга таяниши яқин-яқинларгача номаълумлигича қолмоқда эди.
Гессианлардаги тенгламалар учун Дирихле масаласи асосида m-субгармоник
функциялар синфи тушунчаси киритилиб, потенциаллар назариясига тўлиқ
мос келиши ҳамда плюрисубгармоник функциялар Монж-Ампер тенгламаси
учун қанчалик муҳим бўлса, m-субгармоник функциялар синфи ҳам
гессианлардаги тенгламалар учун шунчалик муҳим бўлиши аниқланди. Шу
сабабдан m-субгармоник функциялар синфини ва кучсиз m-субгармоник
функцияларнинг

потенциал-сиғим хоссаларини кенг тадқиқ этилиши долзарб

муаммолардан ҳисобланади.

Шулар билан бир қаторда диссертация мавзусининг долзарблиги

классик ва комплекс потенциаллар назариясини ўз ичига олган ва гессиан
операторига асосланган потенциаллар назариясини тўлиқ асослаш,
m-субгармоник ва кучсиз m-субгармоник функциялар синфида Дирихле
масаласини ечиш усулларини ишлаб чиқиш, m-субгармоник функциялар
супремумининг m-субгармоник бўлиши ҳамда m-субгармоник функциялар
комплекс гипертекисликлар устидаги қисқартмасининг (m-1)-субгармоник
функция бўлиши муаммоларини ҳал этиш билан характерланади. Комплекс
текисликларда субгармоник бўлган кучсиз m-субгармоник функциялар
синфини киритиш, уларнинг

потенциал-сиғим хоссаларини ўрганиш, m-

субгармоник функцияларнинг квазиузлуксизлиги, уларнинг солиштириш
принципи, стандарт аппроксимация учун оқимларнинг кучсиз яқинлашиши
ва m-субгармоник функциялар синфида потенциаллар назариясининг бошқа
фундаментал теоремаларини исботлаш юзасидан тегишли изланишларни
олиб бориш муҳим вазифалардан ҳисобланади.

Неванлинна назариясида характеристик функцияни баҳолашда, Риман

геометриясида

m

–қавариқ қобиқларни содда кўринишда ифодалашда,

6

плюрисубгармоник

функциялар

назариясида

функцияларнинг

плюригармониклиги мезонини (Лелон теоремасини аналогини) исботлашда
қўлланиши ва m-субгармоник ва кучсиз m-субгармоник функциялар
синфларининг кўп ўлчамли комплекс анализга қатор татбиқлари
диссертация мавзуси билан боғлиқ тадқиқотларнинг заруратини
ифодалайди.

Тадқиқотнинг республика фан ва технологиялари ривожланиши-

нинг устувор йўналишларига боғлиқлиги.

Мазкур диссертация

республика фан ва технологиялар ривожланишининг Ф4 «Математика,
механика ва информатика» устувор йўналишига мувофиқ бажарилган.

Диссертация мавзуси бўйича хорижий илмий-тадқиқотлар шарҳи.

Гессианлардаги

комплекс

тенгламалар

назарияси,

m-субгармоник

функциялар назарияси, кучсиз m-субгармоник функциялар, плюрипотенциал
назарияси ва кўп ўзгарувчили голоморф функциялар функцияларнинг
геометрик масалалари бўйича етакчи хорижий давлатларнинг илмий
марказлари ва олий таълим муассасаларида, жумладан, Стони Брук
университети, Калифорния университети, Индиана университети (АҚШ);
Ягеллон университетининг Математика институти (Польша); Пауль Сабатье
университети (Франция); Готебург университети (Швеция); Любляна
университети (Словения); Пиза университети (Италия); Москва давлат
университети, Математика институти, Сибир федерал университетида
(Россия) кенг қамровли илмий-тадқиқотлар олиб борилмоқда.

Классик потенциаллар ва плюрипотенциаллар назариялари ҳамда

уларни ўз ичига олган янги назарияни яратиш юзасидан жаҳон миқёсида бир
қатор долзарб масалалар ечилган бўлиб, жумладан, қуйидаги илмий
натижалар олинган: р-плюрисубгармоник функциялар назариясининг
калибрланган геометрияда муҳим татбиқлари келтирилган (Стони Брук
университети), m-субгармоник функциялар синфида Дирихле масаласи
ечилган (Ягеллон университетининг Математика институти); проектив
фазоларда m-субгармоник функциялар синфи ва уларнинг комплекс динамик
системаларига татбиқлари топилган (Пауль Сабатье университети, Готебург
университети); уч ўлчамли Евклид фазосида 2-плюрисубгармоник
функциялар ва уларнинг минимал сиртлар назариясига тадбиқи услублари
яратилган (Любляна университети); гессиан тенгламалари ечимларини
ифодалаш услублари ишлаб чиқилган (Пиза университети).

Бугунги кунда, қулай геометрик тасвирга эга бўлган кучсиз mw-

субгармоник

функциялар

синфида

потенциаллар

назариясини

ривожлантириш, бу синфнинг потенциал хоссаларини ўрганиш ва амалиётга
татбиқ қилиш ҳамда ихтиёрий T оқимга нисбатан T-плюрисубгармоник
функцияларни таснифлаш каби устивор йўналишларда илмий-тадқиқот
ишлари олиб борилмоқда.

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси.

Плюрипотенциал назария

ночизиқли Монж-Ампер тенгламаси ва плюрисубгармоник функциялар
билан боғлиқ бўлиб, ўтган асрнинг 80-йилларида яратилган. Бу назариянинг
яратилишида, АҚШ, Польша, Швеция, Франция ва Ўзбекистон олимлари

7

(E.Bedford, B.A.Taylor, J.Siciak, H-J.Bremermann, Ch.O.Kiselman, А.Зерахи,
А.Садуллаев) нинг фундаментал тадқиқотлари асосий омил ҳисобланади.

Польшалик математиклар (J.Siciak, S.Plesniak) нинг кўп ўзгарувчили

голоморф функцияларнинг полиномиал аппроксимацияси билан боғлиқ
масалаларни ўрганишлари натижасида экстремал Грин функциялари
терминида классик Бернштейн-Уолш теоремасининг аналогини исбот
қилишга муваффақ бўлинган. Кейинчалик ўзбекистонлик ва америкалик
математиклар (А.Садуллаев, С.Имомкулов, E.Bedford, B.A.Taylor) томонидан
плюрисубгармоник ўлчов, конденсатор сиғими тушунчалари киритилиб, бир
қатор фундаментал натижалар исбот қилинган ва потенциаллар назариясини
татбиқ этилиши принциплари ишлаб чиқилган. m-субгармоник функциялар
ва гессианлардаги комплекс тенгламалар назариялари 2006 йилдан бошлаб,
асосан Польшалик ва Франциялик математиклар (S.Dinev, Z.Blocki,
S.Kolodziej, H-C.Lu) тадқиқотлари натижасида ривожланиб, m-субгармоник
функциялар синфининг асосий функционал хоссалари ўрганилган.

Шунга қарамасдан, ихтиёрий m-субгармоник функциялар синфида

гессиан операторининг аниқланмаганлиги ҳамда стандарт аппроксимация
учун оқимларнинг яқинлашиши маълум бўлмагани сабаб, m-субгармоник
функцияларда потенциаллар назарияси яратилмаган эди. Бундан ташқари,
n-ўлчамли комплекс фазодаги кўп комплекс ўзгарувчили аналитик
функциялар билан боғлиқ бўлган комплекс текисликларда субгармоник
функцияларнинг потенциал-сиғим ҳусусиятлари ўрганилмаган эди.

Диссертация мавзусининг диссертация бажарилаётган олий таълим

муассасасининг

илмий-тадқиқот

ишлари

билан

боғлиқлиги.

Диссертация тадқиқоти Урганч давлат университети №3 рақамли «Комплекс
потенциаллар назарияси» мавзусидаги илмий тадқиқот ишлари режаларига
мувофиқ бажарилган.

Тадқиқотнинг

мақсади

m-субгармоник

функциялар

синфида

потенциаллар назарияси, кучсиз m-субгармоник функцияларнинг потенциал
хоссалари ва яратилган потенциаллар назариясини кўп комплекс аргументли
функциялар ҳамда гармоник функцияларнинг геометрик муаммолари
масалаларига татбиқ қилишдан иборат.

Тадқиқотнинг

вазифалари

қуйидагилардан иборат:

m-субгармоник функциялар супремумининг m-субгармониклигини ва

m-субгармоник

функцияларни

комплекс

гипертекисликлар

устида

қисқартмаси (m-1)-субгармоник функция бўлишини исботлаш;

конденсатор сиғими тушунчасини киритиш, квазиузлуксизлик ва m-

субгармоник функциялар учун солиштириш принципини исботлаш;

стандарт аппроксимация учун оқимларнинг яқинлашишини ва m-

субгармоник функциялар синфида потенциаллар назариясининг фундаментал
теоремаларини исботлаш;

кучсиз m-субгармоник функциялар синфини аниқлаш ва бу синфнинг

потенциал хоссаларини исботлаш;

8

m-субгармоник

функцияларни Неванлинна назарияси, қавариқ

геометрия, плюригармоник функциялар назариясига тадбиқ этиш усулларини
ишлаб чиқиш.

Тадқиқотнинг объекти

сифатида

ночизиқли

Монж-Ампер оператори,

гессианлардаги оператор, m-субгармоник ва кучсиз m-субгармоник
функциялар, m-поляр тўпламлар, конденсатор сиғими олинган.

Тадқиқотнинг предмети

m-субгармоник ва кучсиз m-субгармоник

функциялар синфида потенциаллар назарияси.

Тадқиқотнинг усуллари.

Тадқиқот ишида потенциаллар назарияси ва

кўп

комплекс

ўзгарувчили

функциялар

назарияси

методларидан

фойдаланилган.

