JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK JURNAL
30
Osiyo xalqaro universiteti katta o‘qituvchisi
Sayfullayeva Nozima Bahodirovna
CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARI VA ULARNI YECHISH USULLARI (GAUSS
USULI, KRAMER QOIDASI)
Annotatsiya:
Ushbu maqolada chiziqli tenglamalar tizimlarining umumiy ko‗rinishi, ularni
yechishning klassik usullari – Gauss usuli va Kramer qoidasining nazariy asoslari va amaliy
qo‗llanilishi bayon etiladi. Shuningdek, bu usullarning afzalliklari va cheklovlari misollar asosida
tahlil qilinadi.
Kirish
Matematikaning asosiy bo‗limlaridan biri bo‗lgan chiziqli algebra ko‗plab amaliy va nazariy
masalalarni yechishda muhim o‗rin tutadi. Ayniqsa, chiziqli tenglamalar tizimlari (ChTT) ilm-
fan, texnika, iqtisodiyot va boshqa sohalarda keng qo‗llaniladi. Bu tizimlarni yechish uchun bir
nechta usullar mavjud bo‗lib, ularning eng mashhurlari —
Gauss usuli
va
Kramer qoidasidir
.
Ushbu maqolada ana shu ikki usulga batafsil to‗xtalamiz.
Chiziqli tenglamalar tizimi tushunchasi
Chiziqli tenglamalar tizimi – bir necha noma‘lumli va ularning har biri birinchi darajali bo‗lgan
tenglamalardan iborat sistemadir.
Umumiy ko‗rinishi:
{a11x1+a12x2+
⋯
+a1nxn=b1a21x1+a22x2+
⋯
+a2nxn=b2
⋮
am1x1+am2x2+
⋯
+amnxn=bm\begin{
cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots +
a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
⎩⎨⎧
a11x1+a12x2+
⋯
+a1nxn=b1a21x1+a22x2+
⋯
+a2nxn=b2
⋮
am1x1+am2x2
+
⋯
+amnxn=bm
Bu yerda:
aija_{ij}aij – koeffitsiyentlar
xjx_jxj – noma‘lumlar
bib_ibi – erkin hadlar
Gauss usuli
Gauss usuli – chiziqli tenglamalar tizimini bosqichma-bosqich soddalashtirib, uni yuqori
uchburchakli shaklga keltirish orqali yechish usulidir.
Asosiy bosqichlari:
1.
Bosqichli soddalashtirish (elementar qator amallar):
o
satrlarni almashtirish
o
satrni son ga ko‗paytirish
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK JURNAL
31
o
satrni boshqa satrga qo‗shish yoki ayirish
2.
Orqaga yechish (back substitution):
Oxirgi tenglamadan boshlab yuqoriga qarab noma‘lumlar topiladi.
Misol:
{2x+y=54x+3y=11\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 3y = 11 \end{cases}{2x+y=54x+3y=11
1-satrni 2 ga bo‗lamiz:
x+0.5y=2.5x + 0.5y = 2.5x+0.5y=2.5
2-satr – (1-satr * 4):
0+y=1
⇒
y=10 + y = 1 \Rightarrow y = 10+y=1
⇒
y=1
Endi 1-satrga qo‗yamiz:
x+0.5(1)=2.5
⇒
x=2x + 0.5(1) = 2.5 \Rightarrow x = 2x+0.5(1)=2.5
⇒
x=2
Natija: x=2,y=1x = 2, y = 1x=2,y=1
Kramer qoidasi
Kramer qoidasidan foydalanish uchun asosiy shart – sistemaning koeffitsiyentlar matritsasi
kvadrat bo‗lishi (ya‘ni tenglama va noma‘lumlar soni bir xil bo‗lishi) va determinant nolga teng
bo‗lmasligi kerak: det
(A)≠0\det(A) \neq 0det(A) =0
Formulasi:
xi=det
(Ai)det
(A)x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}xi=det(A)det(Ai)
Bu yerda:
AAA – koeffitsiyentlar matritsasi
AiA_iAi – iii-ustunni erkin hadlar ustuni bilan almashtirilgan matritsa
Misol:
{x+y=32x−y=0\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}{x+y=32x−y=0
Koeffitsiyentlar matritsasi:
A=[112−1],det
(A)=−3A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad \det(A) = -
3A=[121−1],det(A)=−3
Matritsa A1A_1A1 (1-ustun o‗rniga erkin hadlar):
A1=[310−1],det
(A1)=−3
⇒
x=−3−3=1A_1 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},
\quad \det(A_1) = -3 \Rightarrow x = \frac{-3}{-3} = 1A1=[301−1],det(A1)=−3
⇒
x=−3−3=1
Matritsa A2A_2A2:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK JURNAL
32
A2=[1320],det
(A2)=−6
⇒
y=−6−3=2A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},
\quad \det(A_2) = -6 \Rightarrow y = \frac{-6}{-3} = 2A2=[1230],det(A2)=−6
⇒
y=−3−6=2
Natija: x=1,y=2x = 1, y = 2x=1,y=2
4. Taqqoslash va tahlil
Usul
Afzalliklari
Cheklovlari
