ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
799
BUTUN SONLI CHIZIQLI DASTURLASH VA GOMORINING KESUVCHI
TEKISLIKLAR USULINING AMALIY QO‘LLANILISHI
Mamatova Zilolaxon Xabibulloxonovna
Farg‘ona davlat universiteti dotsent,
pedagogika fanlari bo‘yicha falsafa doktori (PhD)
Orcid: 0009-0009-9247-3510
E-mail:
Annotatsiya:
Maqola butun sonli chiziqli dasturlash va Gomorining kesuvchi tekisliklar usuliga
bag‘ishlangan bo‘lib, unda butun sonli dasturlash masalalari, ularning turlari va iqtisodiy
masalalarga qo‘llanilishi atroflicha tahlil qilinadi. Butun sonli dasturlash masalalarining sayyoh,
optimal joylashtirish va taqsimot masalalariga oid misollari keltirilib, ularning matematik
modellari tuziladi. Gomorining kesuvchi tekisliklar usuli yordamida butun sonli yechimlarni
topish jarayoni, shu jumladan, simpleks usulga asoslangan yechimlarning butun sonli shartlarga
moslashtirilishi tushuntiriladi. Maqolada, shuningdek, masalalar geometrik talqin qilinib, qavariq
ko‘pburchaklar va kesuvchi tenglamalar yordamida yechim topish vizual tarzda tasvirlanadi.
Misollar orqali usulning amaliy qo‘llanilishi va natijalari ko‘rsatiladi.
Kalit so‘zlar:
butun sonli dasturlash, to‘la butun sonli dasturlash, qisman butun sonli dasturlash,
Bul o‘zgaruvchili dasturlash, kesuvchi tenglama, Gomori usuli.
Kirish.
Butun sonli chiziqli dasturlash zamonaviy optimallashtirish va qaror qabul qilish
jarayonlarida muhim o‘rin tutadigan matematik fan sohasidir. Ushbu sohada o‘zgaruvchilarning
butun sonli qiymatlar qabul qilishi talab etiladi, bu esa ko‘plab amaliy masalalarni, masalan,
transport logistikasi, ishlab chiqarishni rejalashtirish, resurslarni taqsimlash va optimal jadval
tuzish kabi sohalarni yechishda qo‘llaniladi. Butun sonli dasturlash masalalari to‘la butun sonli,
qisman butun sonli va Bul o‘zgaruvchili dasturlash kabi turlarga bo‘linadi, ularning har biri
o‘ziga xos xususiyatlarga ega. Ushbu masalalar ko‘pincha chiziqli dasturlashning klassik usullari
bilan yechilganda qiyinchiliklar keltirib chiqaradi, chunki butun sonli shartlar yechimlar
to‘plamini sezilarli darajada cheklaydi. Gomorining kesuvchi tekisliklar usuli bu muammoni hal
qilishda samarali yondashuv bo‘lib, chiziqli dasturlash yechimlarini butun sonli shartlarga
moslashtirish imkonini beradi. Ushbu maqola butun sonli dasturlash masalalarining nazariy
asoslari, ularning amaliy qo‘llanilishi va Gomori usulining yechim topishdagi ahamiyatini
o‘rganadi. Shuningdek, usulning geometrik talqini va misollar orqali amaliy natijalari tahlil
qilinadi.
Adabiyotlar tahlili
Butun sonli chiziqli dasturlash va Gomorining kesuvchi tekisliklar usuli bo‘yicha olib borilgan
tadqiqotlar so‘nggi o‘n yilliklarda optimallashtirish sohasida muhim yutuqlarni ko‘rsatmoqda.
Ushbu sohada bir qator muhim adabiyotlar mavjud bo‘lib, ular nazariy asoslar, algoritmik
yondashuvlar va amaliy qo‘llanmalarni yoritadi.Dantzig, G. B. (1963). Linear Programming and
Extensions. Chiziqli dasturlash sohasidagi asosiy manbalardan biri sifatida Dantzigning ishi
butun sonli dasturlash masalalarining dastlabki nazariy asoslarini shakllantirgan. Uning simpleks
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
800
usuli butun sonli shartlarsiz chiziqli dasturlash masalalarini yechishda keng qo‘llanilgan bo‘lsa-
da, keyinchalik bu usul butun sonli masalalarga moslashtirilgan.Gomory, R. E. (1958). "Outline
of an Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs." Gomorining kesuvchi tekisliklar
usulining asoschisi sifatida uning maqolasi butun sonli dasturlash masalalarini yechishda
inqilobiy yondashuvni taqdim etdi. Ushbu usul chiziqli dasturlash yechimlarini butun sonli
shartlarga moslashtirish uchun kesuvchi tenglamalarni qo‘llashni taklif qildi. Gomorining ishi
bugungi kunda ham ushbu sohada asosiy manba sifatida qolmoqda.Nemhauser, G. L., & Wolsey,
L. A. (1988). Integer and Combinatorial Optimization. Ushbu kitob butun sonli dasturlashning
zamonaviy nazariyasi va amaliy qo‘llanilishini keng yoritadi. Mualliflar kesuvchi tekisliklar,
shoxlanish va chegaralash usullari kabi algoritmlarni tahlil qilib, ularning iqtisodiy va sanoat
masalalariga qo‘llanilishini ko‘rsatgan. Kitobda Gomori usulining amaliy cheklovlari va uni
takomillashtirish yo‘llari ham muhokama qilinadi.