Тадқиқотнинг илмий янгилиги

қуйидагилардан иборат:

m-субгармоник функциялар супремуми m-субгармоник бўлиши ва m-

субгармоник

функцияларни

комплекс

гипертекисликлар

устидаги

қисқартмаси (m-1)-субгармоник функция бўлиши исботланган;

классик ва комплекс потенциаллар назариясини ўз ичига олган гессиан

операторига асосланган потенциаллар назарияси тўлиқ асосланган;

комплекс текисликларда субгармоник бўлган кучсиз m-субгармоник

функцияларнинг

потенциал-сиғим ҳусусиятлари киритилган ва унинг бир

қатор муҳим хоссалари исбот қилинган;

m-субгармоник ва кучсиз m-субгармоник функциялар синфида

Дирихле масаласини ечиш усуллари ишлаб чиқилган;

m-субгармоник

функцияларнинг квазузлуксизлиги ва уларнинг

солиштириш принципи исбот қилинган;

стандарт аппроксимация учун оқимларнинг яқинлашиши ва m-

субгармоник функциялар синфида потенциаллар назариясининг бошқа
фундаментал теоремалари исботланган;

Тадқиқот натижаларининг ишончлилиги

m-субгармоник функциялар

синфини аниқлаш ва бу синфнинг потенциал хоссаларини исботлаш,
потенциаллар назариясининг гессианлардаги тенгламалари учун Дирихле
масалаларини ечишга математик анализ, функционал анализ, математик
физика ва комплекс ўзгарувчили функциялар назарияси усулларини қўллаш
ҳамда математик мулоҳазаларнинг қатъийлиги, диссертация натижалари
импакт-факторли илмий журналларда чоп қилингани ва етакчи илмий
марказларда апробациядан ўтгани, шунингдек, муаллиф томонидан олинган
натижаларни хорижий муаллифлар томонидан чоп қилинган ишларда
муҳокама этилиши ва иқтибос келтирилганлиги билан асосланади.

Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти.

Тадқиқот

натижаларининг илмий аҳамияти диссертацияда Лелоннинг биринчи ва
иккинчи муаммоси ва m-субгармоник функциялар синфида потенциалллар
назариясининг бир қатор асосий теоремалари исбот қилингани ҳамда m-
субгармоник функциялар синфида потенциаллар назариясини тўлиқ
қурилиши акс этганлиги билан изоҳланади.

Диссертация ишининг илмий-амалий аҳамияти конденсатор сиғими

тушунчасини киритилганлиги ва уни m-субгармоник функцияларнинг

9

квазиузлуксизлигини исбот қилишга татбиқ этилгани, потенциаллар
назариясини гессианлардаги тенгламалар учун Дирихле масалаларини
ечишга, m-субгармоник Грин функцияларини Неванлиннанинг асосий
характеристик функцияларини баҳолашга татбиқ этилганлиги билан
асосланади.

Тадқиқот натижаларининг жорий қилиниши.

Диссертация тадқиқоти

жараёнида олинган илмий натижалар қуйидаги йўналишларда амалиётга
жорий қилинган:

ночизиқли Гессиан тенгламалари учун Дирихле масаласи бўйича

олинган

натижалар

Фольксваген

(Германия)

фондининг

халқаро

«Месоскопик физика масалаларидан келиб чиқадиган метрик графлардаги
чизиқсиз эвалюцион тенгламалар ва транспортировка» лойиҳасида чегараси
узлуксиз ўзгарадиган графларда ночизиқли тенгламалар учун Дирихле
ечимини ўзгаришини аниқлашда қўлланилган (Олденбург университетининг
2016 йил 29 январдаги маълумотномаси). Соҳанинг Шилов чегарасида
берилган Дирихле масаласи ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги чегараси
чексиз

нозиклашадиган

графларда

ечимнинг

доимо

узлуксиз

бўлаолмаслигини

исботлашга хизмат қилган;

бутун эвклид фазасида m-субгармоник функциялар синфи АҚШ илмий

фондининг DMS-1401316 гранти лойиҳасида

тўпламларнинг гиперқавариқ

қобиқларини характерлашда фойдаланиган. (Калифорния университетининг
2016 йил 11 январдаги маълумотномаси). Фазонинг барча нуқталарида m-sh
функциялар синфи берилган тўпламнинг қавариқ қобиғини содда ва аниқ
кўринишда ифодалайди. m-sh функцияларнинг бу хоссаси фазога тегишли
бўлган тўпламларнинг гиперқавариқ қобиқларини ўрганишга хизмат қилган;

эллиптик операторлар субечимлари бўйича олинган натижалар

ОТ-Ф1-116 «Функциялар назариясининг аналитик давом қилдириш ва
геометрик масалалари» грант лойиҳасида (ЎзМУ, 2007–2011 йй.) аналитик,
плюригармоник ва гармоник функцияларнинг махсус нуқталарини четлатиш,
нозик ва нозик бўлмаган махсус нуқталар тўпламларини мавжудлигини
исботлашда қўлланилган (Фан ва технологияларни ривожлантиришни
мувофиқлаштириш қўмитасининг 2016 йил 1 февралдаги ФТК-02-13/60-сон
маълумотномаси). Илмий натижаларнинг қўлланилиши голомоф ва
плюригармоник функциялар учун нозик махсус нуқталар тўпламининг
аналитик структурага эгалиги, уларнинг плюриполяр ёки аналитик тўплам
бўлишини, голоморф функцияларнинг нозик бўлмаган махсус нуқталари
тўпламлари бўйича уларнинг кесим сиғими учун аниқ баҳоланишини
исботлашга хизмат қилган.

Тадқиқот натижаларининг апробацияси.

Диссертациянинг асосий

мазмуни қуйидаги халқаро ва Республика илмий анжуманларида муҳокама
қилинган: Невада университети томонидан ўтказилган «Америка
математиклар жамиятининг халқаро анжуманида» (Лас-Вегас, АҚШ,
2011 йил), «Анализ бўйича мактаб-семинар» (Калифорния, АҚШ, 2011 йил),
«Анализ бўйича мактаб-семинар» (Калифорния, АҚШ, 2013 йил),
«Ўзбекистон-АҚШ математикларининг халқаро анжумани» (Фуллертон,

10

АҚШ, 2014 йил), «Аналитические функции многих комплексных
переменных» мавзусидаги халқаро анжуманда (Красноярск, 2009 йил),
«Функциональный анализ и его приложения» (Остона, 2012 йил), «Комплекс
ва функционал анализнинг долзарб муаммолари» (Нукус, 2012 йил),
«Оператор алгебралар ва уларнинг ҳар хил муаммолари» (Тошкент, 2012
йил), «Татбиқий математика ва информатиканинг долзарб муаммолари, Ал-
Хоразмий



2012» (Тошкент, 2012 йил), «Комплекс анализнинг долзарб

муаммолари» (Тошкент, 2013 йил), «Дифференциал тенгламалар ва уларнинг
татбиқлари муаммолари» (Тошкент, 2013 йил), «Математик анализнинг
долзарб муаммолари» (Урганч, 2012 йил).

Мазкур диссертация иши натижалари мунтазам равишда Урганч Давлат

университетининг «Комплекс потенциаллар назарияси» илмий семинарида
ва Ўзбекистон Миллий университетининг «Математик анализ» кафедраси
илмий семинарида муҳокама қилиб борилган.

Тадқиқот натижаларининг эълон қилиниши.

Диссертация мавзуси

бўйича жами 25 та илмий иш нашр эттирилган, жумладан, миллий
журналларда 8

та, халқаро журналларда 6 та мақола, илмий анжуманларда 11

та тезис нашр этилган.

Диссертациянинг ҳажми ва тузилиши.

Диссертация кириш қисми, 5 та

боб, хулоса, фойдаланилган адабиётлар рўйхати, 165 саҳифалик матндан
иборат.

ДИССЕРТАЦИЯНИНГ АСОСИЙ МАЗМУНИ

Кириш

қисмида ўтказилган тадқиқотларнинг долзарблиги ва зарурати

асосланган, тадқиқотнинг мақсади ва вазифалари ҳамда объект ва
предметлари тавсифланган, Ўзбекистон Республикаси фан ва технологияси
тараққиётининг устувор йўналишларига мослиги кўрсатилган, тадқиқотнинг
илмий янгилиги ва амалий натижалари баён қилинган, олинган
натижаларнинг назарий ва амалий аҳамияти очиб берилган, тадқиқот
натижаларини амалиётга жорий қилиш, нашр этилган ишлар ва диссертация
тузилиши бўйича маълумотлар келтирилган.

Диссертациянинг биринчи боби «

Потенциаллар назариясининг асосий

принциплари

»да классик ва комплекс потенциаллар назариясининг

методлари ва бош принциплари қисқача баён этилган.

Диссертациянинг иккинчи боби

«

m – sh

функциялар ва уларнинг

хоссалари»

деб номланиб, унда

m –

субгармоник функциялар таърифи ва

кейинчалик

m –

потенциаллар назариясини қуришда зарур бўладиган бир

қатор тасдиқлар келтириб ўтилган.
Иккита субгармоник ёки плюрисубгармоник функциянинг максимуми
яна субгармоник ёки плюрисубгармоник функция бўлади. Ушбу факт бундай
функциялар учун интеграл тенгсизликлар ёрдамида жуда осон исбот этилади.
Бироқ бундай интеграл тенгсизликлар мавжуд бўлмагани сабабли юқоридаги
тасдиқнинг m-субгармоник функциялар учун аналоги тривиал бўлмайди.
Шундай бўлсада қуйидаги тасдиқлар ўринли бўлади:

11

Теорема 1.

Чекли сондаги m sh



функциялар максимуми m

sh



функция бўлади

;

исталган локал текис чегараланган

 

u

m

sh



 

функциялар оиласи учун

 

 





sup

u z

u

z







супремумнинг

 

*

u

z юқори

регуляризацияси ҳам m sh



функция бўлади ва

 

 





*

u z

u

z



тўплам

2

n

n



да поляр бўлади.

Қуйидаги теорема фақат

m

sh



функциялар синфига хос хусусиятни

ифодалайди.
Теорема 2.

Агар u

m

sh

 

бўлса, у ҳолда исталган

n

 

комплекс

гипертекислик учун

|

u



қисқартма

(

1)

m

sh

 

функция бўлади.

