ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
217
2181-3187
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI SONLI USULLAR BILAN
YECHISH VA ULARNING MUHANDISLIKDAGI
QO’LLANILISHI
Maxammatyunusova Yulduzxon Dilmurot qizi
1
, Narmanov Otabek
Abdigapparovich
2
,
Yo’ldoshova Dilnoza Ilhomboy qizi
1
,
Madinabonu
Mirxamidova Mirsaid qizi
1
1
TATU talabasi,
2
TATU dotsenti
E-mail:
yunusovayulduz85@gmail.com; narmanov@tuit.uz;
yoldoshovadilnoza00@gmail.com; madinabonumirxamidova14@gmail.com
Annotatsiya:
Ushbu maqolada differensial tenglamalarni sonli (raqamli) usullar yordamida
yechishning nazariy asoslari va ularning muhandislikdagi amaliy qo‘llanilishi
yoritilgan. Asosan, Eyler usuli, Runge-Kutta usullari, chiziqli va chiziqsiz differensial
tenglamalar
uchun yechim metodlari ko‘rib chiqiladi. Muhandislikda bu usullarning
issiqlik uzatish, elektr tizimlari, mexanik tebranishlar kabi sohalarda qanday
qo‘llanilishi misollar orqali tushuntiriladi.
Annotation:
This article explores the theoretical foundations of solving differential equations
using numerical methods and their practical applications in engineering. It focuses on
methods such as Euler's method, Runge-Kutta methods, and techniques for solving
both linear and nonlinear differential equations. The paper illustrates how these
approaches are used in engineering fields such as heat transfer, electrical systems, and
mechanical vibrations.
TATU, 2025
DigT
Edu
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
218
2181-3187
Аннотация:
В данной статье рассматриваются теоретические основы численного
решения дифференциальных уравнений и их практическое применение в
инженерной области. Основное внимание уделяется методам Эйлера, Рунге
-
Кутты, а также способам решения линейных и нелинейных дифференциальных
уравнений. Приводятся примеры использования этих методов в задачах
теплопередачи, электрических систем и механических колебаний.
Kalit so‘zlar:
Differensial tenglama, sonli usullar, Eyler usuli, Runge-Kutta usuli, muhandislik
modellashtirish, issiqlik uzatish, elektr tizimlari, tebranishlar.
Keywords:
Differential equation, numerical methods, Euler's method, Runge-Kutta method,
engineering modeling, heat transfer, electrical systems, vibrations.
Ключевые слова:
Дифференциальные уравнения, численные методы, метод Эйлера, метод
Рунге
-
Кутты, инженерное моделирование, теплопередача, электрические
системы, колебания.
Introduction (Kirish).
Zamonaviy ilm-fan va texnika taraqqiyoti bilan bir
qatorda, muhandislik sohalarida yuzaga keladigan murakkab tizimlarni matematik
modellashtirish zaruriyati ortib bormoqda. Bunday modellar ko
‘
pincha differensial
tenglamalar ko
‘
rinishida ifodalanadi, chunki ular vaqt bo
‘
yicha o
‘
zgaruvchan fizik
jarayonlarni, masalan, issiqlik uzatish, elektr toki, mexanik harakat kabi holatlarni aniq
tasvirlaydi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
219
2181-3187
Ko‘plab real muhandislik masalalari analitik yechimga ega emas yoki ularni qo‘l
bilan yechish juda murakkab. Shu sababli, differensial tenglamalarni
sonli usullar
yordamida yechish dolzarb masalalardan biri hisoblanadi. Eyler usuli, Runge-Kutta
usullari, Chekli ayirmalar usuli kabi raqamli yondashuvlar yordamida turli
muhandislik muammolarining kompyuterli simulyatsiyasini samarali amalga oshirish
mumkin.
Mazkur maqolada differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechishning
nazariy asoslari ko‘rib chiqiladi va ularning muhandislikdagi, ayniqsa, fizik tizimlarni
modellashtirishdagi amaliy qo‘llanilishiga alohida e’tibor qaratiladi.
1.
Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha
Differensial tenglama
—
bu bir yoki bir nechta nomaʼlum funksiyaning
hosilalarini (tug‘ri yoki qisman) o‘z ichiga olgan tenglama. Bunday tenglamalar
yordamida fizik, kimyoviy, biologik va muhandislik jarayonlarining matematik
modellarini tuzish mumkin. Ular
oddiy differensial tenglamalar (ODT)
va
xususiy
hosilali differensial tenglamalar (XHDT)
shaklida bo‘ladi.
2.
Sonli usullarning zarurati
Ko‘plab real hayotdagi differensial tenglamalarning aniq (analitik) yechimi
mavjud emas. Bunday holatlarda
raqamli (sonli) yechimlar
orqali yaqin yechimlarni
topish zarur bo‘ladi. Kompyuter dasturlari yordamida bu usullar amalda keng
qo‘llaniladi.
