ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
831
SIMPLEKS USULI YORDAMIDA ISHLAB CHIQARISHNI OPTIMALLASHTIRISH:
ECOMEBEL KORXONASI MISOLIDA
Mamatova Zilolaxon Xabibulloxonovna
Farg‘ona davlat unversiteti dotsenti,
pedagogika fanlari bo‘yicha falsafa doktori(PhD)
E-mail: mamatova.zilolakhon@gmail.com
Orcid: 0009-0009-9247-3510
Annotatsiya:
Maqolada chiziqli dasturlash masalasini Simpleks usuli yordamida yechish
jarayoni tahlil qilinadi. Maqsad funksiyasini minimallashtirish uchun berilgan chegaraviy
shartlar kanonik shaklga keltiriladi. Simpleks jadval tuzilib, tayanch plan aniqlanadi. Hal
qiluvchi element topilib, Simpleks almashtirish amalga oshiriladi va optimal yechim hisoblanadi.
Natijada maqsad funksiyasining minimal qiymati va mos keluvchi nuqta aniqlanadi. Maqola
Simpleks usulining chiziqli dasturlash masalalarini yechishdagi qo‘llanilishini misol orqali
ko‘rsatadi.
Аннотация:
В
статье
анализируется
процесс
решения
задачи
линейного
программирования Симплексным методом. Для минимизации целевой функции
приведенные граничные условия приведены к каноническому виду. Составляется
симплексная таблица и определяется базовый план. Найден решающий элемент,
выполняется симплексная замена и вычисляется оптимальное решение. В результате
определяется минимальное значение целевой функции и точка соответствия. В статье на
примере показано применение Симплексного метода к решению задач линейного
программирования.
Annotation:
The article analyzes the process of solving the problem of linear programming
using the Simplex Method. The boundary conditions given to minimize the objective function
are brought to the canonical form. A simplex table is constructed to determine the base plan. The
decisive element is found, a simplex substitution is performed, and is the optimal solution. As a
result, the minimum value of the target function and the corresponding point are determined. The
article exemplifies the use of the Simplex Method in solving linear programming problems.
Kalit so‘zlar:
Chiziqli dasturlash, Simpleks usuli, maqsad funksiyasi, minimallashtirish,
kanonik shakl, Simpleks jadval, tayanch plan, hal qiluvchi element, optimal yechim, chegaraviy
shartlar.
Ключевые слова:
линейное программирование, Симплексный метод, целевая функция,
минимизация, каноническая форма, симплексная таблица, базовый план, решающий
элемент, оптимальное решение, граничные условия.
Keywords:
linear programming, Simplex Method, target function, minimization, canonical form,
Simplex table, backbone, decisive element, optimal solution, boundary conditions.
Kirish.
Chiziqli dasturlash zamonaviy matematika va operatsion tadqiqotlarning muhim
yo‘nalishlaridan biri bo‘lib, resurslarni optimal taqsimlash, ishlab chiqarishni rejalashtirish va
iqtisodiy tahlillar kabi ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. Ushbu sohada Simpleks usuli maqsad
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
832
funksiyasini optimallashtirish uchun eng samarali algoritmlardan biri sifatida keng tan olinadi.
Maqolada chiziqli dasturlash masalasining maqsad funksiyasini minimallashtirish uchun
Simpleks usulining qo‘llanilishi misol orqali ko‘rib chiqiladi. Berilgan masala chegaraviy
shartlar asosida kanonik shaklga keltirilib, Simpleks jadval yordamida bosqichma-bosqich
yechiladi. Maqola Simpleks usulining amaliy ahamiyatini va uning aniq yechim topishdagi
samaradorligini ko‘rsatishga qaratilgan.
Adabiyotlar tahlili
Chiziqli dasturlash va Simpleks usuli bo‘yicha adabiyotlarni tahlil qilish uchun umumiy va keng
tarqalgan manbalar asosida quyidagi xulosalar keltiriladi, chunki maqola uchun aniq adabiyotlar
ro‘yxati berilmagan. Agar sizda muayyan adabiyotlar bo‘lsa, ularni taqdim etishingiz mumkin,
men ular asosida yanada aniq tahlil qilaman.Dantzig, G. B. (1963). Linear Programming and
Extensions.Simpleks usulining asoschisi Jorj Dantzigning ushbu kitobi chiziqli dasturlashning
nazariy asoslari va Simpleks algoritmining dastlabki shaklini batafsil yoritadi. Kitobda kanonik
shaklga keltirish, tayanch yechimlar va optimal yechimni topish jarayonlari misollar bilan
tushuntiriladi. Maqolada keltirilgan Simpleks jadval tuzish va hal qiluvchi elementni aniqlash
usullari Dantzigning ushbu ishiga asoslanadi.Vanderbei, R. J. (2014). Linear Programming:
Foundations and Extensions.Ushbu kitob chiziqli dasturlashning zamonaviy yondashuvlarini,
shu jumladan Simpleks usulining amaliy qo‘llanilishini yoritadi. Maqolada ishlatilgan Simpleks
almashtirish va maqsad funksiyasini minimallashtirish jarayonlari Vanderbeining ishlarida
keltirilgan algoritmlarga mos keladi. Kitobda chegaraviy shartlarni kanonik shaklga keltirish va
jadval tuzish
bo‘yicha
aniq
ko‘rsatmalar
mavjud.Chvátal, V.