Tadqiqot metodologiyasi
Ushbu maqolada butun sonli chiziqli dasturlash masalalari va Gomorining kesuvchi tekisliklar
usulining nazariy va amaliy jihatlari o‘rganiladi. Tadqiqot metodologiyasi quyidagi asosiy
bosqichlarga asoslanadi:Adabiyotlar tahlili: Butun sonli dasturlash va Gomori usuliga oid
mavjud ilmiy manbalar, jumladan, Dantzig, Gomory, Nemhauser, Schrijver kabi mualliflarning
ishlari tahlil qilinadi. Mahalliy va xalqaro tadqiqotlar ko‘rib chiqilib, ushbu sohadagi zamonaviy
yondashuvlar va yutuqlar aniqlanadi. Tahlil natijasida usulning nazariy asoslari va amaliy
qo‘llanilishi bo‘yicha umumiy xulosa shakllantiriladi.Matematik modellashtirish: Tadqiqotda
iqtisodiy masalalar, masalan, sayyoh, optimal joylashtirish va taqsimot masalalari misolida butun
sonli dasturlash masalalarining matematik modellari tuziladi. Har bir masala uchun maqsad
funksiyasi va cheklovlar tizimi aniq formulalar ko‘rinishida ifodalanadi. Modellar 0-1 (Bul)
o‘zgaruvchilari va butun sonli shartlarni o‘z ichiga oladi.Gomorining kesuvchi tekisliklar
usulining qo‘llanilishi: Ushbu usulning algoritmik jarayoni batafsil tasvirlanadi. Simpleks usul
yordamida chiziqli dasturlash masalasining dastlabki yechimi topiladi, so‘ngra kesuvchi
tenglamalar qo‘shish orqali yechim butun sonli shartlarga moslashtiriladi. Har bir qadam, shu
jumladan, kesuvchi tenglamalarni hosil qilish va simpleks jadvalni yangilash jarayoni aniq
misollar bilan tushuntiriladi.Geometrik talqin: Butun sonli dasturlash masalalarining yechimlar
to‘plami qavariq ko‘pburchaklar shaklida tasvirlanadi. Gomori usulining geometrik talqini orqali
kesuvchi tekisliklarning yechimlar to‘plamini qanday cheklashi va optimal butun sonli nuqtani
topish
jarayoni
vizual
tarzda
ko‘rsatiladi.
Bu
jarayon
grafik
usullar
bilan
mustahkamlanadi.Amaliy misollar va tahlil: Tadqiqotda ishlab chiqarish, transport va resurslarni
taqsimlash kabi sohalarga oid amaliy misollar keltiriladi. Masalan, sexda qo‘shimcha uskuna
o‘rnatish masalasi yechilib, Gomori usulining samaradorligi ko‘rsatiladi. Har bir misol uchun
matematik model tuziladi, simpleks jadval yordamida yechim topiladi va natijalar tahlil
qilinadi.Natijalarni taqqoslash va xulosa chiqarish: Gomori usulining samaradorligi boshqa
optimallashtirish usullari, masalan, shoxlanish va chegaralash usuli bilan taqqoslanadi. Usulning
afzalliklari (masalan, aniq butun sonli yechim topish) va cheklovlari (masalan, katta hajmli
masalalardagi hisoblash murakkabligi) muhokama qilinadi. Tadqiqot natijalari umumlashtirilib,
usulning amaliy sohalardagi ahamiyati ta’kidlanadi.