Gauss
usuli
Har
qanday
o‗lchamdagi
tizim
uchun mos
Qadamlar ko‗p, xatoga yo‗l qo‗yish
mumkin
Kramer
qoidasi
Oddiy formulaga ega,
tushunarli
Faqat kvadrat matritsalar uchun ishlaydi;
determinantlar hisoblash murakkablashadi
Xulosa
Chiziqli tenglamalar tizimlarini yechish usullari matematika va boshqa sohalarda katta amaliy
ahamiyatga ega. Gauss usuli har xil holatlarda universal vosita sifatida xizmat qiladi, Kramer
qoidasidan esa kichik o‗lchamli va determinantlar yordamida ifodalanadigan tizimlarda
foydalanish qulay. Har ikkala usulning ham ustun va zaif jihatlarini tushunish muhimdir.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
Сайфуллаева, Н. Б. (2021). ВАЖНЫЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ В СИСТЕМЕ КЛАССНЫХ УРОКОВ. Вестник науки и образования, (15-3
(118)), 40-42.
2.
Сайфуллаева,
Н.
Б.
(2022).
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ДИДАКТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ. In НОВЫЕ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ (pp. 10-12).
3.
Сайфуллаева, Н. Б. (2023). РОЛЬ ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ОБУЧЕНИИ
КОМПЬЮТЕРНЫМ НАУКАМ. Universum: технические науки, (4-1 (109)), 41-43.
4.
Сайфуллаева, Н. Б. (2023). ВАЖНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ: Сайфуллаева Нозима Баходировна,
преподаватель кафедры ―Теория начального образования‖, Бухарский государственный
университет. Город Бухара. Республика Узбекистан. Образование и инновационные
исследования международный научно-методический журнал, (1), 305-307.
5.
Сайфуллаева, Н. Б. (2023). Методы Организации Уроков Математики В Начальных
Классах С Использованием Цифровых Технологий. Miasto Przyszłości, 35, 388-390.
6.
Сайфуллаева, Н. Б. (2023). РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ.
PEDAGOGS jurnali, 1(1), 292-292.
7.
Сайфуллаева, Н. Б. (2019). Роль дидактических игр в умственном развитии учащихся
в математике начального класса. In INTERNATIONAL SCIENTIFIC REVIEW OF THE
PROBLEMS OF PHILISOPHY, PSYCHOLOGY AND PEDAGOGY (pp. 102-106).
8.
Сайфуллаева, Н. Б., & Марданова, Ф. Я. (2021). НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
ПО
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ. Проблемы науки, 84.
9.
Сайфуллаева, Н. Б. (2020). Важные особенности дидактических игр в процессе
обучения математике в начальных школах. In ИННОВАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (pp. 60-62).
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 16, issue 01, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wordlyknowledge.uz
ILMIY METODIK JURNAL
33
10.
Сайфуллаева, Н. Б., & Мурадова, Я. М. (2020). Пути эффективного использования
методов обучения математике в начальных классах. In EUROPEAN RESEARCH (pp. 121-
123).
11.
Сайфуллаева, Н. Б. (2022). Методы определения потребностей обучающихся в
процессе использования облачных технологий в образовании. Universum: технические
науки, (2-1 (95)), 57-59.
12.
Сайфуллаева, Н. Б., & Саидова, Г. Э. (2019). Повышение эффективности занятий,
используя интерактивные методы в начальном образовании. Научный журнал, (6 (40)),
101-102.
13.
Bahodirovna, S. N. (2023). KINDERGARTEN, SCHOOL AND FAMILY PARTNERSHIP
IN TEACHING CHILDREN IN MATHEMATICS.
American Journal of Public Diplomacy and
International Studies (2993-2157)
,
1
(10), 383-388.
14.
Bahodirovna, S. N. (2023). FORMING CHILDREN'S IDEAS ABOUT THE SIZE OF
OBJECTS AND THEIR MEASUREMENT.
Oriental Journal of Academic and Multidisciplinary
Research
,
1
(3), 102-107.
15.
Bahodirovna, S. N. (2023). Organization Forms of the Development of Primary
Mathematical Concepts in Children.
American Journal of Public Diplomacy and International
Studies (2993-2157)
,
1
(10), 138-143.