3.
Asosiy sonli usullar
a)
Eyler usuli
Bu eng oddiy sonli yechim usullaridan biri bo‘lib, differensial
tenglama yechimini
bosqichma-
bosqich, berilgan boshlang‘ich shartlar asosida hisoblab boradi.
Formulasi:
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
220
2181-3187
y
n+1
=y
n
+h*f(x
n
,y
n
)
Bu usul oddiy bo‘lsa
-
da, aniqligi past bo‘lishi mumkin.
b)
Runge-Kutta usullari
Eyler usuliga nisbatan ancha aniq va barqaror. Eng ko‘p qo‘llaniladigani –
to‘rtinchi tartibli Runge
-Kutta usuli
.
Formulasi:
y
n+1
=y
n
+(1/6)*(k
1
+2*k
2
+k
4
)
Bu yerda k
1
,k
2
,k
3
,k
4
qiymatlar mos ravishda oraliq nuqtalarda aniqlanadi.
c)
Chekli ayirmalar usuli
Xususiy hosilali tenglamalarni yechishda qo‘
llaniladi. Bu usulda hosilalar sonli
ayirmalar yordamida yaqinlashtiriladi. Issiqlik tenglamasi, to‘lqin tenglamasi kabi
PDE masalalarda juda muhim.
4.
Muhandislikdagi qo‘llanilishi
▪
Issiqlik uzatish tizimlarida
Fourier qonuni asosida tuzilgan issiqlik tenglamalari sonli usullar bilan yechilib,
harorat tarqalishini aniqlash mumkin.
▪
Elektr zanjirlari
RC, RL, RLC zanjirlaridagi kuchlanish va tokni ifodalovchi tenglamalar ODT
ko‘rinishida bo‘lib, ular sonli usullar bilan yechiladi.
▪
Mexanik tebranishlar
Massani buloqqa bog‘langan tizimlar, amortizatsiya bilan yoki usiz, differensial
tenglama asosida modellashtiriladi. Tezlik va siljish vaqt bo‘yicha aniqlanadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
221
2181-3187
▪
Aerodinamika va gidrodinamika
XHDT larning yechimi orqali suyuqliklar yoki gazlar harakati simulyatsiya
qilinadi (masalan, Navye-Stokes tenglamasi).
5.
Dasturlash vositalari
Sonli usullarni qo‘llashda quyidagi dasturlar ishlatiladi:
•
MATLAB
–
sonli hisoblash uchun qulay vosita.
•
Python (NumPy, SciPy)
–
ochiq manbali, ilmiy hisoblar uchun keng
imkoniyatlar.
•
Maple / Mathematica
–
differensial tenglamalarni yechish va grafik
tasvirlashda ishlatiladi.
•
Excel Solver
–
sodda sonli modellar uchun foydali bo‘lishi mumkin.
Xulosa
Differensial tenglamalar tabiat va texnikadagi turli fizikaviy jarayonlarni
modellashtirishda asosiy vositalardan biridir. Ularni aniq yechish ko‘p hollarda
imkonsiz bo‘lib, bu holat sonli usullarni qo‘llash zaruratini yuzaga keltiradi. Eyler,
Runge-Kutta, chekli ayirmalar kabi sonli yondashuvlar yordamida differensial
tenglamalarning amaliy yechimlarini topish va ularni muhandislik sohalarida qo‘llash
mumkin bo‘ladi.
Ushbu maqolada keltirilgan metodlar issiqlik uzatish, elektr zanjirlari, mexanik
harakatlar, aerodinamika kabi ko‘plab sanoat sohalarida qo‘llanilishi mumkinligini
ko‘rsatadi. Shuningdek, zamonaviy dasturlash vositalari yordamida bu jarayonlarni
avtomatlashtirish muhandislik amaliyotini soddalashtiradi.
Demak, differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechish
—
muhandislikda
muhim qarorlar qabul qilishda ishonchli va samarali vosita hisoblanadi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ
ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №
-70
Часть–
7_
июня
–
2025
222
2181-3187
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
•
Boymurodov A., Eshmamatov R.
–
Differensial tenglamalar va
ularni yechish usullari
.
Toshkent: O‘zbekiston Milliy universiteti, 2020.
•
Kreyszig E.
–
Advanced Engineering Mathematics
. Wiley, 2011.
•
Burden R. L., Faires J. D.
–
Numerical Analysis
. Cengage Learning,
2010.
•
Chapra S. C., Canale R. P.
–
Numerical Methods for Engineers
.
McGraw-Hill, 2015.
•
Butcher J. C.
–
Numerical Methods for Ordinary Differential
Equations
. Wiley, 2016.
