ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
90
2181-
3187
IRRATSIONAL SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR.
Andijon tumani 2-son kasb-hunar politexnikumi.
Tojiboyeva Kibriyo Muzoffarovna.
Annotatsiya.
Ushbu maqolada irratsional sonlar tushunchasi, ularning xossalari hamda ular
ustida bajariladigan arifmetik amallar yoritilgan. Irratsional sonlar – kasr ko‘rinishida
ifodalanmaydigan, ya’ni cheksiz va davriy bo‘lmagan o‘nli kasr ko‘rinishiga ega sonlar
bo‘lib, ular matematikaning muhim tushunchalaridan biridir. Maqolada √2, π, e kabi
mashhur irratsional sonlar misolida mavzu tushuntiriladi. Shuningdek, irratsional
sonlar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini bajarish qoidalari ham
ko‘rib chiqiladi. Mavzu o‘quvchilarga irratsional sonlar haqida chuqurroq bilim berish
va ularni amaliy masalalarda qo‘llay olish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar
:irratsional sonlar, o‘nli kasr, ildiz ostidagi sonlar, π soni, √2,
irratsionallik, arifmetik amallar, sonlar to‘plami
Matematika fanining eng asosiy va keng o‘rganiladigan bo‘limlaridan biri bu
sonlar nazariyasidir. Sonlar orqali biz atrofimizdagi hodisalarni ifodalaymiz,
o‘lchaymiz va hisoblaymiz. Sonlar to‘plami turli turlarga ajratiladi: natural sonlar,
butun sonlar, ratsional sonlar va irratsional sonlar. Aynan irratsional sonlar esa o‘zining
noyob xossalari bilan ajralib turadi. Ular oddiy kasr ko‘rinishida ifodalanmaydi va
ularning o‘nli yozuvi cheksiz hamda davriy emas bo‘ladi. Masalan, , , va kabi sonlar
irratsional sonlarning eng mashhur namunalaridir. Ushbu mavzuda irratsional sonlar
tushunchasi, ularning paydo bo‘lish tarixi, amaliyotdagi ahamiyati va ular ustida
bajariladigan arifmetik amallarni o‘rganamiz. Bu bilimlar o‘quvchilarning mantiqiy
tafakkurini rivojlantirishda va matematik masalalarni chuqur tahlil qilishda muhim
o‘rin tutadi.
Irratsional sonlar, kundalik hayotda har doim sezilmasa-da, ilmiy hisob-kitoblarda
juda muhim o‘rin tutadi. Ularni tushunish orqali biz matematik tushunchalarni
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
91
2181-
3187
chuqurroq anglaymiz. Bu sonlar aniq ifodalanmasa ham, ularning mavjudligi va
xossalari o‘ziga xos qonuniyatlarga asoslanadi.
Irratsional sonlar ustida amallar bajarish uchun ba’zi umumiy qoidalarga amal
qilinadi. Masalan, bunday sonlarni bir-biriga qo‘shish yoki ayirishda, agar ular
o‘xshash bo‘lmasa, natija odatda hamon soddalashtirib bo‘lmaydigan holda qoladi.
Aksincha, o‘xshash irratsional sonlarni qo‘shish yoki ayirish natijasida oddiyroq ifoda
olish mumkin.
Ko‘paytirish va bo‘lishda esa irratsional sonlar ba’zida ratsional sonlar bilan
aralashib ketishi mumkin. Bu holatda natija ham irratsional, ham ratsional bo‘lishi
mumkin. Asosiysi, bu amallarni bajarishda irratsional sonlarning xossalari, ya’ni
ularning kasr ko‘rinishida ifodalanmasligini unutmaslik kerak.
Amaliyotda esa irratsional sonlar doiraning uzunligi, yuzasi, yoki uchburchakning
gipotenuzasi kabi geometrik hisoblarda tez-tez uchraydi. Ular insoniyat tomonidan
to‘liq aniq hisoblab chiqilmaydigan, lekin muhim ahamiyatga ega bo‘lgan qiymatlar
sifatida qadrlanadi.