Tahlil va natijalar
O‘zgaruvchilariga butun sonli bo‘lishlik sharti qo‘yilgan chiziqli dasturlash masalalari katta
ahamiyatga egadir. Bunday masalalar butun sonli dasturlash masalalari deb ataladi. Butun sonli
dasturlash masalalariga sayyoh haqidagi masala, optimal jadval tuzish, ratsional bichish,
transport vositalarini marshrutlarga optimal taqsimlash, bo‘linmaydigan mahsulotlar ishlab
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
801
chiqaruvchi korxonaning ishini optimal rejalashtirish masalalari misol bo‘la oladi. Bu
masalalarning ba’zilari bilan tanishamiz.
Iqtisodiy masalalar
1. Sayyoh haqidagi masala.
Faraz qilaylik,
0
P
shaharda yashovchi sayyoh,
n
ta
,
1
P
,
2
P
...,
n
P
shaharlarda bir martadan bo‘lib, minimal vaqt ichida
0
P
shaharga qaytib kelishi kerak bo‘lsin.
Bu masalaning matematik modelini tuzish uchun savdogarning
i
P
shahardan
j
P
shaharga
borishi uchun sarf qilgan vaqtini
)
,1
;
,1
(
,
n
j
n
i
t
ij
=
=
, bilan hamda uning har bir
i
P
shahardan
j
P
shaharga borish variantining harakteristikasini
ij
x
bilan belgilaymiz. Agar savdogar
i
P
shahardan
j
P
ga borsa,
1
=
ij
x
, bormasa
0
=
ij
x
bo‘ladi
(
Soddalik uchun
i
P
va
j
P
shaharlar
faqat bir marshrut yordami bilan bog‘langan deb faraz qilamiz). Bu holda masalaning matematik
modeli quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
=
=
=
n
j
ij
,n
i
,
x
1
)
1
(
1
=
=
=
n
i
ij
n
j
x
1
)
,1
(
,1
0
=
ij
x
yoki
1
=
ij
x
=
=
®
=
n
i
n
j
ij
ij
x
t
y
1
1
min
2. Optimal joylashtirish masalasi.
Faraz qilaylik,
m
ta
,
1
A
,
2
A
...
,
m
A
punktlarda bir xil
mahsulotlar ishlab chiqaruvchi korxonalarni joylashtirish kerak bo‘lsin. Har bir korxonaning
ishlab chiqarish quvvatini bildiruvchi
)
,1
(
m
i
x
i
=
butun sonli qiymatlarni qabul qiladi. Har bir
i
A
punktda mahsulot ishlab chiqarish uchun sarf qilingan harajat ishlab chiqarilgan mahsulot
miqdoriga bog‘liq bo‘lib, u
)
(
i
i
x
f
funksiya orqali ifodalanadi. Soddalik uchun bu funksiyani
chiziqli deb qabul qilamiz, ya’ni
i
i
i
i
x
с
x
f
=
)
(
.
Bundan tashqari
n
ta punktda bu mahsulot iste’mol qilinadi. Har bir iste’mol qiluvchi punktning
mahsulotga bo‘lgan talabi ma’lum va ular
n
b
b
b
,
,
,
2
1
K
birliklarni tashkil qiladi deb faraz
qilamiz. Har bir
i
A
ishlab chiqaruvchi punkt har bir
j
B
iste’mol qiluvchi punkt bilan
bog‘langan bo‘lib, yo‘l xarajatlari matritsasi
)
(
ij
с
С
=
dan iborat bo‘lsin.
i
A
punktdan
j
B
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
802
punktga yuboriladigan mahsulot miqdorini
ij
x
bilan belgilaymiz. U holda masalaning matematik
modeli quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
=
=
=
n
j
i
ij
m
i
x
x
1
)
,1
(
,
=
=
n
i
i
ij
n
j
b
x
1
)
,1
(
,
)
,1
;1
(
,
0
n
j
i
x
ij
=
=
-
i
x
butun son
=
=
=
®
+
=
n
i
n
j
ij
ij
m
i
i
i
x
t
x
c
y
1
1
1
min
3. Taqsimot masalasi.
Berilgan
n
ta ishni bajarish uchun
m
ta uskunlardan foydalanish
mumkin.
i
-
uskunaning (
m
i
,1
=
)
j
-ishni (
n
j
,1
=
) bajarishdagi mehnat unumdorligini
ij
c
bilan belgilaymiz. Bir uskunada faqat bitta ishni bajarish mumkinligini hamda har bir ish faqat
bitta uskunada bajarilishini nazarga olgan holda maksimal mehnat unumdorligini ta’minlovchi
uskunalarni ishlarga taqsimlash rejasini aniqlaymiz.
