MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
3
UCH O’LCHOVLI YEVKLID FAZOSINING VEYL AKSIOMALAR
SISTEMASI
Zaxriddinova Shaxlo Zahiriddin qizi
Matematika va ta’limda axborot texnologiyasi kafedrasi o’qituvchisi
Mirzaeva Shahlo Abdurahmonovna
Shahrisabz davlat pedagogika institute
“Matematika va ta’limda axborot texnologiyalari” kafedrasi katta
oʻqituvchisi
Asadova Shaxina Halim qizi
Shahrisabz davlat pedagogika instituti matematika va informatika yo’nalishi
2-bosqich talabasi
Annotatsiya: Mazkur ishda uch oʻlchovli Yevklid fazosi uchun Veyl
aksiomalar sistemasi tahlil qilinadi. Geometriyaning aksiomatik asoslari, xususan, E.
Veyl tomonidan taklif etilgan aksiomalar orqali fazoning tuzilishi aniqlanishi, uning
metrik va affinning uzviy bogʻliqligi yoritiladi. Veyl aksiomalari yordamida fazodagi
nuqta, toʻgʻri chiziq va tekisliklar orasidagi munosabatlar qatʼiy aksiomatik tarzda
aniqlanadi, bu esa Yevklid fazosining toʻliq va mantiqiy asoslangan modelini
qurishga imkon beradi. Ishda shuningdek, Veyl aksiomalarining Euklid
geometriyasidagi anʼanaviy aksiomalar bilan qiyosiy tahlili keltirilib, ularning
ustunlik va chegaralari ko‘rib chiqiladi.
Kalit so`zi: Yevklid fazosi ,Veyl aksiomalari ,Uch oʻlchovli geometriya,
Aksiomatik tizim ,Affin fazo ,Metrik fazo ,Geometrik modellashtirish ,Toʻgʻri chiziq
,Tekislik ,Geometriyaning asoslari.
Аннотация: В данной работе анализируется система аксиом Вейля для
трехмерного евклидова пространства. Аксиоматические основы геометрии, в
частности аксиомы, предложенные Э. Вейлем, проясняют структуру
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
4
пространства и его внутреннюю связь с метрикой и аффинностью. Используя
аксиомы Вейля, отношения между точками, прямыми и плоскостями в
пространстве определяются строго аксиоматически, что позволяет
построить полную и логически обоснованную модель евклидова пространства.
В работе также представлен сравнительный анализ аксиом Вейля с
традиционными аксиомами евклидовой геометрии и рассмотрены их
преимущества и ограничения.
Ключевые слова: Евклидово пространство, Аксиомы Вейля, Трехмерная
геометрия,
Аксиоматическая
система,
Аффинное
пространство,
Метрическое пространство, Геометрическое моделирование, Прямая,
Плоскость, Основы геометрии.
Abstract: This work analyzes the Weyl axiom system for three-dimensional
Euclidean space. The axiomatic foundations of geometry, in particular, the axioms
proposed by E. Weyl, which determine the structure of space, its integral connection
between metric and affine, are highlighted. Using Weyl axioms, the relationships
between points, lines, and planes in space are determined in a strictly axiomatic
manner, which allows us to build a complete and logically based model of Euclidean
space. The work also presents a comparative analysis of Weyl axioms with traditional
axioms in Euclidean geometry, and their advantages and limitations are considered.
Keywords: Euclidean space, Weyl axioms, Three-dimensional geometry,
Axiomatic system, Affine space, Metric space, Geometric modeling, Straight line,
Plane, Fundamentals of geometry.
Kirish:
Yevklid fazosi — Yevklid geometriyasida oʻrganiladigan tekislik va
uch oʻlchovli fazoning umumlashgani. Agar vektor fazoda ixtiyoriy x, u vek- torga
quyida keltirilgan aksiomalarni qanoatlantiruvchi va (x, u) deb belgilanuvchi son mos
qoʻyilgan boʻlsa, bu vektor fazo Yevklid fazosi, (x, u) soni esa skalyar koʻpaytma
deyiladi .Aksiomalar :
( x ,x).0; x=0 bo`lgan xildagina ( x,x)=0
( x, u)=(x,u)
(Xx, u)= X( x,u)
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
5
(x+u ,2) = ( x,2)+(u, 2)
Skalyarning haqiqiy yoki kompleksliligiga karab mos ravishda haqiqiy
Yevklid fazosi kompleks Yevklid fazosi deb yuritiladi. Agar Yevklid fazosi hosil
qilgan vektor fazo (i) oʻlchovli boʻlsa, Yevklid fazosi ham § oʻlchovli deyiladi.