Ушбу

натижа интеграл баҳолашларда,

 

 

m

sh D

m

wsh D



 

муносабатни исботлашда

ва бошқа бир қатор ҳолатларда

амалий татбиқларга

эга.
Потенциаллар

назариясини

қуришда

асосий

қийинчилик

плюрипотенциал назариядаги каби





m

c

n m

dd u







операторни

m

sh



функциялар оиласида аниқлаш ва

j

u

u



стандарт аппроксимация учун





m

c

n m

j

dd u







кетма-кетликни яқинлашишини исботлашдан иборат. Бу

йўналишда биринча қадам З.Блоцкий томонидан қўйилди ва у









m

m

c

n m

c

n m

j

dd u

dd u













(1)

яқинлашишни узлуксиз

 

 

u

m

sh D

C D

 

функциялар учун исбот қилди.

Бироқ бундай яқинлашиш исталган

 

u z

функция учун мавжуд эмаслиги ва





m

c

n m

dd u







операторнинг ўзини аниқлаш усули йўқлиги

m

s h



функциялар синфида потенциаллар назариясини қуришда асосий тўсиқ
бўлиб келди.
Биз бу тўсиқни А.Садуллаев томонидан плюрипотенциал назарияни
қуришда таклиф этилган қуйидаги схемасидан фойдаланиб бартараф этамиз:

1) Аввало





k

c

n m

dd u







оператор

 

 

m

sh D

C D



синфда

аниқлаймиз ва (1) муносабатни исботлаймиз;
2) Фақатгина

 

 

m

sh D

C D



синфдан фойдаланиб,

m



сиғим





,

m

C

E D

ни аниқлаймиз;

3)

m

sh



функцияларнинг потенциал-сиғим хоссаларини исботлаймиз

(квазиузлуксизлик,

таққослаш

принциплари,

ихтиёрий

m

sh



функцияларнинг максималлиги масалалари ва бошқалар);
4)

 

 

,

j

loc

u

u u

L

D

m

sh D









аппроксимация

учун

мусбат

оқимларнинг яқинлашиши









m

m

c

n m

c

n m

j

dd u

dd u













муаммосини

ҳал қиламиз.

12

m

sh



функцияларнинг 3) ва 4) хоссалари потенциаллар

назариясининг фундаментал қисмини ташкил этади. Улар бизга
потенциаллар назариясининг асосий объектлари бўлган

m



поляр тўпламлар,

m

P

- ўлчов, максимал

m

sh



функциялар ва бошқа тушунчаларни тадқиқ

этиш имконини беради.

m

P

- ўлчов тушунчаси плюрипотенциал назариясидаги

P

-ўлчов

тушунчаси каби киритилади:

E

D



– кучли

m



қавариқ

n

D



соҳанинг

бирор қисм тўплами бўлсин, 1

m

n

 

.

Ушбу функциялар синфини қараймиз:

( , ) { ( )

( ) :

0,

1}

D

E

E D

u z

m

sh D u

u



 



 

U

ва ( , , ) sup{ ( ) :

( , )}

z E D

u z

u

E D







U

деб оламиз.

Таъриф 1. У ҳолда

* ( , , )

z E D



регуляризацияга

Е

тўпламнинг

D

соҳага нисбатан

m

P

–ўлчови ( m



субгармоник ўлчови)

дейилади

.

m

P

– ўлчов

P

-ўлчовнинг кўпгина хоссаларини қаноатлантиради.

Ҳусусан, қуйидаги тасдиқ ўринли бўлади.

Теорема 3.

Агар K

D



компакт m



регуляр бўлса, у ҳолда

m

P

–

ўлчов

* ( , , )

( , , )

z K D

z K D







тенгликни қаноатлантиради ва D да узлуксиз

функция бўлади. Бундан ташқари,

\

D K

соҳада





0

m

c

n m

dd u









тенглик

ўринли бўлади.

Диссертациянинг учинчи боби

«Конденсатор сиғими»

да потенциаллар

назариясининг асосий тушунчаси ҳисобланган конденсатор сиғими
тушунчасини ўрганишга бағишланган ва бу бобда потенциаллар
назариясининг бир қатор фундаментал теоремалари исботланган.

Таъриф 2.

K



n

D



соҳадаги компакт бўлсин. У ҳолда, ушбу





 

 

 

( )

( , )

inf

:

,

|

1, lim

0

m

m

m

c

n m

K

z

D

D

C

K

C

K D

dd u

u

m

sh D

C D

u

u z



















 

 













катталикка





,

K D

конденсаторнинг сиғими (

m



сиғими) дейилади.

Конденсатор сиғими

 

 

m

C E

C

E



қуйидаги стандарт хоссаларга эга:

– сиғим монотон, яъни

 

 

,

C Е

C K

E

K



 

;

– исталган

K

D



компакт учун унинг сиғими қуйидагича:

 

 





inf

:

,

регуляр

C K

C E

E

K E m







;

Одатдагидек,

ташқи

сиғимни

қуйидагича

аниқлаймиз:

 

 





*

inf

:

очик

C

E

C U U

E



 

, бунда очиқ тўплам сиғими қуйидагича

аниқланади:

 

 





 





sup

:

sup

:

,

регуляр

C U

C K

K

U

C K

K

U K m











.

– ташқи сиғим

*

( )

С E

монотон, яъни агарда

1

2

E

E



бўлса, у ҳолда

*

*

1

2

(

)

(

)

C E

C E



бўлади;

Ташқи

сиғим

саноқли-субаддитив,

яъни

13

*

*

(

)

j

j

j

j

С

E

С E

















ва чапдан ярим узлуксиз, яъни исталган ўсувчи очиқ

тўпламлар кетма-кетлиги

1

j

j

U

U





учун

lim (

)

j

j

j

j

C

U

C U





 









тенглик

бажарилади.
– исталган

K

D



компакт учун унинг ташқи сиғими

 

 

*

C

K

C K



бўлади.
Қуйидаги формуланинг ўнг томонидаги интеграл остида чексиз силлиқ
дифференциал форма турганлиги учун у амалиётда жуда муҳим ҳисобланади.

Теорема 4.

Агар U

D



очиқ тўплам бўлса, у ҳолда





( )

sup

:

( )

( ), 1

0

m

c

n m

U

C U

dd u

u

m

sh D

C

D

u















 

  











тенглик ўринли

.

Қуйидаги теоремалар Лелоннинг биринчи муаммосини исботлашда

ҳал қилувчи ҳисобланади ва ўз ҳолича ҳам мустақил натижалардир.
Теорема 5.

Агар E

D

G

 

бўлса, у ҳолда

*

*

( , )

( , )

C E D

C E G



.

Теорема 6.

Агар

(0, )

,

1

E

B

r

B r







, бунда





(0, )

B

r

z

r







r

радиусли шар ва

(0,1)

B

B



бўлса, у ҳолда

*

!

( , )

( , )

(1

)

m

m

E B

C E B

r





m

P

тенглик ўринли ва аксинча исталган тайин

1

r



учун фақат r га боғлиқ

шундай ўзгармас

( )

0

M r



сон топилиб,

 

( , )

( )

* ( , ),

0,

E B

M r C

E B

E

B

r





 

m

P

муносабат бажарилади.
Бу ерда





( , )

*

, ,

B

E B

z E B dV



 



m

P

катталик



m

P

сиғим деб аталади.

Юқоридаги теоремадан бевосита қуйидаги муҳим натижа келиб

чиқади:

Натижа.

Ихтиёрий

0

( , )

E

B z r



тўплам сиғими учун

 





*

0

,

,

0

C

E B z r



тенглик фақат ва фақат

 





0

,

,

0

E B z r



m

P

тенглик

бажарилгандагина ўринли бўлиб, бу E тўплам

 

0

,

B z r

да m



поляр

бўлишига эквивалентдир.

Поляр ва плюриполяр тўпламларга ўхшаш тарзда, агар шундай

( ),

u

m

sh D u

функция топилиб,

E

u

 

муносабат бажарилса,

n

E

D

тўплам

m

поляр дейилади. Амалиётда қуйидаги локал

m

полярлик тушунчасидан фойдаланиш қулай.

14

Таъриф 3. Агар ҳар бир

0

z

E



нуқтасида

0

( , )

B z r

шар топилиб,

0

( , )

E

B z r

тўплам

0

( , )

B z r

шарга нисбатан

m



поляр бўлса,

n

E



тўплам

локал m



поляр

тўплам дейилади,.

Классик ҳолатда

n

да локал поляр тўплам

n

да ҳам поляр бўлади.

Йозефсон

n

да локал поляр тўпламларнинг алгебраик тўпламлар билан

аппроксимация қилинишидан фойдаланиб, локал плюриполяр тўпламларнинг
глобал плюриполяр бўлишини кўрсатди.

Юқорида киритилган конденсатор сиғими тушунчаси ушбу тасдиқни

исталган

m



поляр тўплам (1

m

n

 

) учун осонгина исботлаш имконини

беради.

Теорема 7.

n

да локал m



поляр тўплам m



поляр бўлади, яъни агар

n

E



тўплам локал m



поляр бўлса, у ҳолда шундай

( )

(

)

n

u z

m

sh

 

функция топилиб, u

 



|

E

u

 

бўлади.

Диссертацияда исбот қилинган қуйидаги асосий натижа

m

sh



функцияларнинг сиғим бўйича квазиузлуксизлик хоссасини ифода этади.
Барчага яхши маълум Н.Н.Лузиннинг С-хоссаси, ҳар қандай ўлчовли
функциянинг Лебег ўлчовига нисбатан деярли узлуксиз бўлишини
таъкидлайди. Ушбу натижанинг субгармоник ёки плюрисубгармоник
функциялар учун сиғим бўйича аналоги ҳам маълум бўлиб,

n

D



соҳадаги

m

sh



функциялар учун

m



сиғимга нисбатан деярли узлуксизлиги

бажарилади.

Теорема 8.

m



субгармоник функция m



сиғим бўйича деярли узлуксиз

бўлади, яъни агар

 

u

m

sh D

 

бўлса, у холда ихтиёрий

0





сон учун

шундай U

D



очиқ тўплам топилиб,

 

C U





ва u функция

\

D U да

узлуксиз бўлади.

Ушбу теореманинг исботи

m

sh



функцияларнинг интеграл баҳолари,

конденсатор сиғимининг хоссаларига ва 4-теоремага асосланади.

