ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
FUNKSIYA TUSHUNCHASI. FUNKSIYANING ANIQLANISH VA QIYMATLAR SOHASI.
FUNKSIYANING BERILISH USULLARI. FUNKSIYA XOSSALARI(JUFT-TOQLIGI,
MONOTONLIGI, CHEGARALANGANLIGI,
NOLLARI, O‘ZGARMASLIK ORALIQLARI
,
DAVRIYLIGI)
Nurkayev Shuhrat Jurayevich
Turin politexnika universiteti akademik litseyi oliy toifali matematika fani o‘qituvchisi.
+998909280195
Annotatsiya:
Ushbu maqolada funksiyalar matematikasi bo‘yicha asosiy tushunchalar yoritilgan.
Avvalo, funksiyaning ta’rifi, uning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi haqida izohlar berilgan.
Funksiyaning berilish usullari – jadval, formulalar, grafik va og‘zaki ta’rif orqali berilishi ko‘rib
chiqilgan. Shuningdek, maqolada funksiyaning asosiy xossalari – juft yoki toqligi, monotonligi
(o‘suvchi yoki kamayuvchi), chegaralanganligi, funksiya nollari, o‘zgarmaslik oraliqlari hamda
davriyligi haqida tushunchalar misollar bilan bayon qilingan. Maqola matematika fani o‘quvchilari
va o‘qituvchilari uchun nazariy bilimni mustahkamlashda foydali bo‘ladi.
Kalit so‘zlar:
Funksiya, aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi, funksiya berilish usullari, juft funksiya,
toq funksiya, monotonlik, chegaralanganlik, funksiya nollari, o‘zgarmaslik oraliqlari, davriylik,
matematika, grafik.
Annotation:
This article highlights the fundamental concepts of the mathematics of functions.
Firstly, explanations are provided about the definition of a function, its domain, and range. Different
methods of representing functions—such as tables, formulas, graphs, and verbal descriptions—are
discussed. Additionally, the article explains the main properties of functions with examples,
including evenness or oddness, monotonicity (increasing or decreasing), boundedness, zeros of the
function, intervals of constancy, and periodicity. This article will be useful for students and teachers
of mathematics to strengthen their theoretical knowledge.
Keywords:
Function, domain, range, methods of representing functions, even function, odd
function, monotonicity, boundedness, zeros of the function, intervals of constancy, periodicity,
mathematics, graph.
Аннотация:
В данной статье раскрываются основные понятия математики функций. Сначала
даются объяснения определения функции, её области определения и области значений.
Рассматриваются способы задания функции — с помощью таблицы, формулы, графика и
словесного описания. Также в статье изложены основные свойства функций с примерами —
чётность или нечётность, монотонность (возрастающая или убывающая), ограниченность,
нули функции, промежутки постоянства и периодичность. Статья будет полезна учащимся и
преподавателям математики для закрепления теоретических знаний.
Ключевые слова:
Функция, область определения, область значений, способы задания
функции, чётная функция, нечётная функция, монотонность, ограниченность, нули функции,
промежутки постоянства, периодичность, математика, график.
Kirish.
Zamonaviy matematikada funksiya tushunchasi markaziy o‘rin egallaydi. Matematikaning
deyarli barcha bo‘limlari — algebra, analiz, geometriya, statistika va hatto zamonaviy
texnologiyalar asosida ham aynan funksiyalar yotadi. Hayotimizning ko‘plab jabhalarida — fizika,
kimyo, iqtisodiyot, texnika va axborot texnologiyalarida turli jarayonlar o‘rtasidagi bog‘liqliklarni
ifodalashda funksiyalar asosiy vosita sifatida qo‘llaniladi. Shu bois, funksiyaning mohiyatini, uning
asosiy xususiyatlarini va berilish usullarini chuqur o‘rganish har bir o‘quvchi va matematik uchun
muhim hisoblanadi.