Baʼzan, faqat chekli oʻlchovli fazolargina Yevklid fazosi deb ataladi. Yevklid
fazosida formula bilann vektor uzunligi, ikki vektor orasidagi burchak aniqlanadi.
Uch o‘lchamli maydon -moddiy dunyoning geometrik modelidir. Bu fazo
uzunlik, kenglik va balandlik bo’yicha uchta bir xil o'lchamga ega. Bu uch birlik
ortogonal vektorlar bilan tavsiflanadi. Shuning uchun ham uch o‘lchovli maydon deb
ataladi.
z
P( x,y,z) x o`qi o`quvchi tomon
yo`naltirilgan uch o`lchovli koordinatalar tizimi
x
y
Insonning uch o‘lchamli fazo haqidagi tushunchasi uning go‘daklik
davridayoq
shakllanib
boradi
hamda
hayoti
davomida
harakatlarini
muvofiqlashtirishi bilan chambarchas bog‘liq sanaladi. Atrofdagi olamni sezgi
organlari bilan uch o‘lchovda idrok etishning vizual qobiliyati chuqurlik idroki deb
ataladi. Analitik geometriyada uch o‘lchamli fazodagi har bir nuqta uchta kattalik -
koordinatalar to‘plami sifatida ifodalanadi. Boshida kesishuvchi uchta o'zaro
perpendikulyar koordinata o‘qi beriladi. Nuqtaning o‘rni shu uch o‘qga nisbatan
tartiblangan uchlik sonlarni ko‘rsatish orqali beriladi. Ushbu raqamlarning har biri
tegishli o‘q bo‘ylab o‘lchanadigan boshlang‘ich nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan
masofani ko‘rsatadi, bu nuqtadan boshqa ikkita o’q hosil qilgan tekislikgacha bo‘lgan
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
6
masofaga teng bo’ladi. Bundan tashqari, boshqa koordinata tizimlari ham mavjud
bo‘lib, ular orasida silindrsimon va sferik tizimlar eng ko‘p qoʻllanadi. Yana bir
qarash chiziqli algebrada mavjud, ya’ni bu yerda chiziq mustaqilligi tushunchasi
muhim rol o‘ynaydi. Maydon, qutining balandligi uning uzunligi va kengligiga
bog'liq bo’lmaganligi sababli uch o'lchamli hisoblanadi. Chiziqli algebra tilida fazo
uch o'lchovlidir.Chunki har bir nuqta uchta chiziqli mustaqil vektorlarning
kombinatsiyasi bilan berilishi mumkin. Bu fazoviy atamalar bilan aytganda, to'rt
o'lchovli, chunki nuqtaning vaqtdagi holati uning fazodagi holatiga bog'liq emas. Uch
o‘lchamli fazo uni boshqa o‘lchamdagi maydonlardan ajratib turadigan bir qancha
xususiyatlarga ega. Masalan, bu eng kichik o‘lchamdagi maydon bo‘lib, unda siz
arqonning bir qismiga tugun bog‘lashingiz mumkin . Ko‘pgina fizika qonunlari,
masalan, ko‘plab teskari kvadrat qonunlari bizning fazomizning o‘lchami uchta
ekanligi bilan bog'liq. Nol o‘lchamli, bir o‘lchamli va ikki o‘lchamli fazolarni uch
o'lchamli fazoda joylashgan deb hisoblash mumkin. Uning o‘zini esa to‘rt o‘lchamli
fazo modelining bir qismi deb hisoblash mumkin (to‘rtinchi o‘lchov ba’zan vaqt deb
ataladi) .
Kongruensiya (moslik) aksiomalari. Uzunlik va burchaklar moslashgan bo`lsa
ularning segmentlari va burchaklari kongruent (mos) deb qaraladi.