Картан теоремасининг аналогидан фойдаланиб, потенциаллар

назариясининг қуйидаги фундаментал теоремасини исботлай оламиз:

Теорема 9. 1

m

n

 

ва

 

 

0

1

, ,...,

m

loc

u u

u

m

sh D

L

D



 

бўлсин. У

ҳолда,

1) қуйидаги рекуррент муносабат

 

1

1

1

...

...

,

c

c

n m

c

c

n m

c

k

k

k

dd u

dd u

u dd u

dd u

dd



















 





 











 

,

m k m k

F

D









,

1,...,

k

m



,

мусбат





,

n

m

k n

m

k

 

 

бидаражали оқимни аниқлайди;

2)

исталган

,

0,1,..., ,

ij

i

u

u

i

m j





 

C



аппроксимация

учун

оқимларнинг қуйидагича яқинлашиши ўринли

1

1

...

...

c

c

n m

c

c

n m

j

k j

k

dd u

dd u

dd u

dd u









 



 



, (

1,...,

k

m



);

8 ва 9-теоремалардан фойдаланиб





*

, ,

z E D



m

P

-ўлчовнинг ва

E

D



тўплам учун

 

C E







,

C E D

сиғимнинг бир қатор хоссаларани қиламиз.

15

Теорема 10.

Ихтиёрий K

D



компакт учун унинг





*

, ,

z K D



m

P

-

ўлчови

\

D K соҳада





*

0

m

c

n m

dd











тенгликни қаноатлантиради.

Шуни эслатиб ўтиш жоизки, иккинчи бобда (теорема 2.11) шунга

ўхшаш тасдиқ

m



регуляр бўлган

K

D



компактлар учун исбот қилинган.

Теорема 11.

K компактнинг иррегуляр бўлган нуқталари тўплами

K

I

нинг сиғими:

 

0

K

C I



бўлади, яъни

K

I

m



поляр тўплам бўлади.

Юқоридаги Теорема билан

m

sh



функциялар учун Лелоннинг

иккинчи муаммосини ижобий хал этилишини акс эттирувчи қуйидаги
теорема боғланган.

Теорема 12.

Фараз қилайлик

{ }

j

u m

sh



функцияларнинг ўсувчи кетма-

кетлиги бўлиб,

 

 

lim

j

j

u z

u

z







юқоридан локал чегараланган бўлсин. У

холда

 

 





*

u z

u

z







тўплам D да m



поляр бўлади. Бунда

*

u

u

функциянинг юқори регуляризацияси.

Натижа.

Ихтиёрий K

D



компакт учун унинг

 

C K сиғими

 

(

( , , ))

c

m

n m

K

C K

dd

z K D













интеграл билан устма-уст тушади.

Диссертацияда

Борел тўпламларининг

 

C E

сиғим бўйича

ўлчовлилиги исбот қилинган.

Теорема 13.

Ихтиёрий E



аналитик тўплам, ҳусусан ихтиёрий

Борел тўплами

 

C E сиғим бўйича ўлчовли, яъни

 

 

C E

C

E







, бунда

 

 





 

 





*

sup

:

компакт ,

inf

:

очик





 



 

C E

C K

K

E

C

E

C U

U

E

ички ва ташқи сиғимлар.

Диссертациянинг тўртинчи боби

«

n

даги комплекс текисликларда

субгармоник функциялар»

да қуйидаги тенгсизлик





2

0

n m

c

c

dd u

dd z







. (2)

билан аниқланувчи кучсиз субгармоник функциялар (

m

wsh



) ўрганилган.

Бу синф

psh

функциялар синфидан кенг, лекин

sh

функциялар синфида

қатъий ётади. Бундан ташқари, 1

wsh



функциялар синфи

sh

функциялар

синфи билан,

n

wsh



функциялар синфи эса

psh

функциялар синфи билан

устма-уст тушади. Бироқ

m

sh

функциялар айни ҳолатда

m

wsh



функциялар синфига қатъий тегишли бўлади,

.

m

sh

m

wsh



 

Бу ҳолат

бизга

m

wsh



функцияларнинг потенциал-сиғим хоссаларини ўрганишда





m

c

n m

dd u







оператор ва

m

sh



функцияларда потенциаллар назарияси

методларидан фойдаланиш имконини бермайди. Бундан ташқари (2) шартни

16

қаноатлантирувчи икки марта силлиқ функциялар мавжуд бўлиб, улар учун





m

c

n m

dd u







оператор мусбат бўлмаслиги аниқланган.

Шунинг учун диссертацияда

m

wsh



функцияларни ўрганишда

m

sh



функцияларни ўрганиш усулидан тубдан фарқ қилувчи бошқа усуллардан
фойдаланилган.

m

wsh



функциялар ажойиб геометрик талқинга эга бўлиб, исталган





1

n

m

 

ўлчамли комплекс текислик

n

 

да субгармоник функция

бўлиши билан характерланади. Шунинг учун

m

wsh



функциялар кўп

ўлчамли комплекс анализ ва геометрияга тадбиқ этиш учун қулай ва осон
талқин этилади. Аммо бу синфда плюрисубгармоник функциялар учун
Монж-Ампер типидаги ва

m

sh



функциялар учун гессиан типидаги

операторга ўхшаш мос келувчи оператор ҳали аниқланмаган. Айни шу
тафовутлар сабаб,

m

wsh



функциялар синфида тўлиқ потенциаллар

назариясининг қурилиши ҳали якунига етмаган. Шундай бўлсада, бу бобда
биз ушбу синфнинг бир қатор потенциал хоссаларини исбот қиламиз.

m

wsh



функцияларнинг бошқа геометрик хоссалари билан Р.Харви ва

Б.Лаусон, Д.Жойс и М.Вербитский ишларидан танишиш мумкин.

Таъриф 4. Агарда

n

D



соҳада аниқланган

 

1

( )

loc

u z

L

D



функция:

1)

D

соҳада юқоридан ярим узлуксиз, яъни

0

0

0

0

(

, )

lim ( )

lim sup

( )

(

)

z

z

B z

u z

u z

u z













;

2)

D

соҳада

2

(

)

0

c

c

n m

dd u

dd z







, 1

m

n

 

, яъни







1,

1

m

m

F









учун





 





2

2

0

n m

n m

c

c

c

c

dd u

dd z

u dd z

dd



















,

бўлса, бу функцияга

D

соҳада

m

wsh



функция

(





1

n

m

  

ўлчамли

комплекс текисликларда субгармоник функция) дейилади.

Бундай функциялар синфини

( )

m

wsh D



орқали белгилаймиз. Бу ерда

“

w

” харфи бу синфни

m

sh



функциялар синфидан фарқлаш учун

ишлатилган.

Қуйидаги

теорема бизга

m

wsh



функцияларни геометрик

характеристикасини тушинишга имкон беради.

Теорема 14.

n

D



соҳада аниқланган ва юқоридан яримузлуксиз u

функция m wsh



бўлиши учун, ихтиёрий





1

n

m

 

-ўлчамли

n

 

комплекс текисликда





u

sh

D







бўлиши зарур ва етарли.

Ушбу теореманинг исботида оқимлар хоссалари ва субгармоник

функцияларнинг интеграл тенгсизликларидан фойдаланилади.

Натижа.

n

D



соҳада аниқланган m

sh



функция m

wsh



функция

ҳам бўлади,

 

 

.

m

sh D

m

wsh D



 

17

Диссертация давомида

n

D



соҳа учун унинг

E

D



қисм

тўпламлари

mw

P

-

ўлчови

ва

mw

P

-сиғими

тушунчалари киритилади:

 









( , , )

sup

( ) :

,

|

0,

|

1 ,

* ( , , )

lim

, ,

D

E

w

z

w E D

u w

u

m

wsh D

u

u

z E D

w E D











 



 



ва

mw

( , )

* ( , , )

D

E D

z E D dV



 



P

.

У ҳолда

mw

( , )

0

E D



P

бўлиб,

mw

( , )

0

E D



P

тенглик фақат ва фақат

E

тўплам

D

соҳада

mw

-поляр тўплам бўлгандагина ўринли бўлади. Бундан

ташқари қуйида тасдиқ ўринли:

Теорема 15.

mw

( , )

E D

P

катталик тўплам функцияси сифатида

монотон

ва

саноқли-субаддитив

бўлади:

агар

1

2

E

E



бўлса





mw

1

mw

2

(

, )

,

E D

E D



P

P

ва ихтиёрий

,

1,2, 3,...

j

E

D j

тўпламлар учун





mw

mw

1

1

,

,

j

j

j

j

E D

E D

























P

P

тенгсизлик ўринли бўлади.

Булардан ташқари ихтиёрий E

D



тўплам ва ихтиёрий

0





сон учун

шундай очиқ U

E



тўплам топилиб,









mw

mw

,

,

U D

E D







P

P

ўринли

бўлади.

Натижа 1. Ихтиёрий камаювчи

1

2

...

K

K





компактлар кетма-кетлиги

учун қуйидаги ўнгдан узлуксизлик хоссаси бажарилади





mw

mw

1

,

lim

,

j

j

j

j

K

D

K

D





















P

P

;

ва агар

1

2

...

G

G





очиқ тўпламла кетма-кетлиги бўлса, у ҳолда қуйидаги

чапдан узлуксизлик хоссаси бажарилади





mw

mw

1

,

lim

,

j

j

j

j

G D

G D





















P

P

.

Натижа

2.

mw

( , )

E D

P

тўплам функцияси Шокенинг ўлчовлилик

хоссаларини барчасини қаноатлантиради ва натижада ихтиёрий Борел
тўплами

mw

P

сиғим бўйича ўлчовли бўлади. Шундай қилиб, агар

E

D



Борел тўплами бўлса, у ҳолда унинг ташқи ва ички сиғимлари устма-уст
тушади:









mw

,

,

mw

E D

E D







P

P

, бунда









mw

,

,

mw

E D

E D





P

P

ва













mw

mw

,

sup

,

:

компакт .

E D

K D

K

E





 

P

P

Тўртинчи бобнинг учинчи параграфи максимал

m

wsh



функцияларга

ва

m

wsh



функциялар синфида Дирихле масаласини ўрганишга

бағишланади.