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
Funksiya — bu bir to‘plamdagi har bir elementga ikkinchi to‘plamdagi yagona elementni mos
qo‘yish qoidasi. Ushbu munosabat matematik modellashda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, real
hayotdagi turli hodisa va jarayonlarni matematik shaklda ifodalash imkonini beradi. Masalan,
avtomobilning harakat tezligi va vaqt o‘rtasidagi bog‘liqlik, iqtisodiyotda narx va talab munosabati,
biologiyada populyatsiyalar sonining vaqtga bog‘liqligi funksiyalar orqali ifodalanadi.
Funksiyalar turli usullar orqali berilishi mumkin: og‘zaki ta’riflash, formulalar yordamida ifodalash,
maxsus jadvallar tuzish yoki grafik chizish orqali. Har bir usul o‘zining qulayligi va amaliy
ahamiyatiga ega. Ayniqsa, grafik orqali funksiyaning xatti-harakatini ko‘rish va uning xossalarini
aniqlash osonlashadi.
Funksiya tushunchasini chuqur o‘rganishda uning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi kabi
tushunchalar muhim ahamiyatga ega. Shu bilan birga, funksiyaning juft yoki toq bo‘lishi,
monotonligi (o‘suvchi yoki kamayuvchi), chegaralanganligi
,
funksiyaning nollari
,
o‘zgarmaslik
oraliqlari
va
davriyligi kabi xususiyatlari uning tuzilishini va xatti-harakatini to‘liq tushunishga
yordam beradi.
Mazkur maqolada aynan shu tushunchalar izchil yoritiladi hamda har bir xususiyat misollar bilan
tushuntiriladi. Maqola matematika fani bilan shug‘ullanayotgan o‘quvchilar va o‘qituvchilar uchun
nazariy bilimlarni chuqurlashtirishda va amaliyotda qo‘llashda foydali bo‘lishi kutiladi.
Funksiya tushunchasining ta’rifi.
Amalda biz ko‘pincha turli o‘zgaruvchilar o‘rtasidagi
bog‘liqliklarga duch kelamiz. Bunday o‘zaro bog‘langan miqdorlarga misollar: doiraning radiusi va
yuzasi; joyning balandligi va havo bosimi; metall buyumning massasi va uning zichligi; y = x + 1
tenglamasini qanoatlantiruvchi x va y o‘zgaruvchilarning qiymatlari va boshqalar.
O‘zgaruvchilarning o‘ziga xos ma’nosidan chetga chiqamiz va faraz qilaylik, x va y shunday
bog‘langanki, qaralaytgan x ning har bir qiymatiga y ning bitta aniq qiymati mos kelsin. Bunday
holda, x va y qiymatlari funksional bog‘liqlik bilan o‘zaro bog‘langan, deb aytamiz.
O‘lchov birliklarini tanlagandan so‘ng, har qanday o‘zgaruvchining qiymatlari sonlar bilan
ifodalanadi. Shuning uchun, aslida, biz sonlar orasidagi ma’lum bir funksional munosabatni
o‘rganamiz.
Ta’rif.
D to‘plamidagi har bir x soniga qandaydir aniq belgilangan y sonini mos qo‘yuvchi
moslikka D aniqlanish sohaga ega funksiya deb aytiladi.
Bunday holda, x o‘zgaruvchining qiymati erkli o‘zgaruvchi (argument) deb ataladi va qiymatlari x
ning tanlangan qiymatlari bilan belgilanadigan y qiymati esa erksiz o‘zgaruvchi yoki x
argumentning funksiyasi deb ataladi.
Funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasi.
Funksiyalar odatda lotin (ba’zan esa yunon)
harflari bilan belgilanadi. Ixtiyoriy f funksiyani qaraylik. x soniga mos keladigan y soni f
funksiyaning x nuqtadagi qiymati deyiladi va y = f(x) bilan belgilanadi. Bunda biz y x ning
funksiyasi deymiz (y teng f x kabi o‘qiladi).
f funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) kabi belgilanadi. x - f funksiyaning aniqlanish sohasiga
tegishli bo‘lgan barcha f(x) sonlardan tashkil topgan to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi
deyiladi va E(f) kabi belgilanadi.