Irratsional sonlarning yana bir o‘ziga xos tomoni – ularning o‘nli yozuvi hech
qachon takrorlanmaydi. Bu esa ularni yodda saqlash yoki yozib olishda ma’lum
cheklovlar tug‘diradi. Shu sababli ko‘pincha ular taxminiy qiymatlarda ifodalanadi.
Irratsional sonlar ustida bajariladigan amallarni chuqurroq o‘rganish orqali biz
ularning matematik tizimdagi o‘rnini yaxshiroq anglaymiz. Masalan, irratsional sonni
ratsional songa qo‘shish natijasida aksariyat hollarda irratsional son hosil bo‘ladi. Bu,
ayniqsa, fizikadagi aniq o‘lchovlarda, geometriyada va texnologik hisob-kitoblarda o‘z
aksini topadi.
Irratsional sonlar ustida bajariladigan ko‘paytirish va bo‘lish amallari ham o‘ziga
xos xususiyatlarga ega. Ba’zida ikkita irratsional sonning ko‘paytmasi ratsional son
bo‘lib chiqishi mumkin. Bu holat ularning tasodifiy emas, balki aniq tartibda tashkil
topganligidan dalolat beradi.
Irratsional sonlar matematik tahlilda ham muhim rol o‘ynaydi. Masalan, doimiy
o‘zgaruvchan jarayonlarni ifodalovchi matematik formulalarda irratsional qiymatlar
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
92
2181-
3187
ishlatiladi. Shuningdek, ular integral va limit kabi oliy matematika tushunchalari bilan
ham uzviy bog‘liqdir.
Zamonaviy ilm-fan va texnologiyalar rivojlanar ekan, irratsional sonlarga bo‘lgan
ehtiyoj ortib bormoqda. Ular yordamida tabiatdagi ko‘plab murakkab hodisalarni
modellashtirish, aniq o‘lchovlar olish va hisob-kitoblarni mukammallashtirish mumkin
bo‘ladi. Shu sababli, irratsional sonlar ustida amallarni bilish har bir o‘quvchi va
mutaxassis uchun zarur ko‘nikmadir.
Irratsional sonlar sonlar to‘plami tarkibida murakkab, ammo o‘ziga xos tartibga
ega bo‘lgan elementlardir. Ular ratsional sonlardan farqli o‘laroq, to‘liq
ifodalanmagan, ammo matematik jihatdan mavjud va aniq sonlardir. Bu sonlarning
mavjudligi bizga sonlar haqida yanada chuqurroq tushuncha beradi.
Ko‘plab matematik isbotlar shuni ko‘rsatadiki, irratsional sonlar sonlar
to‘plamida juda katta miqdorda mavjud bo‘lib, ular sonlar oralig‘ida “bo‘shliq”
qoldirmaydi. Ya’ni, har qanday ikkita ratsional son orasida kamida bitta irratsional son
mavjud. Bu holat matematikadagi uzluksizlik tushunchasining asoslaridan biridir.
Irratsional sonlar ustida amallar bajarishda ehtiyotkorlik bilan yondashish zarur.
Chunki ularning aniqligi cheklangan va ko‘pincha yaqinlashtirilgan (ya’ni, taxminiy)
qiymatlar bilan ifodalanadi. Masalan, biror geometriya masalasida qirrasi 1 birlik
bo‘lgan kvadratning diagonali aniqlanayotganda, aynan irratsional son — kvadrat ildiz
orqali ifodalangan natija olinadi. Bunday misollar orqali o‘quvchilar irratsional
sonlarning nazariy emas, balki amaliy qiymatini anglaydilar.
Bugungi kunda kompyuter dasturlari, ilmiy kalkulyatorlar va texnik qurilmalar
irratsional sonlarni katta aniqlikda hisoblab berish imkoniyatiga ega. Bu esa ularning
qo‘llanilishini yanada kengaytirmoqda. Ayniqsa, injiniring, qurilish, fizika,
astronomiya kabi sohalarda irratsional sonlarsiz aniqlik talab qilinadigan hisob-
kitoblarni tasavvur qilish qiyin.