18

Таъриф 5.

Агар

 

 

u z

m

wsh D

 

функция учун

n

D



соҳада

m

wsh

функциялар синфида максимум принципи бажарилса, яъни агар

( ) : lim ( ( )

( ))

0

z

D

v

m

wsh D

u z

v z

муносабат бажарилишидан

z

D

учун

( )

( )

u z

v z

тенгсизлик келиб чиқса, у ҳолда

 

u z

функция

D

соҳада

максимал функция

дейилади.

Максимал функцияларни ўрганиш учун

mw



субгармоник функциялар

синфида Дирихле масаласини қараймиз. Плюрисубгармоник функциялар
синфида Дирихле масаласига ўхшаш тарзда

mw



субгармоник функциялар

синфида Дирихле масаласи қуйидагича аниқланади: фараз қилайлик

n

D





чегараланган соҳа ва

 

 

C

D

 







тайинланган функция бўлсин.

Шундай узлуксиз

 

u z

максимал

m

wsh



функцияни аниқлаш керакки,

|

D

u







. Одатдагидек, ечим Перрон усулида изланади:

 

 





( , )

: lim

z

D

D

u

m

wsh D

u z







  



U

, (3)

 

 





sup

:

( , )

z

u z

u

D









U

.

Классик

1

m



ҳолда, агар

D



кучли 1



қавариқ (регуляр), масалан,

силлиқ

D



чегарага эга бўлса, у ҳолда



функция Дирихле масаласининг

ечими бўлиши исботланган, яъни у

D

соҳада гармоник, чегарагача узлуксиз

ва |

D









. Бироқ

psh

функция синфидагидек,

1

m



бўлганда, масала анча

мураккаб ва ечимнинг мавжудлиги учун

D

соҳанинг қавариқлигига ва

чегаравий



функцияга қўшимча шартлар қўйишга тўғри келади.

Теорема 16.

Агар

n

D





қатъий mw-қавариқ соҳа бўлса, у ҳолда бу

соҳада Дирихле масаласи исталган чегаравий

 

C

D







функция учун

ечимга эга бўлади. Аниқроғи,

 

 





sup

:

( , )

z

u z

u

D









U

функция

максимал, узлуксиз

 

 

m

wsh D

C D



 

бўлиб,

 

 

lim

,

z

z

D





  







тенглик бажарилади.

psh

функциялар





m

n



учун

 

 

l i m

z

z

D





  





 

муносабат

Бремерман томонидан, узлуксизлиги,

 

C D







Уолш томонидан

исботланган.
Диссертациянинг бешинчи боби



«Қўлланиши»

да

m

sh



функциялар

ва потенциаллар назариясини кўп ўлчамли комплекс анализ ва гармоник

анализ масалаларига, Неванлинна назариясига,









2

0

n m

m

c

c

dd u

dd z







тенглама учун Дирихле масалаларини ўрганишга, потенциалларни махсус
нуқталарини бартараф этиш масалалари татбиқларига бағишланади. Бешинчи
бобнинг тўртинчи параграфи бутун

n

фазода аниқланган

m

sh



функцияларга бағишланган бўлиб, бу ерда биз

n

K



компакт учун Грин

функцияси





,

m

V

z K

тушунчасини киритамиз, асосий хоссаларини

19

исботлаймиз ва





,

m

V

z K

функция билан

K

компактнинг

m



қавариқ

қопламалари орасидаги боғланишини ўрнатамиз. Бешинчи бобнинг бешинчи

параграфи









2

n m

m

c

c

dd u

dd z





операторнинг

ихтиёрий

(нафақат

чегараланган)

m

sh



функциялар учун аниқлаш масаласи қаралган. Бешинчи

бобнинг олтинчи параграфида биз гармоник ва

m

wsh



функциялар

кесишмасини ўрганамиз.

Маълумки, кўп ўлчамли Неванлинна назариясининг асосий объекти

 

0

1

[ , ,...,

]:

,

,

0

n

q

n

q

j

f

f

f

f

f

f









O

голоморф акслантиришлар учун

q

A



, dim

,

A

q

k

 

 

1

min

,

k

q n

 

, комплекс текисликларнинг

 

1

f

A



прообразлар тақсимотини ўрганишдан иборат бўлиб, бу ерда

q



проектив

фазо.

Қуйидаги тартиб функцияси Неванлинна назариясининг асосий

характеристик функцияси ҳисобланади

 

 

 

0

,

t

r

k

k

n k

f

B

dt

T

r

f

t











 

бунда





t

B

z

t



 

n

фазодаги шар,

2

ln

,

c

dd

w





0

1

[

,

,...,

]

q

q

w

w w

w





,

ва





1

2

2

2

2

0

1

...

.

q

w

w

w

w





 

Бу

ерда

интеграл

остида

 

 





2

ln

k

k

n k

c

n k

f

dd

f z

















гессианлардаги оператор турибди.

Бизнинг мақсадимиз ушбу операторни





k

c

n k

dd u







операторнинг

фундаментал ечими бўлган

( )

m

G z

функциядан фойдаланиб алмаштиришдан

иборат. Бешинчи бобнинг биринчи параграфида қуйидаги функциялар
киритилган

( )

0

2

1

0

( , )

( )

,

t

r

k

k

m k

n m

f

n

B

m

dt

T

r m

f

t























бу ерда

0

( ),

c

m

dd G z





1

k

m

n

  

.

Мазкур

параграфнинг

асосий

натижалари

қуйидаги

иккита

теоремаларда ўз аксини топган

Теорема 17.

0

1

[ , ,...,

]

q

f

f

f

f



,

:

n

q

f



голоморф акслантириш

берилган бўлсин. У ҳолда

( )

( )

2(

) 1

0

( , )

( )

( )

,

t

r

k

k

k

n k

f

f

n k

B

dt

T

r n

T

r

f

t







 















( )

2 1

/

1

0

( , )

( )

, 1

t

m k r

k

k

n k

f

n

k m

B

n

m

dt

T

r m

f

k

m

n

m

t























  













тенгликлар ўринли.

20

Теорема 18.

:

n

n

f



голоморф акслантириш бўлсин. У ҳолда ҳар

қандай

0,

1, 1

r

k

m

n







  

сонлар учун қуйидаги баҳолаш ўринли

бўлади:

2(

)(

1)

( )

( , )

ln

(

)

,

n m k

k

k

m

f

f

T

r m

N r

M

r

















Бу ерда

( , , , )

N

N k m n







ўзгармас сон,





2

( )

max

1 | ( ) | : | |

.

f

M

r

f z

z

r







Бешинчи бобнинг иккинчи параграфида қуйидаги Дирихле масаласи

қаралади:





 

 

 

0,

,

.

m

c

n m

D

dd u

u

u

m

sh D

C D



 











 

Иккинчи бобда таъкидлаб ўтилганларга асосан, Дирихле масаласининг

ечими максимал

m

sh



функция бўлишлиги келиб чиқади. Демак,

қаралаётган масала чегаравий қийматлари берилган максимал

m

sh



функцияни излашдан иборат бўлади. Бу муносабатга кўра масала бевосита
максимал

m

wsh



функцияларни ўрганишнинг давомидан иборат.

Дирихле масаласини умумий

1

m



бўлган ҳолда ечиш учун

D

соҳага

қўшимча табиий шартлар қўйилади. Бир қатор ишларда бу шартлар соҳа
чегараси

D



га ўтказилган уринма текисликлар билан боғлиқ. Ли, Блоцкий,

Динев ва Колодзей ишларида эса бу шартлар соҳа чегарасини аниқловчи
икки марта силлиқ



,

 





0

D

z



 



функция учун

c

dd



дифференциал

форманинг хос қийматларига қўйилади. Ушбу қаралаётган диссертацияда

D

соҳадан фақат

m

sh



функциялар билан боғлиқ равишда

m -регуляр

булиши

талаб этилади: исталган

D





чегаравий нуқтада

m

sh



функциялар

синфига тегишли баръер (чўққи) мавжуд.

Таъриф 6. Агар чегараланган

n

D



соҳанинг ихтиёрий

0

D





чегаравий

нуқтасидада

чўққи-функция

 

 

 

b z

m

sh D

C D

 

:

 

 

0

0

\

0 , |

0

D

b

b









мавжуд бўлса, у ҳолда

D

соҳа

m



регуляр

соҳа

дейилади.

Мазкур параграфнинг асосий натижаси қуйидагидан иборат.
Теорема 19

.

Агар

n

D





соҳа m -регуляр бўлса, у ҳолда бу соҳада

Дирихле масаласи ихтиёрий

 

 

C

D

 





чегаравий берилган функция учун

ягона ечимга эга:





0

m

c

n m

dd u









,

 

 

u

m

sh D

C D

 

,

 

D

u

 





.

Диссертациянинг бешинчи боби учинчи параграфида субгармоник

функцияларнинг четлатилиши мумкин бўлган махсусликларини ўрганилган.
Субгармоник функциялар эллиптик бўлган Лаплас операторининг

0

u

 

субечими эканидан биз коэффициентлари силлиқ бўлган исталган

2

m



тартибли

 





1

2

1

2

1

2

1

2

,

,

,

,...,

,

...

,

...

n

n

n

m

n

P D

a D

D

x

x

x



















 



 



















 

 





21

эллиптик дифференциал операторнинг субечимини қараб, масалани анча
умумийроқ ҳолатда ўрганамиз.

 

P

sh G



орқали

n

G



соҳада аниқланган юқоридан ярим узлуксиз

( )

P D

эллиптик дифференциал операторнинг умумлашган маънода субечими

( ) ( )

0

P D u x



синфини белгилаймиз ва

 

 

u x

P

sh G

 

функцияларни

P



субгармоник функциялар

деб атаймиз

.

Шуни таъкидлаб ўтамизки, агар

 

2

2

2

2

1

...

n

P D

x

x





  

 





бўлса, у ҳолда

 

P

sh G



синф субгармоник

функциялар

 

sh G

синфи билан устма-уст тушади.

Таъриф 7.