Funksiya tushunchasi va aniqlanish sohasi ta’riflaridan kelib chiqadiki, funksiya berilgan
hisoblanadi, agar:
- bu funksiyaning D aniqlanish sohasi ko‘rsatilgan bo‘lsa;
- f ko‘rsatilgan qoida yordamida argumentning har bir
D
x
qiymatiga unga mos keladigan
funksiya qiymatini topish mumkin bo‘lsa.
Misol 1.
y = x
2
+1 (yoki f(x) = x
2
+1),
2
2
-
х
ko‘rinishda berilgan funksiyaning aniqlanish
sohasi
[
]
2
;
2
)
(
-
=
f
D
kesmadan iborat. Berilan funksiyaning qiymatlari sohasi
[ ]
5
;
1
)
(
=
f
E
dan
iboratligini tekshirish qiyinmas.
Ko‘pgina hollarda, biror ifoda bilan aniqlangan funksiyaning ushbu ifodaning barcha mavjudlik
sohasida aniqlanish sohasi aniq ko‘rsatilmaydi. Masalan, aylana radiusi va uning uzunligi
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
o‘rtasidagi munosabatni ifodalovchi funksiya
R
C
p
2
=
formula bilan beriladi. Shubhasiz, ushbu
funksiyaning D aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar to‘plamidan iborat. Bunda D funksiyaning
tabiiy aniqlanish sohasi deyiladi. Keyinchalik, funksiyaning aniqlanish sohasi aniq ko‘rsatilmagan
hollarda, D ni tabiiy aniqlanish sohasi deb tushunishga kelishib olamiz.
Misol 2.
Quyidagi funksiyaning aniqlanish sohasini aniqlanish sohasini topamiz:
2
3
1
)
(
2
+
-
+
=
x
x
x
x
f
Ushbu misolda, birinchi navbatda, x argumenti qabul qila olmaydigan qiymatlarni topish osonroq.
Ko‘rinib turibdiki, x=1 va x=2 da kasrning maxraji nolga aylanadi. Nolga bo‘lish mumkin emasligi
sababli, 1 va 2 sonlari D(f) aniqlanish sohasiga kirmasligi tabiiy. x argumentining boshqa qiymatlari
uchun funksiyaning mos qiymatlarini osongina hisoblashimiz mumkin. Masalan, x=3 da:
2
2
4
2
3
3
3
1
3
)
3
(
2
=
=
+
-
+
=
f
.
Demak, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi x=1 va x=2 sonlaridan tashqari barcha sonlar o‘qi
hisoblanadi, ya’ni
)
;
2
(
)
2
;
1
(
)
1
;
(
)
(
+
-
=
f
D
.
Keyinchalik x argumentining qiymatlari deganda biz faqat haqiqiy sonlarni nazarda tutamiz
(umuman olganda, boshqa sonlar ham bo‘lishi mumkin, masalan, kompleks sonlar) va faqat haqiqiy
qiymatlarni qabul qiladigan funksiyalarni qaraymiz. Bunday funksiyalar haqiqiy o‘zgaruvchili
haqiqiy funksiyalar deyiladi.
Funksiyalar ustida amallar.
Endi ikkita funksiyaning tengligi va funksiyalar ustida amallar
tushunchasini aniqlaylik, chunki matematik analizda ko‘pincha "funksiyalar teng", "funksiyalar
yig‘indisi" va boshqa iboralardan foydalanishga to‘g‘ri keladi.
Ta’rif.
f(x) va g(x) funksiyalar teng deyiladi, agar:
1.
ularning aniqlanish sohalari bir xil bo‘lsa;
2.
aniqlanish sohasidagi argumentning bir xil qiymatlariga mos keluvchi funksiyalarning
qiymatlari ham teng bo‘lsa.
Misol 3.
R
x
x
y
+
=
,
1
2
bo‘lsin. U holda bu funksiya uchun D = R, E= [1;+
). Bu funksiya 1-
misoldagi funksiyadan farq qiladi, chunki ularning aniqlanish sohalari turlicha.
Misol 4.
7
49
)
(
2
-
-
=
x
x
x
f
va
7
)
(
+
=
x
x
g
funksiyalar har xil, Chunki f(x) ning aniqlanish sohasi
(
)
+
-
;
7
)
7
;
(
to‘plamdan, g(x) ning aniqlanish sohasi esa barcha sonlar o‘qidan iborat.