Xulosa
Xulosa qilib aytganda, irratsional sonlar matematikada muhim o‘rin egallagan,
kasr ko‘rinishida ifodalanmaydigan, cheksiz va davriy bo‘lmagan o‘nli kasrlar bo‘lib,
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
93
2181-
3187
ular sonlar nazariyasining ajralmas qismidir. Ular ustida bajariladigan arifmetik
amallar, xususan, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish orqali murakkab matematik
jarayonlar tushuntiriladi. Irratsional sonlarning xossalari nafaqat nazariy, balki amaliy
ahamiyatga ham ega bo‘lib, ularni geometriya, fizika, texnika, muhandislik va boshqa
fanlarda keng qo‘llash mumkin.
Irratsional sonlar haqida chuqur bilimga ega bo‘lish o‘quvchilarda mantiqiy
fikrlashni rivojlantiradi va ularni murakkab masalalarni hal qilishga tayyorlaydi. Shu
sababli bu mavzuni o‘rganish har bir o‘quvchi uchun muhim ahamiyat kasb etadi.
Bugungi kunda ilm-fan taraqqiyoti irratsional sonlarni chuqur o‘rganishni va ulardan
to‘g‘ri foydalanishni yanada dolzarb masalaga aylantirmoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar
•
Abduhamidov A. , Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.I
qism, «Istiqbol», T., 2000.
•
Abduhamidov A. , Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.II
qism. «Istiqbol», T., 2000.
•
Abduhamidov
A.,
Musurmonov
O.L.,
Nasimov
H.A.
Matematikatarixidan lavhalar. «Matbaa tongi», T., 2000.
•
Alimov Sh.A va b. Algebra va analiz asoslari, 10–11. «O‘qituvchi», T.,
1996.
•
Vilenkin N.Y. va b. Algebra va matematik analiz, 10. «O‘qituvchi»,
Ò.,1992.
•
Galitskiy M.L. và b. Algebra va matematik analiz kursini chuqur
o‘rganish.«O‘qituvchi», Ò., 1985.
Irratsional sonlar va ular ustida amallar.
Andijon tumani 2-son kasb-hunar politexnikumi.
Tojiboyeva Kibriyo Muzoffarovna.
Annotatsiya.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
94
2181-
3187
Ushbu maqolada irratsional sonlar tushunchasi, ularning xossalari hamda ular
ustida bajariladigan arifmetik amallar yoritilgan. Irratsional sonlar – kasr ko‘rinishida
ifodalanmaydigan, ya’ni cheksiz va davriy bo‘lmagan o‘nli kasr ko‘rinishiga ega sonlar
bo‘lib, ular matematikaning muhim tushunchalaridan biridir. Maqolada √2, π, e kabi
mashhur irratsional sonlar misolida mavzu tushuntiriladi. Shuningdek, irratsional
sonlar ustida qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini bajarish qoidalari ham
ko‘rib chiqiladi. Mavzu o‘quvchilarga irratsional sonlar haqida chuqurroq bilim berish
va ularni amaliy masalalarda qo‘llay olish ko‘nikmasini shakllantirishga xizmat qiladi.
Kalit so‘zlar
:irratsional sonlar, o‘nli kasr, ildiz ostidagi sonlar, π soni, √2,
irratsionallik, arifmetik amallar, sonlar to‘plami
Matematika fanining eng asosiy va keng o‘rganiladigan bo‘limlaridan biri bu
sonlar nazariyasidir. Sonlar orqali biz atrofimizdagi hodisalarni ifodalaymiz,
o‘lchaymiz va hisoblaymiz. Sonlar to‘plami turli turlarga ajratiladi: natural sonlar,
butun sonlar, ratsional sonlar va irratsional sonlar. Aynan irratsional sonlar esa o‘zining
noyob xossalari bilan ajralib turadi. Ular oddiy kasr ko‘rinishida ifodalanmaydi va
ularning o‘nli yozuvi cheksiz hamda davriy emas bo‘ladi. Masalan, , , va kabi sonlar
irratsional sonlarning eng mashhur namunalaridir. Ushbu mavzuda irratsional sonlar
tushunchasi, ularning paydo bo‘lish tarixi, amaliyotdagi ahamiyati va ular ustida
bajariladigan arifmetik amallarni o‘rganamiz. Bu bilimlar o‘quvchilarning mantiqiy
tafakkurini rivojlantirishda va matematik masalalarni chuqur tahlil qilishda muhim
o‘rin tutadi.