G

соҳанинг ёпиқ

E

қисм тўплами берилган бўлсин. Агар

исталган





( )

\

u x

P

sh G E

 

функция учун шундай

 

( )

u x

P

sh G

 

функция топилиб,

\

x

G E

 

учун ( )

( )

u x

u x



тенглик бажарилса,

E

тўплам





\

P

sh G E



синф учун

четлатиш мумкин бўлган махсус тўплам

дейилади.

Худди шу тарзда





 

,

\

k

p loc

P

sh G E

L

G



,





 

\

loc

P

sh G E

L

G





синфлар учун ҳам четлатиш мумкин бўлган махсус тўплам тушунчасини
киритиш мумкин. Шуни эслатиб ўтамизки, бу ерда

( )

k

p

L G



k

марта

дифференциалланувчи ва

k

тартибли

1

2

1

2

1

2

,

...

,

...

n

n

n

D

k

x

x

x



























 



 



хусусий ҳосилалар

( )

p

L G

фазога тегишли бўлган функциялар синфини

билдиради.

Гармоник ва субгармоник функцияларнинг махсусликлари кўпгина

муаллифлар томонидан ўрганилган. Уларга кўра,

E

G



ёпиқ тўплам

юқоридан чегараланган субгармоник функциялар учун четлатиш мумкин
бўлган махсус тўплам бўлиши учун унинг сиғими

 

0

C E



бўлиши зарур ва

етарлидир. Хаусдорф ўлчовлари орқали

Lip



синфидан олинган гармоник

функцияларнинг махсусликларини четлатиш мумкин бўлиш шартлари
Л.Карлесон (0

1

 



бўлган ҳолда) ва Е.П.Долженко (1

2



 

бўлган холат

учун) томонидан ўрганилган. А.Садуллаев ва Ж.Ярметов ишларида

Lip



(0

2)



 

синфдан

олинган

субгармоник

функцияларнинг

махсусликлари Хаусдорф ўлчовлари ёрдамида тадқиқ этилган.

( )

k

p

L G

синфдан олинган субгармоник функцияларнинг четлатиш мумкин бўлган
махсусликлари Б.Абдуллаев, С.Имомкулов ва Р.Харви ишларида ҳам
ўрганилган.

Диссертацияда биз

,

q s

C

-сиғим

терминида





 

,

\

k

p loc

P

sh G E

L

G



синфнинг четлатиш мукин бўлган махсусликлари хақида бир қатор
теореамларни исбот қилиб, Харви-Полкинг теоремасини умулаштиришга
муваффақ бўламиз

.

22

Теорема 20.

,

2

n

G

R

n





соҳанинг E компакт қисм тўплами

 

,

( )

( )

k

p loc

u x

P

sh G

L

G

 

функция учун четлатиш мумкин бўлган махсуслик

бўлиши учун

,

( )

0

q m k

C

E





тенглик ўринли бўлиши зарур ва етарли, бунда

( )

P D



эллиптик оператор тартиби

2,



m

0

,

m k

n

  

,

n

p

n

m

k

  

 

.

1





p

q

p

Агар

n

p

n

m

k



 

(

n

m k

 

бўлганда

p

 

) бўлса, у ҳолда

ҳаттоки бир нуқтали тўпламлар ҳам четлатиш мумкин бўлган махсуслик
бўлолмаслиги қуйидаги мисолда кўринади:

( , )

x y





( )

P D

эллитик

оперторнинг фундаментал ечими бўлса,

0

( ,

)



x y

функция учун

0

y

G

 

махсус нуқта.

Теорема 20 да силлиқлик даражаси

k

m



бўлишини талаб этади.

k

m



бўлган ҳолат учун қуйидагига эгамиз.

Теорема 21.

,

2

n

G

R

n





соҳанинг E компакт қисм тўплами

 

,

( )

( )

m

p loc

u x

P

sh G

L

G

 

функция учун четлатиш мумкин бўлган махсуслик

бўлиши учун унинг Лебег ўлчови

( )

0

n

m E



бўлиши зарур ва етарлидир.

Энди силлиқлик даражаси

k

m



бўлган холни қарайлик.

Теорема 22.

,

2

n

G

R

n





соҳанинг E компакт қисм тўплами

 

,

( )

( ),

,

k

p loc

u x

P

sh G

L

G

k

m

 



функция учун четлатиш мумкин бўлган

махсуслик бўлиши учун унинг G соҳанинг ҳеч қаерида зич бўлмаслиги зарур ва
етарлидир.

Диссертациянинг

бешинчи боби тўртинчи параграфи бутун

n

фазода

m



субгармоник бўлган функциялар ва Грин функциясини

m



қавариқ

геометрияга тадбиқига бағишланади.

 

n

m

sh



синфда Грин функцияси

экстремал функцияларга ўхшаш тарзда аниқланади





 





,

sup

(

) :

1, ( )

0,

.

n

n

m

E

V

z E

u z

m

sh

u

u z

z



 

 

  





,

m

V

z K

Грин функцияси геометрияда, ночизиқли дифференциал

тенгламалар назариясида ва

m



субгармоник функциялар назариясида муҳим

ўрин тутган

m



қавариқ қобиқларни ўрганишда муҳим аҳамият касб этади.

Таъриф 8.

n

K



компакт учун ушбу

 

 





ˆ

:

n

n

m

K

K

z

u z

u

u

msh

 



 

тўпламга

K

компактнинг

m



қавариқ қобиғи

дейилади.

K

компакт учун

ˆ

m

K

K



тенглик бажарилса, у ҳолда у

m



қавариқ компакт

дейилади.

ˆ

m

K

тўпламлар

n

фазода компакт тўплам бўлиши кўриниб турибди ва

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

...

n

n

K

K

K

K





 



муносабат бажарилади. Бундан ташқари ˆ

n

K

тўплам

23

K

нинг полиномиал қавариқ қобиғи билан устма-уст тушади.

1

ˆ

K



эса

\

n

K

очиқ тўпламнинг чеараланмаган боғламли компонентаси билан

устма-уст тушади. Ушбу параграфнинг асосий натижаси қуйидагидир.
Теорема 23.

Ихтиёрий

n

K



компакт учун унинг

ˆ

m

K қобиғи









,

1

m

V

z K

 

тўплам билан устма-уст тушади:









ˆ

,

1



 

m

m

K

V

z K

.

Бундан ташқари, Грин функцияси учун









*

*

ˆ

,

,

m

m

m

V

z K

V

z K



тенглик ўринли.

Бешинчи бобнинг бешинчи параграфида биз









2

n m

m

c

c

dd u

dd z





операторни ихтиёрий (нафақат чегараланган)

m

sh



функциялар синфида

аниқлаймиз. Иккинчи ва учинчи бобларда биз





m

c

n m

dd u







операторни

фақат чегараланган

m

sh



функциялар синфида аниқладик. Бу ерда биз





m

c

n m

dd u







операторни аниқлашни А.Садуллаев томонидан Монж-Ампер

операторини плюрисубгармоник функциялар синфида аниқланишига яқин
бўлган бир усулини таклиф этамиз.

 

 

u z

m

sh D

 

функция учун

ln(exp

),

0

a

u

u

a a







функцияни

аниқлаб оламиз. Бу функциянинг





m

m

c

n

a

dd u







гессиан оператори

қуйидаги кўринишда тасвирланади





1

2

1

1

1

(

)

(

)

m

c

n m

n m

n m

a

m

m

a

dd u

v

a

v

a



 





























,

Бу ерда

exp

u

ва

1

2

,

( , )

m m

бидаражали мусбат оқимлар. Ушбу





1

1

1

1

1

0

1

1

lim

(

)

m

c

n m

n m

n m

m

m

a

dd u

v

a



 

 



























лимит





m

c

n m

dd u







ни

{

}

S

u



 

махсус тўпламидан ташқарида ифода

этади ва агар





2

1

2

0

lim

(

)

m

c

n m

n m

m

a

a

dd u

v

a























суст лимит умумлашган

функция сифатида мавжуд бўлса, у ҳолда бу лимит





m

c

n m

dd u







ни

S

да

ифода этади,





supp

m

c

n m

dd u

S









.

Теорема 24.

Агар u



локал чегараланган функция бўлса, у ҳолда





2

0

m

c

n m

dd u









бўлиб,





1

m

c

n m

dd u







ифода





m

c

n m

dd u







билан устма-

уст тушади. Бундан ташқари, u функция фақат ва фақат





0

m

c

n m

dd u









тенглик бажарилгандагина максимал бўлади.

Бешинчи бобнинг олтинчи параграфида биз

m

wsh



функциялар

назариясини плюригармоник функцияларга баъзи татбиқларини кўрсатиб
ўтамиз.

24

Лелон теоремаси. А

гар

)

(

z

u

функция бир вақтда гармоник, яъни.

0





u

ва плюрисубгармоник, яъни

2

,

1

0

n

c

i

j

i j

i

j

u

dd u

dz

d z

z z











 



бўлса, у

ҳолда у плюригармоник бўлади, яъни

0

c

dd u



.

Мазкур параграфда Лелон теоремасининг

m

wsh



функциялар

синфидаги аналоги исботланган.

Теорема 25.

Агар

)

(

z

u

функция бир вақтда гармоник ва кучсиз



m субгармоник,

1

m

n

 

, бўлса, у ҳолда плюригармоник бўлади.

ХУЛОСА

1. Диссертацияда классик ва комплекс потенциаллар назариясини ўз

ичига олган гессиан операторига асосланган потенциаллар назариясининг
тўлиқ асослари келтирилган.

2. m-субгармоник функциялар супремуми m-субгармоник бўлиши ва

m-субгармоник

функцияларни комплекс гипертекисликлар устидаги

қисқартмаси (m-1)-субгармоник функция бўлиши исботланганлигини
таъкидлаш лозим.

3. m-субгармоник функциялар синфида конденсатор сиғими тушунчаси

киритилган ва унинг бир қатор муҳим хоссалари исбот қилинганлигини қайд
этиш мумкин.

4. m-субгармоник функцияларнинг квазузлуксизлиги ва уларнинг

солиштириш принципи исбот қилинганлигини таъкидлаш мумкин.

5. Стандарт аппроксимация учун оқимларнинг яқинлашиши ва m-

субгармоник функциялар синфида потенциаллар назариясининг бошқа
фундаментал теоремалари исботланган.