Agarda ikkala funksiya ham
(
)
+
-
;
7
)
7
;
(
to‘plamda berilgan deb hisoblansa, u holda ular
ta’rifga ko‘ra teng bo‘ladi.
Endi
f(x) va g(x) – aniqlanish sohalari D
1
va D
2
bo‘lgan ikkita funksiya bo‘lsin.
)
0
(
2
1
=
D
D
D
D
belgilab olamiz.
Ta’rif.
f(x) va g(x) funksiyalar yig‘indisi D to‘plamda aniqlangan F(x) funksiya bo‘lib, D dagi
barcha x lar uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
F
+
=
.
Ikki funksiyaning ayirmasi, ko‘paytmasi yoki nisbatlari shunga o‘xshash ta’riflanadi. Shu bilan
birga, f(x) va g(x) funksiyalarining Ф(х) nisbatini aniqlashda biz Ф(х) ning aniqlanish sohasi
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
Ф
=
kasrning g(x) maxraji nolga aylanadigan x qiymatlardan tashqari barcha D to‘plami
deb hisoblashimiz kerak.
Misol 5.
1
)
(
,
)
(
-
=
=
x
x
g
x
x
f
bo‘lsin. Ravshanki, D
1
=[0;+
),
)
;
(
2
+
-
=
D
. U holda
)
;
0
[
2
1
+
=
=
D
D
D
;
1
)
(
-
=
x
x
x
Ф
funksiyaning aniqlanish sohasi esa [0;1)
(1;+
)
to‘plamdan iborat bo‘ladi.
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
Funksiya va uning argumenti o‘rtasidagi moslik qonuni turli yo‘llar bilan berilishi mumkin: analitik,
jadval yordamida, grafik va boshqalar.
Funksiya berilishining analitik usuli.
Funksiya va argument o‘rtasidagi moslik qonuni odatda
formula yordamida beriladi. Funksiya y = f(x) formula yordamida berilgan bo‘lsin. U holda
tenglikning o‘ng tomoni, ya’ni f(x) - funksiyaning analitik ifodasi, formula yordamida funksiyaning
berilishi esa analitik usul deyiladi.
Funksiya berilishining analitik usuli shundan iboratki, formula yordamida y = f(x) funksiya
qiymatlarini hisoblash algoritmi argumentning har bir qiymati uchun maxsus o‘rnatiladi. Funksiyani
analitik berilishda D(f) aniqlanish sohasi yoki koʻrsatiladi, masalan, f(x)= x+1, D(f) = [0 ; 1] yoki u
ko‘rsatilmaydi, D(f) - ushbu formula ma’noga ega bo‘ladigan x qiymatlar to‘plamini anglatadi.
Masalan,
x
x
f
=
)
(
- analitik berilgan funksiya. Ushbu funksiyaning aniqlanish sohasi deganda
uning tabiiy aniqlanish sohasi, ya’ni
).
;
0
[
)
(
+
=
f
D
to‘plam tushuniladi.
Ba’zan funksiya turli to‘plamlarda aniqlangan turli formulalar bilan beriladi.
Misol 6.
у = - х
2
, agar х < 0 bo‘lsa, у = х
2
, agar
0
х
bo‘lsa, formulalar bilan funksiya
(
)
+
-
;
oraliqda analitik beriladi. Shu tarzda berilgan funksiya odatda quyidagi ko‘rinishda
yoziladi:
<
-
=
.
0
,
0
,
2
2
x
x
x
x
y
Ushbu misolda ikkita funksiya emas, balki ikkita formula mavjud bo‘lib, ular birgalikda bitta
funksiyani belgilaydi.
Ba’zan funksiya murakkabroq tuzilish to‘plamlarida turli formulalar bilan beriladi. Bunday
funksiyaga Dirixle funksiyasini misol qilib keltirish mumkin:
D x = 1, agar x ratsional bo‘lsa,
0, agar x irratsional bo‘lsa.
