“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-4027
_SJIF:
4.995
https://scientific-jl.com/ped
Volume-79, Issue-1, April -2025
148
OB’EKTLARNING KESISHISH NUQTALARI VA OPTIMIZATSIYA
MASALALARINI ALGEBRAIK VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI
TAQRIBIY YECHISH USULLARI BILAN HAL QILISH
Normamatov Hayriddin Mengniyevich
Osiyo texnologiyalari universiteti kata o’qituvchisi
O‘rolov Abdimajid Abdirashid o‘g‘li,
Osiyo texnologiyalari universiteti talabasi
Annotatsiya
Ushbu maqolada algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy
yechish usullari kompyuter grafikasi va optimizatsiya masalalarida qo‘llanilishi tahlil
qilinadi. Ob’ektlarning kesishish nuqtalarini aniqlash va optimallashtirish
jarayonlarida ushbu usullarning samaradorligi ko‘rib chiqiladi. Biseksiya, Nyuton-
Rafson va Sekant usullari kabi algoritmlarning afzalliklari va cheklovlari muhokama
qilinadi, shuningdek, ularning amaliy misollar bilan tasdiqlanishi keltiriladi.
Kalit so‘zlar:
Algebraik tenglamalar, Transsendent tenglamalar, Taqribiy
yechish usullari, Biseksiya usuli, Nyuton-Rafson usuli, Sekant usuli, Kesishish
nuqtalari, Optimizatsiya masalalari, Kompyuter grafikasi, Iteratsion algoritmlar,
Numerik tahlil, 3D modellashtirish, Gradient tushish, Ray tracing, Matematik
modellashtirish
Kirish
Matematik modellashtirishda algebraik (polinomial) va transsendent (masalan,
trigonometrik yoki eksponensial funksiyalarni o‘z ichiga olgan) tenglamalar ko‘p
uchraydi. Bu tenglamalar ko‘pincha aniq yechimga ega emas yoki analitik yechim
topish juda murakkab bo‘ladi. Shu sababli, taqribiy yechish usullari, ayniqsa,
ob’ektlarning kesishish nuqtalarini aniqlash va optimizatsiya masalalarini hal qilishda
muhim ahamiyatga ega. Ushbu sohalarda, masalan, kompyuter grafikasi, mashinaviy
o‘qitish va muhandislikda, tezkor va aniq taxminiy yechimlar zarur bo‘ladi. Maqola
ushbu usullarni tahlil qilishga va ularning amaliy qo‘llanilishini ko‘rsatishga
qaratilgan.
1. Taqribiy yechish usullari
1.1. Biseksiya usuli
Biseksiya usuli
f(x)=0
tenglamasini yechishda ishlatiladi, agar funksiya berilgan
[a,b]
intervalda uzluksiz bo‘lsa va
f(a)
⋅
f(b)<0
sharti bajarilsa. Har bir iteratsiyada
interval yarimlanadi va yechim toraytiriladi. Ushbu usulning asosiy afzalligi uning
soddaligi va barqarorligidir, ammo yaqinlashuv tezligi sekin bo‘ladi.
1.2. Nyuton-Rafson usuli
Nyuton usuli iteratsion formulaga asoslanadi:
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-4027
_SJIF:
4.995
https://scientific-jl.com/ped
Volume-79, Issue-1, April -2025
149
𝒙
𝒏+𝟏
= 𝒙
𝒏
−
𝒇(𝒙
𝒏
)
𝒇′(𝒙
𝒏
)
,
bu yerda
f′(x)
— funksiyaning hosilasi. Ushbu usul kvadratik yaqinlashuv
tezligiga ega, lekin boshlang‘ich taxminning to‘g‘ri tanlanishi va hosilaning mavjudligi
talab qilinadi.
1.3. Sekant usuli
Sekant usuli Nyuton usulining hosilasiz shakli bo‘lib, quyidagi formula bilan
ishlaydi:
𝑥
𝑛+1
= 𝑥
𝑛
−
𝑓(𝑥
𝑛
)(𝑥
𝑛
−𝑥
𝑛−1
)
𝑓(𝑥
𝑛
)−𝑓(𝑥
𝑛−1
)
.
Ushbu usul hosila hisoblashni talab qilmasligi bilan ajralib turadi, ammo
yaqinlashuv tezligi Nyuton usuliga nisbatan pastroqdir.
2. Ob’ektlarning kesishish nuqtalari
Kompyuter grafikasi va 3D modellashtirishda ob’ektlarning kesishish nuqtalari
muhim rol o‘ynaydi. Masalan, nur izlash (ray tracing) algoritmlarida nur va sirtning
kesishish nuqtasi algebraik yoki transsendent tenglama sifatida ifodalanadi.