6. Кучсиз m-субгармоник функциялар синфи аниқланган ва бу

синфнинг қатор потенциал хоссалари исботланган.

7. m-субгармоник функцияларни Неванлинна назарияси, қавариқ

геометрия, плюригармоник функциялар назариясида тадбиқ этилиши
усуллари ишлаб чиқилган. Хусусан, Неванлинна назариясида –
характеристик функцияни баҳолашда, қавариқ геометрияда

m

–қавариқ

қобиқларни ифодалашда, плюрисубгармоник функциялар назариясида
функцияларнинг плюригармониклиги критерясини (Лелон теоремасини
аналоги) исботлашда қўлланилганлигини таъкидлаш мумкин.

Диссертация тадқиқотида асос солинган

m

sh



функциялар синфида

потенциаллар назарияси янги илмий йўналиш бўлиб, бу назария Неванлинна
назариясида, комплекс проектив фазоларда, ночизиқли эллиптик тенгламалар
назарияси ва бошқа соҳаларда муҳим татбиқларга эга.

25

НАУЧНЫЙ СОВЕТ 16.07.2013.FM.01.01 ПО ПРИСУЖДЕНИЮ

УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА НАУК

ПРИ НАЦИОНАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ УЗБЕКИСТАНА

УРГЕНЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АБДУЛЛАЕВ БАХРОМ ИСМОИЛОВИЧ

ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛОВ

НА

m

-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

01.01.01 – Математический анализ

(физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

Ташкент – 2016

26

Тема докторской диссертации зарегистрирована в Высшей аттестационной комиссии при
Кабинете Министров Республики Узбекистан за № 30.09.2014/B2014.5.FM119.

Докторская диссертация выполнена в Ургенчском государственном университете.
Автореферат диссертации на трех языках (узбекский, русский, английский) размещен на

веб-странице Научного совета (

http://ik-fizmat.nuu.uz/

) и информационно-образовательном портале

«ZIYONET» (

www.ziyonet.uz

)

Научный консультант:

Садуллаев Азимбай

доктор физико-математических наук, академик

Официальные оппоненты:

Кружилин Николай Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Ганиходжаев Расул Набиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Джалилов Ахтам Абдурахманович

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Сибирский федеральный университет

Защита диссертации состоится «24» марта 2016 года в 14-00 часов на заседании Научного

совета 16.07.2013.FM.01.01 при Национальном университете Узбекистана. (Адрес: 100174, г.
Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (+998-71) 227-12-24, факс: (+998-71)
246-53-21, e-mail:

nauka@nu.uz

)

С докторской диссертацией можно ознакомиться в Информационно-ресурсном центре

Национального университета Узбекистана (зарегистрирована за №___________). Адрес: 100174, г.
Ташкент, Алмазарский район, ул. Университетская, 4. Тел.: (+998-71) 246-02-24.

Автореферат диссертации разослан «18» февраля 2016 года.
(протокол рассылки №________ от «18» февраля 2016 года).

А.А.Азамов

Председатель Научного совета по присуждению

ученой степени доктора наук, д.ф.-м.н., профессор

А.Х.Худойбердиев

Ученый секретарь Научного совета по присуждению

ученой степени доктора наук, к.ф.-м.н.

Ю.Х.Эшкабилов

Председатель научного семинара при Научном

совете по присуждению ученой степени доктора

наук, д.ф.-м.н.

27

Введение (аннотация докторской диссертации)

Актуальность и востребованность темы диссертации.

Классическая

теория потенциала строится на основе оператора Лапласа и класса
субгармонических функций. Построенная в 80-х годах прошлого века теория
плюрипотенциала связана с нелинейным оператором Монжа-Ампера и
плюрисубгармоническими функциями. Теория плюрипотенциала достаточно
интенсивно развивается и имеет многочисленные приложения в геометрии
многообразий, в теории относительности Эйнштейна, в частности, в
доказательстве существования метрики Эйнштейна и в теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Естественно,
возникает потребность изучения своеобразных расширений класса
плюрисубгармонических функций и построение теории потенциала для таких
расширений является актуальным направлением комплексного анализа.

Для построения теории, охватыващей как классическую теорию

потенциала, так и теорию плюрипотенциала, ожидалось использование
оператора в гессианах, который обобщает как оператор Лапласа, так и
нелинейный оператор Монжа-Ампера. Однако, до недавних пор не был
известен класс функций, на который опирается ожидаемая теория
потенциала. При изучении задачи Дирихле для уравнения в гессианах был
введен класс m-субгармонических функций, который оказался подходящим
классом построения теории потенциала в классе m-субгармонических
функций, играет такую же роль в решении уравнении в гессианах, что и
класс плюрисубгармонических функций для уравнения Монжа-Ампера.
Поэтому, важное значения имеет дальнейшее глубокое исследование класса
m-субгармонических функций, а также класса слабо m-субгармонических
функций, в частности, установление потенциально-емкостных свойств этих
классов.

Актуальность научного направления диссертации характеризуется еще

тем, что в диссертации обосновывается теория потенциала, базирующаяся на
операторах в гессианах, разрабатывается метод решения задачи Дирихле в
классе m-субгармонических и слабо m-субгармонических функций,
доказывается m-субгармоничность супремума m-субгармонических функций
и (m-1)



субгармоничность сужения m-субгармонических функций на

гиперплоскости. Определение субгармонических на комплексных плоскостях
слабо m-субгармонических функций, доказательство ряд потенциально-
емкостных их свойств, квазинепрерывность m-субгармонических функций,
принцип сравнения, непрерывность оператора в гессианах для стандартных
аппроксимаций и доказательства других фундаментальных теорем являются
важными результатами диссертации.

Оценки основной характеристической функции теории Неванлинны,

простое описание m-выпуклой оболочки в геометрии Римана, применение
теории

m-субгармонических

функций

в

установлении

критерия

плюригармоничности (аналог теоремы Лелона) и в серии применений теорий
m-субгармонических и слабо m-субгармонических функций в многомерном

28

комплексном анализе указывают на актульность и востребованность темы
диссертации.

Связь исследования с приоритетными направлениями развития

науки и технологий республики.

Настоящая работа выполнена

в

соответствии с приоритетными направлениями развития науки и технологий
Республики Узбекистан № Ф4 «Математика, механика и информатика».

Обзор зарубежных научных исследований по теме диссертации.

Комплексное уравнение в гессианах, теория m-субгармонических и

слабо

m-субгармонических

функций, теория

плюрипотенциала и

геометрические вопросы многомерного комплексного анализа являются
предметом исследований многих зарубежных научных центров. В частности,
в университете Стони Брук, в Калифорнийском университете, в университете
Индиана (США); в Математическом институте Ягеллонского университета
(Польша); в университете Пауль Сабатье (Франция); в Готебургском
университете (Швеция); в университете Любляна (Словения); в университете
Пиза (Италия); в Московском государственном университете, в
Математическом институте РАН, Сибирском федеральном университете
(Россия) проводились интенсивные исследования в указанных направлениях
комплексного анализа.

В создании новой теории потенциала, включающей в себе классическую

теорию потенциала и плюрипотенциала, решены серии фундаментальных
проблем в мировом масштабе. В частности: найдено успешное применение p-
плюрисубгармонических функций к калибровочной геометрии (университет
Стони Брук, США), исследовано решение задачи Дирихле в классе m-
субгармонических функций (Математический институт Ягеллонского
университета), m-субгармонические функции в проективном пространсте
применены к Динамическим системам (университет Пауль Сабатье,
Франция и Готебургский университет, Швеция), 2-плюрисубгармонические
функции в трехмерном евклидовом пространстве нашли ряд приложений в
теории минимальных поверхностей, исследованы решения уравнения в
гессианах (университет Пиза, Италия).

На современном этапе проводится интенсивное изучение класса слабо

mw-субгармонических функций, который имеет наглядную геометрическую
характеристику и класса Т-плюрисубгармонических функций относительно
произвольного фиксированного потока T.

Степень изученности проблемы.

Теория плюрипотенциала, связанная

с нелинейным уравнением Монжа-Ампера и плюрисубгармоническими
функциями, была построена в 80-годах прошлого века. Она была создана
благодаря фундаментальным работам ученых США, Польши, Швеции,
Франции и Узбекистана (E.Bedford, B.A.Taylor, J.Sicak, H-J.Bremermann,
Ch.O.Kiselman, А.Зериахи, А.Садуллаев).

Польские математики (J.Sicak, S.Plesniak) в целях аппроксимации

голоморфных функций полиномами ввели экстремальную функцию Грина и
в ее терминах доказали многомерный аналог классической теории
Бернштейна-Уолша.

Далее,

математиками

Узбекистана

и

США

29

(А.Садуллаев, С.Имомкулов, E.Bedford, B.A.Taylor) были введены
плюрисубгармоническая мера и емкости конденсатора и был доказан ряд
основных теорем теории плюрипотенциала. Кроме того, были разработаны
методы применения этой теории в многомерном комплексном анализе.

Теория

m

-субгармонических функций и комплексных уравнений в

гессианах развивалась начиная с 2006 года, в основном, в работах польских и
французских математиков (S.Dinev, Z.Blocki, S.Kolodziej, H-C.Lu).

Однако, в классе произвольной

m

-субгармонической функции оператор

в гессианах не был определен. Для стандартной аппроксимации не была
установлена сходимость последовательности потоков. Это сильно
препятствовало

созданию

потенциальной

теории

в

классе

m

-

субгармонических функций. Кроме того, не был изучен класс слабо

m

-субгармонических функций, который тесно связан с голоморфными

функциями многих переменных.

Связь темы диссертации с научно-исследовательскими работами

высшего учебного заведения, в котором выполняется диссертация.

Исследование выполнено в соответсвии с планом под №3 научного
исследования

кафедры

математики

Ургенчского

государственного

университета по теме «Комплексная теория потенциала».

Целью исследования

является построение теории потенциала на m-

субгармонических функциях, доказательство потенциальных свойств слабо
m-субгармонических

функций и продемонстрирование приложений

построенной теории потенциала к задачам многомерного комплексного и
гармонического анализа.