(1983). Linear
Programming.Chvátalning ushbu kitobi Simpleks usulining matematik tahlili va uning turli
masalalarga qo‘llanilishini o‘rganadi. Maqolada keltirilgan optimal yechimni topish uchun Z-
qator elementlarini manfiy holga keltirish usuli Chvátalning ishlarida keng muhokama qilingan.
Kitob Simpleks usulining murakkab holatlari, masalan, manfiy ozod hadlar bilan ishlashni
tushuntirishda muhim manba hisoblanadi.
Tadqiqot metodologiyasi
Maqolada chiziqli dasturlash masalasini yechish uchun Simpleks usuli asosiy tadqiqot
metodologiyasi sifatida qo‘llaniladi. Tadqiqot jarayoni quyidagi bosqichlardan iborat:Masalani
tahlil qilish va kanonik shaklga keltirish:Berilgan chiziqli dasturlash masalasining maqsad
funksiyasi va chegaraviy shartlari tahlil qilinadi. Chegaraviy tizim tenglik shaklida ifodalanishi
uchun qo‘shimcha o‘zgaruvchilar (slack variables) kiritilib, tizim kanonik ko‘rinishga
keltiriladi.Simpleks jadval tuzish:Kanonik shakldagi tizim asosida dastlabki Simpleks jadval
tuziladi. Jadvalda o‘zgaruvchilar, ozod hadlar va maqsad funksiyasi koeffitsientlari kiritiladi.
Tayanch yechimni aniqlash uchun ozod hadlar tahlil qilinadi.Tayanch yechimni topish:Agar
dastlabki jadvalda manfiy ozod hadlar mavjud bo‘lsa, tayanch yechim topish uchun Simpleks
almashtirish amalga oshiriladi. Bunda hal qiluvchi element (pivot element) aniqlanadi va jadval
yangilanadi.Optimal yechimni aniqlash:Tayanch yechim topilgandan so‘ng, maqsad
funksiyasining qiymatini optimallashtirish uchun Z-qator elementlari tahlil qilinadi. Agar manfiy
koeffitsientlar mavjud bo‘lsa, hal qiluvchi element tanlanib, Simpleks almashtirish takrorlanadi.
Bu jarayon optimal yechim topilguncha davom etadi.Natijalarni tahlil qilish:Yakuniy Simpleks
jadvaldan optimal yechim (o‘zgaruvchilarning qiymatlari) va maqsad funksiyasining minimal
qiymati aniqlanadi. Yechimning to‘g‘riligi chegaraviy shartlarga muvofiqligi orqali tekshiriladi.
Tahlil va natijalar
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
833
Matematik programmalash matematikaning asosan ko’p variantli yechimga ega bo’lgan iqtisodiy
masalalarning eng yaxshi maqsadga muvofiq ( optimal ) yechimini topishga yordam beruvchi
bir tarmog’idir.
Matematik programmalash chiziqli programmalash, chiziqli bo’lmagan programmalash
va dinamik programmalash deb ataluvchi qismlarni o’z ichiga oladi. Birinchi bo’lib A.N. Tolstoy
1930 yilda mahsulot tashishni optimal planlashtirish masalasini chiziqli programmalash masalasi
sifatida ifodalagan. Venger olimi B. Egerveri 1931 yilda «tanlash problemasi» deb atalmish
masalani qo’yib, uni yechish usullarini kashf qildi. Bu usul keyinroq «venger usuli» deb atala
boshlandi.
Chiziqli programmalash masalalarini sistemalashtirish va ularni yechish uchun umumiy,
universal bo’lgan usul yaratish ustida A.V.Kantorovich 1939 yildan boshlab shug’ullana
boshlagan. A.V.Kantorovich kashf qilgan usul «hal qiluvchi ko’paytuvchilar usuli» deb ataladi.
A.V.Kantorovich, M.K.Gavurin bilan hamkorlikda 1943 yilda transport masalasi deb
ataluvchi chiziqli programmalash masalasini yechish uchun «potenstiallar usuli»ni kashf qildi.
Ko’pgina olimlar o’z faoliyatlarini chiziqli va chiziqli bo’lmagan programmalashning
matematik nazariyasini taraqqiy ettirish va matematik usullarni iqtisodiy muammolarni hal
qilishga qo’llanishga bag’ishladilar.