Misol 1: Nur va sfera kesishishi
Sfera tenglamasi
x
2
+y
2
+z
2
=R
2
, nur esa parametrli shaklda
r(t)=o+td
sifatida
beriladi. Kesishish nuqtasini topish uchun quyidagi kvadrat tenglama hosil bo‘ladi:
𝑡
2
(𝑑 ⋅ 𝑑) + 2𝑡(𝑜 ⋅ 𝑑) + (𝑜 ⋅ 𝑜 − 𝑅
2
) = 0.
Bu algebraik tenglama bo‘lib, agar diskriminant musbat bo‘lsa, ikkita yechimga
ega. Kichik t qiymati yaqin kesishish nuqtasini beradi.
Misol 2: Transsendent kesishish
Agar sirt toroid yoki boshqa murakkab shaklda bo‘lsa, tenglama transsendentga
aylanadi (masalan,
sin(x)−x/2=0
). Bunday hollarda Nyuton usuli samarali ishlaydi.
3. Optimizatsiya masalalari
Optimizatsiya masalalarida maqsadli funksiyaning ekstremum nuqtasini topish
uchun ko‘pincha hosilalar
f′(x)=0
shaklida tenglamalar yechiladi.
Misol 3: Logistik optimizatsiya
Logistik regressiyada xatolik funksiyasi:
𝑳(𝜽) = −
𝟏
𝒏
∑
[𝒚
𝒊
𝒍𝒏(𝝈(𝜽𝒙
𝒊
)) + (𝟏 − 𝒚
𝒊
)𝒍𝒏(𝟏 − 𝝈(𝜽𝒙
𝒊
))]
𝒏
𝒊=𝟏
,
bu yerda
𝝈(𝒛) =
𝟏
𝟏+𝒆
−𝒛
. Gradient nolga tenglashtirilganda transsendent tenglama
hosil bo‘ladi, uni Nyuton usuli bilan yechish mumkin.
4. Amaliy natijalar va tahlil
Yuqoridagi usullar sinovdan o‘tkazilganda quyidagi xulosalar chiqdi:
Biseksiya usuli
: Soddaligi tufayli kichik loyihalarda foydali, lekin katta
hajmdagi hisob-kitoblar uchun samarasiz.
Nyuton usuli
: Tez va aniq, lekin boshlang‘ich taxmin noto‘g‘ri tanlansa,
divergent bo‘lishi mumkin.
“PEDAGOGS”
international research journal ISSN:
2181-4027
_SJIF:
4.995
https://scientific-jl.com/ped
Volume-79, Issue-1, April -2025
150
Sekant usuli
: Hosilasiz muqobil sifatida o‘rtacha samaradorlikka ega.
Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari ob’ektlarning
kesishish nuqtalarini aniqlash va optimizatsiya masalalarini hal qilishda muhim
vositadir. Nyuton-Rafson usuli tezligi va aniqligi bilan ajralib tursa, biseksiya usuli
barqarorlikni ta’minlaydi. Kelajakda ushbu usullarni gibrid algoritmlar bilan
birlashtirish yanada samarali yechimlarni taqdim etishi mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1.
Normamatov, X. (2025). IMPROVING THE METHODOLOGY OF TEACHING
PROGRAMMING
LANGUAGES
BASED
ON
NETWORK
TECHNOLOGIES.
International Journal of Artificial Intelligence
,
1
(2), 656-662.
2.
Normamatov, X. (2025). APPLYING INTERNATIONAL EXPERIENCES IN
TEACHING PROGRAMMING TO HIGHER EDUCATION SPECIALIST
STUDENTS: CHALLENGES AND SOLUTIONS.
International Journal of
Artificial Intelligence
,
1
(2), 648-650.
3.
Normamatov, X. (2025). CHALLENGES AND SOLUTIONS IN TEACHING
PROGRAMMING: AN EXPLORATION OF GLOBAL AND LOCAL
PERSPECTIVES.
International Journal of Artificial Intelligence
,
1
(2), 651-655.
4.
Нормаматов, Х. М., & Абдуллаева, С. У. (2015). ЭФФЕКТИВНОСТЬ
ПРИМЕНЕНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ"
Э-БОЛЬНИЦА". In
Инновации в технологиях и образовании
(pp. 117-119).
5.
Нормаматов, Х. М. (2014). ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ЦИФРОВОЙ
ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ. In
Инновации в строительстве глазами молодых
специалистов
(pp. 239-241).
6.
Шеров, Ж. Э., & Нормаматов, Х. М. (2015). АВТОМАТИЗАЦИЯ
УПРАВЛЕНИЯ ВЫСШЕГО УЧЕБНОГО ЗАВЕДЕНИЯ. In
Инновации в
технологиях и образовании
(pp. 178-182).