Masaladagi noma’lumlarni
ij
x
(
m
i
,1
=
;
n
j
,1
=
) bilan belgilaymiz. Bu yerda
ij
x
–
j
-
ishni
i
-
uskunada bajarishni baholovchi son bo‘lib, agar
j
-ish
i
-
uskunada bajarilsa,
1
=
ij
x
, agar
j
-ish
i
-uskunada bajarilmasa
0
=
ij
x
bo‘ladi.
Har bir uskunani faqat bitta ishni bajarishda qo‘llanishi
=
=
=
n
j
i
ij
m
i
x
x
1
)
,1
(
,
tenglik orqali ifodalanadi.
Har bir ishni faqat bitta uskunada bajarilishi
=
=
=
n
i
ij
n
j
x
1
)
,1
(
,1
tenglik orqali ifodalanadi. Bu erda
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
803
-
-
-
-
=
a.
bajarilmas
uskunada
agar
,
0
,
bajarilsa
uskunada
agar
,1
i
ish
j
i
ish
j
x
ij
Shunday qilib, masala (10) – (12) shartlarni qanoatlantiruvchi hamda
=
=
=
m
i
n
j
ij
ij
x
c
Y
1
1
funksiyaga maksimal qiymat beruvchi
ij
x
noma’lumlarning qiymatini topishga keltirildi. Bu
masala ham butun sonli dasturlash masalasi bo‘ladi.
Misol
. Sexda qo‘shimcha uskuna o‘rnatishga qaror qabul qilinib, uning uchun 19/3 m
2
maydon
ajratildi. Bu uskunani sotib olish uchun sex 10 ming so‘m pul sarf qilishi mumkin. Sex o‘z
imkoniyatidan kelib chiqib 2 turdagi uskuna sotib olishi mumkin. 1-turdagi uskunaning bahosi
1000 sum, II-turdagisining bahosi esa, 3000 so‘m turadi.
I va II tur uskunaning o‘rnatilishi oqibatida har smenada sex mos ravishda 2 va 4 birlik mahsulot
ko‘proq ishlab chiqaradi. I tur uskunani o‘rnatish uchun 2 m
2
, II tur uskuna uchun esa 1 m
2
maydon kerak. qaysi uskunadan qanchadan sotib olinganda sexda ishlab chiqarilgan qo‘shimcha
mahsulotlarning miqdori maksimal bo‘ladi?
Yechish
. Sex I-tur uskunadan
1
x
x
1
dona, II-tur uskunadan
2
x
dona sotib olsin, deylik. U holda
masalani shartlari quyidagi tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi.
+
+
,
10
3
,
3
/
19
2
2
1
2
1
x
x
x
x
-
2
1
2
1
,
,
0
,
0
x
x
x
x
butun.
Masalaning maqsadi ishlab chiqarilgan qo‘shimcha mahsulotlar miqdorini maksimal qilishdan
iborat bo‘lib, u quyidagi funksiya ko‘rinishida yoziladi.
.
max
4
2
2
1
®
+
=
x
x
Y
Shunday qilib, berilgan masalaning matematik modeli quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ldi.
+
+
10
3
3
/
19
2
2
1
2
1
x
x
x
x
0
1
x
,
0
1
x
2
1
,
x
x
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
804
max
4
2
2
1
®
+
=
x
x
Y
Masala
Quyidagi chiziqli programmalash masalasining butun sonli yechimini toping
-
+
3
3
2
6
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
1
і0, x
2
і0, butun Ymin=8-3x
1
-x
2
Yechish. Eng avval masalani normal holga keltiramiz:
=
+
-
=
+
+
3
3
2
6
3
2
4
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
1
і0, x
2
і0, butun Ymin=8-3x
1
-x
2
Ushbu masalani simpleks jadvalga joylashtiramiz hamda yodagi noma'lumlarning butun
boʻlishlik shartiga e'tibor bepmay uni oddiy simpleks usul bilan yechamiz. Yechish jarayonining
III-bocqichida quyidagi optimal yechim topiladi.
Bazis vektorlar
S
R
0
-3
-1
0
0
R
1
R
2
R
3
R
4
R
2
-1
Ѕ
0
1
1/6
-1/6
R
i
-3
9/4
1
0
ј
ј
Dj
Ѕ
0
0
-11/12
-7/12
Jadvaldan koʻrinadiki, topilgan yechim butun sonli programmalash masalasining yechimi
boʻlmaydi. Bu yechimni butun sonli yechimga aylantirish uchun jadvalning I-qatoriga nisbatan
kesuvchi tenglama tuzamiz. Uning uchun eng avval quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz.