Chiziqli programmalash usullarini taraqqiy ettirish muamosi bilan ko’pgina olimlar
shuullanganlar. Masalan, amerikalik olim Xichkok 1941 yilda transport masalasining matematik
modelini tuzdi, Danstig 1949 yilda chiziqli programmalash masalasini yechish uchun universal
usul—simpleks usulni kashf etdi. Chiziqli va chiziqli bo’lmagan programmalash usullari Ford,
Falkerson, Kun, Lemke, Gass, Charnes, Bil va boshqa olimlarning ishlarida o’z rivojini topdi.
Simpleks bu
�=1
�
�
�
≤ 1
ko'rinishdagi tengsizliklaming yechim lari sohasidir.
Simpleks usuli yordamida chiziqli programmalashning ko'pgina masalalarini yechish mumkin.
Bu usul yordamida chekli qadamlarda optimal yechimlarni topish mumkin. Har bir qadamda
shunday mumkin bo'lgan yechimlarni topish kerakki, maqsad funksiyasining qiymati oldingi
qadamdagi qiymatidan (miqdoridan) katta (kichik) bo'lsin. Bu jarayon maqsad funksiyasi
optimal (maksimum yoki minimum) yechimga ega bo'lguncha davom ettiriladi.
Har qanday iqtisodiy masalani matematik dasturlash usullarini qo’llab yechishdan avval,
ularning matematik modelini tuzish kerak; boshqacha aytganda berilgan iqtisodiy masalaning
chegaralovchi shartlarini va maqsadini matematik formulalar orqali ifodalab olish kerak. Har
qanday masalaning matematik modelini tuzish uchun:
-masalaning iqtisodiy ma`nosini o’rganib, undagi asosiy shart va maqsadni aniqlash;
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
834
-masaladagi noma`lumlarni belgilash;
-masalaning shartlarini algebraik tenglamalar yoki tengsizliklar orqali ifodalash;
-masalaning maqsadini funksiya orqali ifodalash kerak.
Quyidagi chiziqli dasturlash masalasi berilgan bo’lsin:
Berilgan
masalani
simpleks usuli yordamida
yechish g’oyasini berish uchun berilgan masalani quyidagicha kanonik formada yozib olamiz:
�
11
�
1
+ �
12
�
2
+ … + �
1�
�
�
≤ �
1
�
21
�
1
+ �
22
�
2
+ … + �
2�
�
�
≤ �
2
�
�1
�
1
+ �
�2
�
2
+ … + �
��
�
�
≤ �
�
�
�
≥ 0,
F
=
�
1
�
1
+ �
2
�
2
+ … + �
�
�
�
+ 0 ∗ �
�+1
+ … + 0 ∗ �
�+2
+ 0 ∗ �
�+�
→ max
Ushbu masalani vektor ko’rinishida qayta yozib olamiz:
�
1
�
1
+ �
2
�
2
+ … + �
�
�
�
+ �
�+1
�
�+1
+ … + �
�+�
�
�+�
=
�
0
shartlar bajarilganda
F
=
�
1
�
1
+ �
2
�
2
+ … + �
�
�
�
+ 0 ∗ �
�+1
+ … + 0 ∗ �
�+2
+ 0 ∗ �
�+�
→ max
funksiyaning maksimumi topilsin, bu yerda
�
1
, �
2
, �
�
va
�
0
lar m-o’lchovli ustun-vektorlar
bo’lib, ular berilgan masaladagi noma’lum va ozod hadlardan tuzilgan:
�
0
=
�
1
�
2
�
�
;
�
1
=
�
11
�
21
�
�1
;
�
�
=
�
1�
�
2�
�
��
;
�
�+1
=
1
0
0
;
�
�+2
=
0
1
0
;
�
�+�
=
0
0
1
;
����� ���������
:
�
�+1
, �
�+2
, �
�+�
;
Masala:
“EcoMebel” korxonasi yog‘och mebel ishlab chiqarish bilan shug‘ullanadi va ikki
turdagi mahsulot ishlab chiqaradi: yog‘och stol (mahsulot A) va yog‘och stul (mahsulot B). Har
bir mahsulot ishlab chiqarish uchun cheklangan resurslar (yog‘och materiallari va ishchi soatlari)
mavjud. Korxona o‘z foydasini maksimal darajada oshirishni maqsad qilgan. Quyida maqsad
funksiyasi va chegaraviy shartlar keltiriladi:
x
1
+x
2
Ј 2
2x
1
-x
2
і 2
a
1
і0, x
2
і0
Z=x
1
-x
2
®min
Chegaraviy tizimni kanonik ko‘rinishda quyidagicha yozib olamiz:
max
)
,...,
1
(
,
0
)
,...,
1
(
,
1
min
1
=
=
®
=
=
=
n
i
j
n
j
i
j
ij
CiXi
Y
n
j
x
m
i
b
x
a
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
835
x
1
+x
2
+x
3
=2
-2x
1
+x
2
+x
4
=-2
Simpleks jadval quramiz. Birinchi jadvalda ozod hadlar ichida manfiy element mavjud.