Funksiya berilishining jadval usuli.
Amalda funksiya berilishining analitik usuli ko‘pincha
noqulay bo‘lib chiqadi, chunki u har bir alohida holatda ko‘p va noqulay hisob-kitoblarni amalga
oshirish zarurati bilan birga keladi. Shu munosabat bilan, amaliy maqsadlarda, eng ko‘p
ishlatiladigan funksiyalarning qiymatlari ko‘p sonli argument qiymatlari uchun oldindan hisoblab
chiqiladi va bunday funksiyalarning qiymatlari jadvali tuziladi. Masalan, matematikadan turli xil
ma’lumotnomalarda tez-tez ishlatiladigan:
y=x
2
, y= x , y=sinx
va boshqa funksiyalar qiymatlari
jadvallarini topish mumkin.
Agar x argumentining qiymatlarini y miqdorining mos keladigan qiymatlari bilan taqqoslaydigan
jadval mavjud bo‘lsa, u holda qandaydir y(x) funksiya berilgan bo‘ladi. Funksiya berilishining
bunday usuli jadval usuli deb ataladi. Jadval usulining afzalliklari shundan iboratki, jadvaldagi x
argumentining berilgan qiymatlari uchun y funksiyasining mos qiymatlarini qo‘shimcha hisob-
kitoblarsiz topish mumkin.
Ushbu usulning kamchiliklari quyidagilardan iborat: oshkorlikning yo‘qligi, ya’ni funksiyaning
o‘zgarishi haqida biror fikr bildirish qiyin; jadvaldan funksiyaning oraliq qiymatlarini aniqlash
mumkin emas.
Agar funksiya analitik usulda berilgan bo‘lsa, uning uchun har doim biror qiymatlar jadvalini tuzish
mumkin. Agar funksiya jadval yordamida berilgan bo‘lsa, u holda umumiy holda uning jadval
ma’lumotlaridan funksiyaning aniq analitik ifodasini topish mumkin emas. Bundan tashqari, bir xil
qiymatlar jadvaliga bir nechta analitik ifodalar mos kelishi mumkin. Masalan, quyidagi jadval
berilgan bo‘lsin:
х
-1
1
0
у
1
1
0
Unga kamida ikkita funksiya,
х
у
=
va
2
х
у
=
lar mos keladi. Biroq, agar berilgan qiymatlar
jadvali qanday ko‘rinishdagi funksiyaga mos kelishi oldindan ma’lum bo‘lsa, u holda bu qiymatlar
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
orqali funksiyani aniqlaydigan analitik ifodani tuzish mumkin. Masalan, у = кх + в (bu yerda к va в
– biror sonlar) ko‘rinishdagi chiziqli funksiyaning qiymatlar jadvali berilgan bo‘lsin:
х
1
2
3
у
-1
0
1
Chiziqli funksiyaning aniq ifodasini topish talab qilinadi, ya’ni к va в qiymatlarini aniqlashimiz
kerak. Ularni topish uchun jadvaldagi x va y o‘zgaruvchilar qiymatlarini у=кх+в formulasiga
qo‘yamiz. Faqat ikkita noma’lum bo‘lganligi sababli, x va y qiymatlardan ikkitadan olish yetarli.
х = 1 da у = -1ga teng va х = 3 da у = 1 ga teng. Quyidagi sistemani yozamiz:
+
=
+
=
-
в
к
в
к
3
1
1
1
Uni yechib, к =1, в = - 2 larni hosil qilamiz. Demak, izlanayotgan funksiya
у = х – 2 ko‘rinishga ega ekan.
Shunga o‘xshash uchta qiymat orqali
y=ax
2
+bx+c
(a,b,c – sonlar) ko‘rinishdagi berilgan qiymatlar
jadvaliga mos keluvchi kvadrat funksiyani topish mumkin.
Funksiya berilishining grafik usuli.
Funksiya berilishining grafik usuli y = f(x) funksiyani uning
grafigi orqali ochiq oshkor tasvirlashdan iboratdir.
Ta’rif.