Задачи исследования,

решаемые в данной работе, следующие:

доказательство m-субгармоничности супремума в классе m-субгар-

монических функций, (m-1)-субгармоничности сужения на комплексные
гиперплоскости;

введение понятия емкости конденсатора, доказательство квазинепре-

рывности, принципа сравнения для m-субгармонических функций;

доказательство сходимости потоков для стандартных аппроксимаций и

фундаментальных теорем теории потенциала в классе m-субгармонических
функций;

определение класса слабо m-субгармонических функций и доказатель-

ство потенциальных свойств этого класса;

разработка методов применения класса m-субгармонических функций в

теории Неванлинны, в выпуклой геометрии, в теории плюригармонических
функций.

Объект исследования.

Нелинейный оператор Монжа-Ампера, оператор

в гессианах, m-субгармонические и слабо m-субгармонические функции, m-
полярные множества, емкость конденсатора.

Предмет исследования.

Построение теории потенциала в классе m-

субгармонических и слабо m-субгармонических функций.

Методы исследования.

В диссертаци использовались методы теории

потенциала и теории функций многих комплексных переменных.

30

Научная новизна исследования.

Диссертационная работа является

новым научным направлением. В ней:

доказаны m-субгармоничность супремума в классе m-субгар-

монических функций и (m-1)-субгармоничность сужения m-субгар-
монической функции на комплексную гиперплоскость;

дано полное построение теории потенциала, основанное на операторе

гессиана, который включает в себя известную классическую и комплексную
теорию потенциалов;

введены и изучены важные потенциально-емкостные свойства

субгармонических на комплексных плоскостях слабо m-субгармонических
функций;

разработана методика решения задачи Дирихле в классах m-

субгармонических и слабо m-субгармонических функций;

доказаны квазинепрерывность и принцип сравнения для m-

субгармонических функций;

в классе m-субгармонических функций доказана непрерывность

операторов в гессианах и доказаны также другие фундаментальные теоремы
теории потенциала.

Достоверность

результатов

исследования

обосновывается

определением класса m-субгармонических и слабо m-субгармонических
функций, изучением потенциальных свойств этих классов, применением
методов

математического

анализа,

функционального

анализа,

математической физики и комплексного анализа к решению задачи Дирихле
для уравнения в гессианах и строгими математическими доказательствами
полученных результатов. Кроме того, публикации результатов диссертации в
научных журналах с импакт-факторами, апробации работы в ведущих
научных центрах, ссылки и обсуждения результатов автора в публикациях
местных и зарубежных авторов также доказывают достоверность
результатов диссертации.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Доказательства первой и второй проблемы Лелона и ряда основных теорем
теории потенциала в классе m-субгармонических функций, а также полное
построение теории потенциала указывает на научную значимость
исследований диссертации.

Научно-практическое значение работы характеризуется применениями

емкости конденсатора к установлению квазинепрерывности m-субгармони-
ческих функций, к решению задачи Дирихле для уравнения в гессианах и к
оценке основной характеристической функции Неванлинны.

Внедрение результатов исследования.

Результаты исследования

диссертации имеют следующие применения:

результаты, полученных по задачам Дирихле для нелинейного

уравнения в гессианах применены для изучения изменения решений задачи
Дирихле на изменяющихся графах в Проекте интернационального фонда
Фольксвагена (Германия) «Нелинейные эвалюционные уравнения и
транспортировка в метрических графах месоскопической физики» (справка

31

Олденбургского университета от 29 января 2016г). Существование и
единственность решения задачи Дирихле позволяли установить, что в общем
случае решения не является непрерывной для тонкого графа.

класс m-субгармонических функций во всем эвклидовом пространстве

использовался в Проекте DMS-1401316 научного фонда США (справка
Калифорнийского университета от 11 января 2016г). При помощи m-
субгармонических функций во всем пространстве легко описываются
выпуклые оболочки множеств. Это свойство m-субгармонических функций
применено к изучению гипервыпуклых оболочек множеств.

Результаты по субрешений эллиптических операторов применены для

устранения особых множеств аналитических, плюригармонических и
гармонических функций, в установлении существования тонких и нетонких
особых множеств на гранте ОТ-Ф1-116 «Аналитическое продолжение и
геометрические вопросы в теории функций» (НУУз, 2007-2011, справка
Комитета по координации развития науки и технологий от 1 февраля 2016г,
№ ФТК-02-13/60). Использование научных результатов позволило получить
аналитическую структуру тонких особых множеств и дать оценку емкости
пересечения голоморфных и плюригармонических функций.

Апробация результатов исследования.

Основное содержание

диссертации обсуждалось на следующих международных и республиканских
научных конференциях: «Аналитические функции многих комплексных
переменных» (Красноярск, 2009 г.), международная конференция
Американского математического общества, организованная университетом
Невада (Лас-Вегасе, США, 2011 г.), «Школа-семинар по Анализу»
(Калифорния, США, 2011г.), «Современные проблемы комплексного и
функционального анализа» (Нукус 2012 г.), «Операторные алгебры и
смежные проблемы» (Ташкент 2012 г.), «Актуальные проблемы прикладной
математики и информационных технологий, Аль-Хорезми



2012» (Ташкент

2012 г.), «Актуальные проблемы математического анализа» (Ургенч, 2012 г.),
«Функциональный анализ и его приложения» (Астана 2012 г.), «Актуальные
вопросы комплексного анализа» (Ташкент 2013 г.), «Современные проблемы
дифференциальных уравнений и их приложения» (Ташкент 2013 г.), «Школа-
семинар по Анализу» (Калифорния, США, 2013 г.), «Международная
конференция математиков США-Узбекистан» (Фуллертон, США, 2014 г.)

Настоящая работа регулярно обсуждалась на республиканских

семинарах «Комплексная теория потенциала» Ургенчского государственного
университета, на семинаре кафедры математического анализа Национального
университета Узбекистана.

Опубликованность результатов исследования.

По теме диссертации

опубликовано 25 научных работ, из них 6 в зарубежных, 8 в местных
журналах и 11 в тезисах.

Объём и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения,

пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем
диссертации 165 страницы.

32

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении

обоснована актуальность и востребованность темы

диссертации, определено соответствие исследования приоритетным
направлениям развития науки и технологий республики, приведены обзор
зарубежных научных исследований по теме диссертации и степень
изученности проблемы, сформулированы цель и задачи, выявлены объект и
предмет исследования, изложены научная новизна и практические
результаты исследования, раскрыта теоретическая и практическая значи-
мость полученных результатов, даны сведения о внедрении результатов
исследования, об опубликованных работах и о структуре диссертации.

В первой главе диссертации

(Основные

принципы теории

потенциала)

описываются главные принципы, методы классической и

комплексной теории потенциала.

Во второй главе диссертации, названной

«

m – sh

функции и их

свойства»

, приводится определение

m



субгармонических функций и

формулируется ряд утверждений, которые существенно используются в
дальнейшем, при построении теории

m



потенциалов.

Максимум двух субгармонических или плюрисубгармонических

функций

–

снова субгармоническая или плюрисубгармоническая. Этот факт

для таких функций доказывается очень просто, при помощи интегральных
неравенств в их определении. Однако, ввиду отсутствия соответствующих
интегральных неравенств, аналогичный факт для

m



субгармонических

функций не является тривиальным. Тем не менее, имеет место:

Теорема 1.

Максимум конечного числа m sh



функций является m

sh



функцией

;

для произвольного локально равномерно ограниченного семейства

 

u

m

sh



 

регуляризация

 

*

u

z супремума

 

 





sup

u z

u

z







тоже будет

m

sh



функцией, причем множество

 

 





*

u z

u

z





полярно в

2

n

n



.

Следующая теорема свойственна только для класса

m

sh



функций.

Теорема 2.

Если u m sh

 

, то для любой комплексной гиперплоскости

n

 

сужение

|

u



является

(

1)

m

sh

 

функцией.

Теорема имеет ряд практических приложений, в интегральных оценках,

в установлении важного включения

 

 

m

sh D

m

wsh D



 

и др.

Основной трудностью в построении теории потенциала, как и в теории

плюрипотенциала, является определение оператора





m

c

n m

dd u







в классе

m



субгармонических функций и установлении сходимости





m

c

n m

j

dd u







для стандартных аппроксимаций

.

j

u

u



Первый результат в этом

направлении принадлежит З.Блоцкому, доказавшему сходимость









m

m

c

n m

c

n m

j

dd u

dd u













, (1)

33

для непрерывной функции

 

 

u

m

sh D

C D

 

. Однако, отсутствие такой

сходимости для произвольной функции

 

u z

и отсутствие приемлемого

определения самого оператора





m

c

n m

dd u







, являлись основными

препятствиями

в

построении

теории

потенциала,

в

классе

m



субгармонических

функций.

Мы преодолеваем это препятствие, основываясь на следующую идею,

предложенную А.Садуллаевым в построении теории плюрипотенциала:

1) сначала определяем оператор





k

c

n m

dd u







и доказываем

сходимость (1) в классе

 

 

m

sh D

C D



;

2) используя лишь класс

 

 

m

sh D

C D



определяем

m



емкость





,

m

C

E D

;

3) доказываем потенциальные свойства

m



субгармонических функций

(квазинепрерывность, принципы сравнения, вопросы максимальности
произвольных

m



субгармонических функций и др.);

4)

решаем

проблему

сходимости

положительных

потоков









m

m

c

n m

c

n m

j

dd u

dd u













для

 

 

,

.

j

loc

u

u u

L

D

m

sh D









Свойства 3) и 4)

m



субгармонических функций являются

фундаментальной частью теории потенциала; они позволяют уже изучать
основные объекты теории потенциала, такие как

m-полярные множества,

m

P

- мера

,

максимальные m



субгармонические функции

и др.

Понятие

m

P

- меры вводится аналогично понятию

P

-меры в теории

плюрипотенциала: пусть

E

D



– некоторые подмножества усиленно

m



выпуклой области

,

n

D



1

m

n

 

.

Рассмотрим класс функций

( , )

{ ( )

( ) :

0,

1}

D

E

E D

u z

m

sh D

u

u



 



 

U

и положим ( , , ) sup{ ( ) :

( , )}

z E D

u z

u

E D