Kongruensiya relatsiyasi ekvivalentlik relatsiyasi bo`lib , quyidagilarga ega :
Refleksivlik , Simmetriklik , Tranzitivlik .
Veyl aksiomalari sistemasi
: 1916 yilda nemis matematigi German
Veyl(1885— 1955) tomomidan taklif qilingan aksimalar fanda vektorli aksiomtika
deb yuritilib, Gilbert aksiomalar sistemasiga nisbatan soddaligi bilan farq qiladi,
bundan tashqari bu aksiomatika xozirgi zamon matematikasini qulay bilimlar bilan
uzviy bog`langanligi bilan ajralib turadi.
Bu sistemada asosiy tushunchalar sifatida “Vektor” va “ Nuqta “ qabul
qilingan.
1916 yilda nemis matematigi German Veyl(1885— 1955) tomonidan taklif
kilingan aksi omatika fanda vektorli aksiomatika deb yuritilib, Gilbet aksiomalan
sistemasi ga nisbatan soddaligi bilan farq qiladi, bundan tashqari bu aksiomatika
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
7
xozirgi zamon matematikasini talay bulimlani bilan uzviy boglanganligi Bu sistemada
asosiy tushunchalar sifatida “Vektonni qo`shiash “ “Vektorlarni skalyar ko`paytiriah
“ “ Vektorlarni nuqtadan boshlab qo`yish”dir. Bu munosabatlarni barcha xossalari
quyidagi besh gurppa aksiomalari o`z ifodasini topgan.
1 . Vektorlarni qo`shish aksiomalari.
Istalgan ikki
𝑎
⃗⃗⃗
,
𝑏
⃗⃗⃗
vektorga ularning yig`indisi deb ataladigan
𝑎
+
𝑏⃗
vektor
mos keltirib, bu amal xossalari ushbu aksiomalarda ifodalanadi:
a)
Ixtiyoriy
𝑎
⃗⃗⃗
,
𝑏
⃗⃗⃗
vektor uchun
𝑎
+
𝑏⃗
=
𝑏
⃗⃗⃗
+
𝑎
⃗⃗⃗
tenglik
bajariladi.
b)
Ixtiyoriy
𝑎
⃗⃗⃗
,
𝑏
⃗⃗⃗
,
𝑐
⃗⃗
vektorlar uchun (
𝑎
+
𝑏⃗
)+
𝑐
⃗⃗
=
𝑎
+ (
𝑏⃗
+
𝑐
⃗⃗
) tenglik bajariladi.
c)
Nol vektor deb atalgan
0
⃗⃗⃗
vektor mavjud bo`lib, ixtiyoriy
vektor uchun
𝑎
+
0
⃗⃗⃗
=
𝑎
⃗⃗⃗
tenglik bajariladi.
Xulosa:
Uch o`lchovli Yevklid fazosining Veyl aksiomalari fazodagi
geometrik munosabatlarni aniq va qat`iy tarzda ifodalash uchun mo`ljalalangan
aksiomatik tizimdir. Bu aksiomalar : Geometrik obyektlar mavjudligi va ularning
o`zaro munosabatlarini ( nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar ) ;
Uzunlik va burchak kabi metrik tushunchalarlarni;
Kongruensiya (moslik) va tartib munosabatlarini; hamda parallelik
xususiyatlar aniqlaydi. Veyl aksiomalari Yevklid geometriyasining asosiy
xususiyatlarlarini qat`iy mantiqiy asosda ifodalab, fazoviy strukturalarining nazariy
tahliliga imkon yaratadi .Bu esa zamonaviy matematikaning geometriya , topoliya va
fizika sohalarida mustahkam poydevor bo`lib xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
Ziyadullaev, Sardor, and Dilobar Norova. "THE COMPLEX NUMBERS AND
OPERATIONS ON THEM." TRANSFORMING EDUCATION THROUGH
SCIENTIFIC DISCOVERY 1.1 (2025): 1976-1981
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
8
1.
Zaxiriddinova Shaxlo Zahiriddin qizi, Baxromovna, Norova Dilobar.
"CHIZMA GEOMETRIYASI. MARKAZIY VA PARALLEL PROYEKSIYALAR
VA ULARNING XOSSALARI." IMRAS 8.3 (2025): 91-95.
2.