D to‘plamida berilgan у = f(x) funksiyasining grafigi deb koordinatalar tekisligining
M x,f x , x∈D
ko‘rinishdagi barcha nuqtalarining G to‘plamiga aytiladi, ya’ni
G= M(x,f x ) x∈D
.
Ko‘pincha funksiya grafigi – bu koordinatalar tekisligidagi biror-bir chiziqdir. Agar x argumenti
faqat alohida qiymatlarni qabul qilsa, masalan, x
N, u holda funksiya grafigi alohida nuqtalar
to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Misol 7.
y = n
2
, n
N funksiya grafigi koordinatalar tekisligida
G= M n,n
2
,n∈N
nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Shuni ta’kidlash kerakki, koordinatalar tekisligidagi har qanday chiziq biror funksiyaning grafigi
bo‘lavermaydi. Masalan, aylana hech qanday funksiyaning grafigi bo‘la olmaydi, chunki aylana x
o‘qiga perpendikulyar chiziqni bir nechta nuqtada kesishi mumkin.
G chiziq biror funksiyaning grafigi hisoblanadi, agarda y o‘qiga parallel bo‘lgan har bir to‘g‘ri
chiziq yo bu chiziq bilan kesishmasa, yoki uni faqat bir nuqtada kesib o‘tsa. Masalan, 1 - rasmdagi
egri chiziq qandaydir funksiyalarning grafigi.
D to‘plamida у = f(x) funksiyasini chizish uchun x
1
, x
2
, ... , x
n
argumentining bir nechta qiymatlari
tanlanadi, f(x
1
), f(x
2
), .... , f(x
n
) funksiyasining mos qiymatlari topiladi va koordinatalar tekisligida
M
1
(x
1
; f(x
1
)), M
2
(x
2
; f(x
2
)), ... , M
n
(x
n
; f(x
n
)) nuqtalar belgilanadi. Keyin olingan nuqtalarni silliq
chiziq bilan tutashtirib, funksiya grafigining taqriban tasviri (eskizi) hosil qilinadi.
1-rasm
Misol 8.
y = x
2
+ 1, -2
x
2 funksiya grafigi(eskizi)ni chizing.
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
x argumentining –2, -1, 0, 1, 2 qiymatlarini tanlaymiz. Ularga funksiyaning 5, 2, 1, 2, 5 qiymatlari
mos keladi. Endi koorsinatalar tekisligida M
1
(-2;5), M
2
(-1;2), M
3
(0;1), M
4
(1;2), M
5
(2;5) nuqtalarni
tasvirlaymiz hamda ularni silliq chiziq bilan tutashtiramiz. Natijada 2-rasmda tasvirlangan
grafikning eskizini hosil qilamiz.
Barcha funksiyalarning grafiklari silliq va faqat bitta egri chiziqdan iborat deb o‘ylash
kerakmas. Masalan, 3-rasmda ko‘rsatilgan funksiya grafigi cheksiz sonli birlik uzunlikdagi alohida
yarim kesmalardan iborat. Kesmaning chap uchi grafikka tegishli, lekin o‘ng uchi tegishli emas.
2-rasm
3-rasm
Funksiya berilishining grafik usuli keng tarqalgan. Masalan, meteorologiyada bosim va vaqt
o‘rtasidagi funksional bog‘liqlikni grafik tarzda tasvirlaydigan egri chiziqlarni chizadigan asboblar
qo‘llaniladi. Funksiya berilishining grafik usuli afzalliklari uning ko‘rinishini o‘z ichiga oladi, ya’ni
qaralayotgan funksiyani o‘zgartirish jarayoni haqida umumiy tasavvurga ega bo‘lishimiz mumkin.
Grafikning eskizi bir nechta nuqtalar orqali qurilayotganligi sababli, grafikdan funksiyaning boshqa
oraliq qiymatlarini faqat taxminan topish mumkin. Shuning uchun grafik usulining kamchiliklariga
uning noaniqligini keltirish mumkin.
Funksiyaning so‘zlar orqali berilish usuli.