Tengsizlikning ikki tomonini (-1)ga koʻpaytiramiz va qoʻshimcha noma'lumni kiritib quyidagi
tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani simpleks jadvalining 4-qatoriga joylashtiramiz.
Bazis
vektorlar
S
R
0
-3
-1
0
0
0
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
805
R
2
-1
1/2
0
1
1/6
-1/6
0
R
1
-3
9/4
1
0
1/4
1/4
0
Dj
3/4
0
0
-11/12
-7/12
0
R
5
0
-1/2
0
0
-1/6
1/6
1
Bazisdan R
5
ni chiqarib oʻrniga R
3
ni kiritamiz. Hatijada simpleks jadval almashadi va quyidagi
koʻrinishga keladi.
Bazis
vektorlar
S
R
0
-3
-1
0
0
0
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
2
-1
0
0
1
0
0
0
R
1
-3
3/2
1
0
0
1/2
0
m+1
7/2
0
0
0
-3/2
0
R
6
0
-1/2
0
0
0
-1/2
1
Endi yangi simpleks jadvalning 2-qatoriga nisbatan kesuvchi tenglama tuzamiz. Uning uchun
avval tengsizlikni tuzamiz va undan quyidagi kesuvchi tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani simpleks jadvalning 6-qatoriga joylashtiramiz.
Bazis
vektorlar
S
R
0
-3
-1
0
0
0
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
2
-1
0
0
1
0
0
0
R
1
-3
1
1
0
0
0
1
R
3
0
4
0
0
1
0
1
R
4
0
1
0
0
0
1
-2
Dj
8-3=5
0
0
0
0
-3
Hosil boʻlgan simpleks jadvaldagi P
0
vektorning barcha elementlari butun sonlardan iborat.
Demak, butun sonli programmalash masalasining yechimi topilgan va quyidagiga teng.
� = (1; 0; 4; 1) ���� = 5
Xulosa
Butun sonli chiziqli dasturlash masalalari, xususan, Gomorining kesuvchi tekisliklar usuli
iqtisodiy, transport va ishlab chiqarish sohasidagi optimallashtirish muammolarini yechishda
ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241
Volume 7, issue 1, Aprel 2025
https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi
worldly knowledge
OAK Index bazalari :
research gate, research bib.
Qo’shimcha index bazalari:
zenodo, open aire. google scholar.
Original article
806
muhim ahamiyatga ega. Tadqiqotda sayyoh, optimal joylashtirish va taqsimot masalalari
misolida ushbu usulning matematik modellashtirish va yechish jarayonlari ko‘rsatildi. Gomori
usuli simpleks usul yordamida topilgan yechimlarni butun sonli shartlarga moslashtirish
imkonini beradi, bu esa real hayotdagi ko‘plab masalalarni aniq va samarali yechishga yordam
beradi. Geometrik talqin va amaliy misollar orqali usulning vizual va analitik afzalliklari
ta’kidlandi. Tadqiqot natijalari Gomori usulining ishlab chiqarishni rejalashtirish, resurslarni
taqsimlash va logistikada qo‘llanilishi uning yuqori samaradorligini va amaliy qiymatini
isbotladi. Shu bilan birga, usulning katta hajmli masalalardagi hisoblash murakkabligi kelgusida
takomillashtirishni talab qiladi. Umuman olganda, butun sonli dasturlash va Gomori usuli
zamonaviy optimallashtirish sohasida muhim vosita bo‘lib, iqtisodiy va sanoat masalalarini
yechishda keng imkoniyatlar ochadi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Dantzig, G. B. (1963).
Linear Programming and Extensions
. Princeton University Press.
2.
Gomory, R. E. (1958). Outline of an Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs.
Bulletin of the American Mathematical Society
, 64(5), 275–278.
3.
Nemhauser, G. L., & Wolsey, L. A. (1988).
Integer and Combinatorial Optimization
.
Wiley-Interscience.
4.
Schrijver, A. (1986).
Theory of Linear and Integer Programming
. John Wiley & Sons.
5.
Taha, H. A. (2007).
Operations Research: An Introduction
(8th ed.). Pearson Education.
6.
O‘zbekiston Milliy Universiteti. (2020). Butun sonli dasturlash masalalari va ularning
iqtisodiy masalalarga qo‘llanilishi.
Ilmiy maqolalar to‘plami
, 15(2), 45–52.
7.
Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti. (2021). Transport logistikasi va ishlab
chiqarishni optimallashtirishda Gomori usulining qo‘llanilishi.
Texnik fanlar jurnali
, 12(3), 33–
40.