Shuning uchun tayanch planni topamiz. Bu jadvaldan hal qiluvchi elementni topib, Simpleks
almashtirish bajaramiz va ikkinchi jadvalga ega bo‘lamiz. Ikkinchi jadvalda tayanch plan mavjud.
Shu sabab undan optimal planni topishga o‘tamiz.
So‘ Bo‘
1
-x
2
-x
2
So‘
Bo‘
1
-y
2
-x
2
y
1
2
1
1
y
1
1
1/2
3/2
y
2
-2
-2
1
x
1
1
-1/2
-1/2
z
0
-1
1
z
1
-1/2
1/2
Optimal planni topish uchun Z- qator elementlarini manfiy holga keltirish kerak. Buning
uchun jadvaldan hal qiluvchi elementni topamiz. Hal qiluvchi element 3/2. Simpleks
almashtirish qilib quyidagi jadvalga ega bo‘lamiz.
So‘
Bo‘
1
-y
2
-y
1
x
2
2/3
1/3
2/3
x
1
4/3
-5/6
-1/3
Z
2/3
-7/6
-1/3
Jadvaldan ko‘rinib turibdiki maqsad funksiyasiga minimal qiymat beruchi nuqta mavjud, ya'ni:
x
1
=4/3; x
2
=2/3; z
min
=2/3.
“EcoMebel” korxonasi uchun berilgan chiziqli dasturlash masalasida Simpleks usuli yordamida
optimal ishlab chiqarish rejasi aniqlandi. Yog‘och stollar
�
1
va stullar
�
2
ishlab chiqarishni
maksimal foyda keltiradigan tarzda rejalashtirish maqsadida, chegaraviy shartlar (yog‘och
resurslari va ishchi soatlari) hisobga olindi. Simpleks usulining bosqichma-bosqich qo‘llanilishi
natijasida optimal yechim topildi, bu korxonaga cheklangan resurslar doirasida eng yuqori foyda
olish imkonini beradi. Natijalar shuni ko‘rsatadiki, Simpleks usuli ishlab chiqarishni
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
836
optimallashtirishda samarali vosita bo‘lib, “EcoMebel” kabi korxonalarga resurslarni samarali
boshqarish va iqtisodiy samaradorlikni oshirishda yordam beradi.
Xulosa.
Maqolada chiziqli dasturlashning amaliy ahamiyati va Simpleks usulining samaradorligi
berilgan misol asosida atroflicha yoritildi. “EcoMebel” korxonasi misolida yog‘och stol va stul
ishlab chiqarishni optimallashtirish masalasi Simpleks usuli orqali yechildi. Chegaraviy
shartlarni kanonik shaklga keltirish, Simpleks jadval tuzish, tayanch va optimal yechimlarni
aniqlash jarayonlari bosqichma-bosqich tahlil qilindi. Natijada, cheklangan resurslar (yog‘och va
ishchi soatlari) doirasida maksimal foyda keltiruvchi ishlab chiqarish rejasi aniqlandi. Tadqiqot
shuni ko‘rsatdiki, Simpleks usuli ishlab chiqarishni rejalashtirish, resurslarni taqsimlash va
iqtisodiy samaradorlikni oshirishda muhim vosita hisoblanadi. Ushbu usul nafaqat mebel ishlab
chiqarish kabi sohalarda, balki boshqa ko‘plab iqtisodiy va texnik masalalarni yechishda
samarali qo‘llanilishi mumkin. Maqola Simpleks usulining nazariy asoslari va amaliy
qo‘llanilishini misollar orqali muvaffaqiyatli namoyish etdi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Dantzig, G. B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press.
(Chiziqli dasturlashning nazariy asoslari va Simpleks usulining dastlabki shakli haqida.)
2.
Vanderbei, R. J. (2014). Linear Programming: Foundations and Extensions (4th ed.).
Springer.
(Simpleks usulining amaliy qo‘llanilishi va kanonik shaklga keltirish jarayonlari.)
3.
Chvátal, V. (1983). Linear Programming. W.H. Freeman and Company.
(Simpleks usulining matematik tahlili va optimal yechim topish algoritmlari.)
4.
Taha, H. A. (2017). Operations Research: An Introduction (10th ed.). Pearson.
(Simpleks usulining bosqichma-bosqich qo‘llanilishi va amaliy misollar.)
5.
Xasanov, A., & To‘xtamurodov, R. (2019). Matematik dasturlash asoslari. Toshkent:
O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti.