Ba’zi hollarda funksiyani yuqoridagi usullardan birida
berish qiyin yoki imkonsizdir va u so‘zlar orqali beriladi. Argumentning berilgan qiymati bo‘yicha
funksiyaning mos qiymatini topishga imkon beruvchi moslik qonunining so‘zlar orqali tavsifi
yordamida funksiyani berish – funksiyaning so‘zlar orqali berilish usuli deb ataladi.
Misol 9.
f(n), n
N -
2
sonining cheksiz o‘nli kasr yoyilmasidagi verguldan keyingi n-chi
o‘rindagi turgan raqamga teng bo‘lsin. Bunday funksiya uchun f(1) = 4, f(2) = 1, f(4) =2 va h.o.
bo‘ladi, chunki 2 = 1,4142 ... .
Misol 10.
у berilgan x haqiqiy sondan oshib ketmaydigan eng katta butun sonni bildirsin. Bu
funksiyani odatda y = [x] (o‘qiladi: y x ning butun qismiga teng) kabi belgilashadi. Masalan, f(1) =
1, f(1,2) = 1, f(-2) = -2, f(-2,5) = -3 va h.o.
D(f) aniqlanish sohasiga ega f(x) funksiyasi uchun matematika yordamida ko‘p hollarda quyidagi
xususiyatlarni aniqlash mumkin:
1) Funksiya nollari va ishoralari;
2) O‘sish va kamayish oraliqlari;
3) Chegaralanganlik yoki chegaralanmaganlik;
4) Juftlik yoki toqlik;
5) Davriylik.
Funksiya nollari va ishoralari.
Ta’rif.
f(x) funksiya nolga aylanadigan х
0
D(f) qiymati funksiyaning noli deb ataladi, ya’ni
funksiyaning nollari f(x) = 0 tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
Misol 11.
у = х
2
– 1funksiyani qaraylik. х = -1 va х = 1 lar bu funksiyaning nollari ekani ko‘rinib
turibdi
Misol 12.
у = х
2
- 1,
3
2
х
funksiyani qaraylik. Bu funksiya berilgan aniqlanish sohasida
nollarga ega emas, chunki х
2
- 1= 0 tenglamaning ildizlari, ya’ni х =
1 lar [2;3] kesmaga tegishli
emas.
Funksiya qiymatlari musbat bo‘lgan oraliqda funksiya grafigi OX o‘qining yuqorisida joylashadi va
qiymatlari manfiy bo‘lgan oraliqda grafik OX o‘qining pastki qismida joylashadi. Bunday oraliqlar
funksiyaning ishora o‘zgarmaslik oraliqlari deyiladi. Funksiyaning nollarida grafik x o‘qi bilan
umumiy nuqtaga ega bo‘ladi.
Monoton
funksiyalar.
Funksiya
grafik usulda egri chiziq bilan
berilgan bo‘lsin(4-rasm).
Rasmdan ko‘rinib turibdiki, х = х
0
dan х = х
2
gacha egri chiziq tepaga
ko‘tarilgan, ya’ni x ning katta
qiymatlariga y ning katta qiymatlari
mos
kelgan.
Bunday
holda funksiya o‘sadi, deymiz.
4-rasm
Shu bilan birga, х = х
2
dan х = х
3
gacha bo‘lgan qismida egri chiziq
pastga tushadi, shuning uchun x ning
katta qiymatlariga y ning kichik qiymatlari mos keladi. Bunday holda, funksiya kamayadi.
Endi funksiyaning o‘sish va kamayish tushunchalarining aniq ta’riflarini keltiramiz.
Ta’rif.
Agar D to‘plamdan olingan har qanday ikkita
x
1
va
x
2
qiymatlari uchun
x
1
<x
2
tengsizlikdan
f(x
1
)<f(x
2
)
(mos ravishda
f x
1
>f(x
2
)
) tengsizlik kelib chiqsa, u holda D da
funksiya o‘suvchi (mos ravishda kamayuvchi) deyiladi.
Shunday qilib, f(x) funksiya D to‘plamda o‘sadi (mos ravishda kamayadi), agarda argumentning
katta qiymatiga funksiyaning katta (mos ravishda kichik) qiymati mos kelsa. (5-rasmda a) va b))
5-a-rasm
5-b-rasm
Ta’rif.