Zaxiriddinova Shaxlo Zahiriddin qizi, Baxromovna, Norova Dilobar.
"YEVKLIDNING “NEGIZLAR ASARI”. NOEVKLIDIY GEOMETRIYANING
VUJUDGA
KELISHI.
NI
LOBACHEVSKIY
VA
LOBACHEVSKIY
AKSIOMASIDAN KELIB CHIQADIGAN HULOSA." AMERICAN JOURNAL
OF APPLIED MEDICAL SCIENCE3.2 (2025): 181-185.
3.
Zaxiriddinova Shaxlo Zahiriddin qizi. “SKALYAR ARGUMENTLI VECTOR
FUNKSIYA. VEKTOR FUNKSIYANING HOSILASI.” EDUCATION SCIENCE
AND INNOVATIVE IDEAS IN THE WORD1.2. (2025): 69-71.
4.
Z. Tuychiyev, Sh. Zaxiriddinov, “DIFFERENSAL TENGLAMANI
ANALITIK VA UMUMIY YECHIMI”, “TABIIY FANLARNI FUNDAMENTAL
VA AMALIY MUAMMOLARI"
5.
DilobarXoshimova, Dilobar Norova. “TRIGONOMETRIYANI VUJUDGA
KELISHI,
RIVOJLANISHI
VA
TRIGONOMETRIK
IFODALARNI
HISOBLASH”. “XALQ TA’LIMI” ilmiy – metodik jurnali 6. (2024): 51-56.
6.
Turayev Ziyavutdin O‘ktamxonovich, Norova Dilobar.Baxromovna. “OCHIQ
DARSNI OʻTKAZISH TAFSILOTLARI VA MATEMATIKA FANIDA OCHIQ
DARS OʻTISH METODLARI.” International Journal of Education, Social Science
& Humanities. Finland Academic Research Science Publishers. 13. 2. (2025): 428-
432.
7.
Baxromovna, Norova Dilobar. "CHIZMA GEOMETRIYASI. MARKAZIY
VA PARALLEL PROYEKSIYALAR VA ULARNING XOSSALARI." IMRAS 8.3
(2025): 91-95.
8.
Baxromovna, Norova Dilobar. "YEVKLIDNING “NEGIZLAR ASARI”.
NOEVKLIDIY
GEOMETRIYANING
VUJUDGA
KELISHI.
NI
LOBACHEVSKIY
VA
LOBACHEVSKIY
AKSIOMASIDAN
KELIB
CHIQADIGAN HULOSA." AMERICAN JOURNAL OF APPLIED MEDICAL
SCIENCE3.2 (2025): 181-185.
MODERN EDUCATION AND DEVELOPMENT
Выпуск журнала №-28
Часть–1_Июнь –2025
9
9.
Xoliqulovna, Normurodova Sadoqat, and Norova Dilobar Baxromovna. "APP
GYVER PLATFORMA IMKONIYATLARINI OʻRGANISH." Modern education
and development 17 (2025): 152-159.
10.
Muzaffarovna, Jalolova Pokiza, Turayev Ziyavutdin Oʻktamxonovich, and
Norova Dilobar Baxromovna. "TALIS TOPSHIRIQLAR DORASIDA TUZILGAN
TOPSHIRIQLARDAN NAMUNALAR." Pedagogs 82.1 (2025): 193-197.
11.
Kodirov, Farrukh, Dilobar Norova, and Akbar Kodirov. "SOFTWARE
ENGINEERING: BASIC CONCEPTS." Журнал академических исследований
нового Узбекистана 2.5, 2-qism (2025): 154-157.
12.
Qodirov,
Farrux,
and
Dilobar
Norova.
"AXBOROTLASHGAN
JAMIYATNING O ‘ZIGA XOS JIHATLARI, AXBOROTLASHGAN
JAMIYATDA INSONNING TUTGAN O ‘RNI." Журнал академических
исследований нового Узбекистана 1.15 (2024): 16-19
13.
Kodirov, Farrukh, Sherquzi Rakhmatov, and Dilobar Norova. "IOT
(INTERNET OF THINGS) NETWORKS AND THEIR ADVANTAGES." Central
Asian Journal of Multidisciplinary Research and Management Studies 2.5-3 (2025):
58-61.