Irratsional sonlar, kundalik hayotda har doim sezilmasa-da, ilmiy hisob-kitoblarda
juda muhim o‘rin tutadi. Ularni tushunish orqali biz matematik tushunchalarni
chuqurroq anglaymiz. Bu sonlar aniq ifodalanmasa ham, ularning mavjudligi va
xossalari o‘ziga xos qonuniyatlarga asoslanadi.
Irratsional sonlar ustida amallar bajarish uchun ba’zi umumiy qoidalarga amal
qilinadi. Masalan, bunday sonlarni bir-biriga qo‘shish yoki ayirishda, agar ular
o‘xshash bo‘lmasa, natija odatda hamon soddalashtirib bo‘lmaydigan holda qoladi.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
95
2181-
3187
Aksincha, o‘xshash irratsional sonlarni qo‘shish yoki ayirish natijasida oddiyroq ifoda
olish mumkin.
Ko‘paytirish va bo‘lishda esa irratsional sonlar ba’zida ratsional sonlar bilan
aralashib ketishi mumkin. Bu holatda natija ham irratsional, ham ratsional bo‘lishi
mumkin. Asosiysi, bu amallarni bajarishda irratsional sonlarning xossalari, ya’ni
ularning kasr ko‘rinishida ifodalanmasligini unutmaslik kerak.
Amaliyotda esa irratsional sonlar doiraning uzunligi, yuzasi, yoki uchburchakning
gipotenuzasi kabi geometrik hisoblarda tez-tez uchraydi. Ular insoniyat tomonidan
to‘liq aniq hisoblab chiqilmaydigan, lekin muhim ahamiyatga ega bo‘lgan qiymatlar
sifatida qadrlanadi.
Irratsional sonlarning yana bir o‘ziga xos tomoni – ularning o‘nli yozuvi hech
qachon takrorlanmaydi. Bu esa ularni yodda saqlash yoki yozib olishda ma’lum
cheklovlar tug‘diradi. Shu sababli ko‘pincha ular taxminiy qiymatlarda ifodalanadi.
Irratsional sonlar ustida bajariladigan amallarni chuqurroq o‘rganish orqali biz
ularning matematik tizimdagi o‘rnini yaxshiroq anglaymiz. Masalan, irratsional sonni
ratsional songa qo‘shish natijasida aksariyat hollarda irratsional son hosil bo‘ladi. Bu,
ayniqsa, fizikadagi aniq o‘lchovlarda, geometriyada va texnologik hisob-kitoblarda o‘z
aksini topadi.
Irratsional sonlar ustida bajariladigan ko‘paytirish va bo‘lish amallari ham o‘ziga
xos xususiyatlarga ega. Ba’zida ikkita irratsional sonning ko‘paytmasi ratsional son
bo‘lib chiqishi mumkin. Bu holat ularning tasodifiy emas, balki aniq tartibda tashkil
topganligidan dalolat beradi.
Irratsional sonlar matematik tahlilda ham muhim rol o‘ynaydi. Masalan, doimiy
o‘zgaruvchan jarayonlarni ifodalovchi matematik formulalarda irratsional qiymatlar
ishlatiladi. Shuningdek, ular integral va limit kabi oliy matematika tushunchalari bilan
ham uzviy bog‘liqdir.
Zamonaviy ilm-fan va texnologiyalar rivojlanar ekan, irratsional sonlarga bo‘lgan
ehtiyoj ortib bormoqda. Ular yordamida tabiatdagi ko‘plab murakkab hodisalarni
modellashtirish, aniq o‘lchovlar olish va hisob-kitoblarni mukammallashtirish mumkin
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
96
2181-
3187
bo‘ladi. Shu sababli, irratsional sonlar ustida amallarni bilish har bir o‘quvchi va
mutaxassis uchun zarur ko‘nikmadir.