Agar x
1
< x
2,
x
1 ,
, x
2
D dan f(x
1
)
f(x
2
)( mos ravishda f(x
1
)
f(x
2
) tengsizlik kelib chiqsa,
f(x) funksiya D to‘plamda noqat’iy o‘suvchi (mos ravishda, noqat’iy kamayuvchi) deyiladi.
Noqat'iy o‘suvchi (noqat'iy kamayuvchi) funksiyalarning grafiklari o‘sish (kamayish) qismlardan
tashqari gorizontal qismlarga, ya’ni x o‘qiga parallel chiziqlarga ham ega bo‘lishi mumkin.
D to‘plamda o‘suvchi yoki kamayuvchi funksiyalar D to‘plamda monoton, D to‘plamda noqat’iy
o‘suvchi yoki noqat'iy kamayuvchi funksiyalar D to‘plamida noqat’iy monoton deyiladi.
Xulosa.
Funksiya tushunchasi matematikaning asosiy va fundamental bo‘limlaridan biri hisoblanadi.
Uning aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi, berilish usullari va asosiy xossalarini chuqur o‘rganish
ILMIY TADQIQOTLAR VA ULARNING YECHIMLARI JURNALI
JOURNAL OF SCIENTIFIC RESEARCH AND THEIR SOLUTIONS
VOLUME 6, ISSUE 01, IYUL 2025
WORLDLY KNOWLEDGE NASHRIYOTI
worldlyjournals.com
matematik bilimlarning mustahkam poydevorini yaratadi. Funksiya yordamida real hayotdagi
ko‘plab jarayon va hodisalarni matematik modelga aylantirish mumkin. Shu sababli, funksiyaning
qanday berilishi, uning qanday xossalarga ega ekanligini tushunish, kelgusidagi murakkab
matematik masalalarni hal etishda muhim ahamiyat kasb etadi.
Maqolada funksiyaning ta’rifi, uni berish usullari va asosiy xossalari haqida tushunchalar izoh va
misollar asosida bayon qilindi. Ushbu bilimlar nafaqat nazariy ahamiyatga ega, balki kundalik
hayotda, fan-texnika rivojida, ilmiy tadqiqotlar olib borishda va turli kasbiy faoliyatlarda keng
qo‘llaniladi.
Funksiya va uning xossalarini o‘rganish o‘quvchilarga nafaqat matematik tafakkurni rivojlantirish,
balki mantiqiy fikrlash va muammolarni hal qilish ko‘nikmalarini shakllantirishda ham yordam
beradi. Shu bois, ushbu mavzu har bir matematikaga qiziquvchi shaxs uchun zarur va dolzarbdir.
A D A B I Y O T L A R:
1.
Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuhamedov, M.A. Mirzahmedov
. Algebra vaanalizasoslari. 10 -
sinfuchundarslik. T., O‘qituvchi, 2003.
2.
Sh.A. Alimov, A.R. Xalmuhamedov, M.A. Mirzahmedov
. Algebra vaanalizasoslari. 11 -
sinfuchundarslik. T., O‘qituvchi, 2004.
3.
А.Н. Колмогоров и др
. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней
школы. М., Просвещение, 1990 .
4.
Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд
. Алгебра и математический
анализ для 10 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным
изучением математики. М., Просвещение, 1992.
5.
Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд
. Алгебра и математический
анализ для 11 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным
изучением математики. М., Просвещение, 1998.
6.
Э.М.Сайдаматов, А.К,Аманов, А.С.Юнусов, С.С.Хаджабагян
. Алгебра и основы
математического анализа., часть 1. Учебное пособие для учащихся академических лицеев с
углубленным изучением математики. Т. «Ўқитувчи». 2016.
7.
Э.М.Сайдаматов, А.К,Аманов, А.С.Юнусов, С.С.Хаджабагян
. Алгебра и основы
математического анализа. Часть 2. Учебное пособие для учащихся академических лицеев с
углубленным изучением математики. Т. «Илм зиё». 2016.
8.
Сканави и др
. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. М., Мир и
образование, 2001.