Irratsional sonlar sonlar to‘plami tarkibida murakkab, ammo o‘ziga xos tartibga
ega bo‘lgan elementlardir. Ular ratsional sonlardan farqli o‘laroq, to‘liq
ifodalanmagan, ammo matematik jihatdan mavjud va aniq sonlardir. Bu sonlarning
mavjudligi bizga sonlar haqida yanada chuqurroq tushuncha beradi.
Ko‘plab matematik isbotlar shuni ko‘rsatadiki, irratsional sonlar sonlar
to‘plamida juda katta miqdorda mavjud bo‘lib, ular sonlar oralig‘ida “bo‘shliq”
qoldirmaydi. Ya’ni, har qanday ikkita ratsional son orasida kamida bitta irratsional son
mavjud. Bu holat matematikadagi uzluksizlik tushunchasining asoslaridan biridir.
Irratsional sonlar ustida amallar bajarishda ehtiyotkorlik bilan yondashish zarur.
Chunki ularning aniqligi cheklangan va ko‘pincha yaqinlashtirilgan (ya’ni, taxminiy)
qiymatlar bilan ifodalanadi. Masalan, biror geometriya masalasida qirrasi 1 birlik
bo‘lgan kvadratning diagonali aniqlanayotganda, aynan irratsional son — kvadrat ildiz
orqali ifodalangan natija olinadi. Bunday misollar orqali o‘quvchilar irratsional
sonlarning nazariy emas, balki amaliy qiymatini anglaydilar.
Bugungi kunda kompyuter dasturlari, ilmiy kalkulyatorlar va texnik qurilmalar
irratsional sonlarni katta aniqlikda hisoblab berish imkoniyatiga ega. Bu esa ularning
qo‘llanilishini yanada kengaytirmoqda. Ayniqsa, injiniring, qurilish, fizika,
astronomiya kabi sohalarda irratsional sonlarsiz aniqlik talab qilinadigan hisob-
kitoblarni tasavvur qilish qiyin.
Xulosa
Xulosa qilib aytganda, irratsional sonlar matematikada muhim o‘rin egallagan,
kasr ko‘rinishida ifodalanmaydigan, cheksiz va davriy bo‘lmagan o‘nli kasrlar bo‘lib,
ular sonlar nazariyasining ajralmas qismidir. Ular ustida bajariladigan arifmetik
amallar, xususan, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish orqali murakkab matematik
jarayonlar tushuntiriladi. Irratsional sonlarning xossalari nafaqat nazariy, balki amaliy
ahamiyatga ham ega bo‘lib, ularni geometriya, fizika, texnika, muhandislik va boshqa
fanlarda keng qo‘llash mumkin.
ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ
https://scientific-jl.org/obr
Выпуск журнала №-71
Часть–7_ июня–2025
97
2181-
3187
Irratsional sonlar haqida chuqur bilimga ega bo‘lish o‘quvchilarda mantiqiy
fikrlashni rivojlantiradi va ularni murakkab masalalarni hal qilishga tayyorlaydi. Shu
sababli bu mavzuni o‘rganish har bir o‘quvchi uchun muhim ahamiyat kasb etadi.
Bugungi kunda ilm-fan taraqqiyoti irratsional sonlarni chuqur o‘rganishni va ulardan
to‘g‘ri foydalanishni yanada dolzarb masalaga aylantirmoqda.
Foydalanilgan adabiyotlar
•
Abduhamidov A. , Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.I qism,
«Istiqbol», T., 2000.
•
Abduhamidov A. , Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari.II qism.
«Istiqbol», T., 2000.
•
Abduhamidov A., Musurmonov O.L., Nasimov H.A. Matematikatarixidan
lavhalar. «Matbaa tongi», T., 2000.
•
Alimov Sh.A va b. Algebra va analiz asoslari, 10–11. «O‘qituvchi», T., 1996.
•
Vilenkin N.Y. va b. Algebra va matematik analiz, 10. «O‘qituvchi», Ò.,1992.
•
Galitskiy M.L. và b. Algebra va matematik analiz kursini chuqur
o‘rganish.«O‘qituvchi», Ò., 1985.
