178
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
k
C
−
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Гадаев С.А.
Гайвиева Н.
Чориев Ш.
Ташкентский университет социальных инноваций, ул. Узумзор, 37, Ташкент, 100015,
Узбекистан,
Национальный университет Узбекистана, ул. Университет, 4, Ташкент, 100174
Узбекистан
Национальный университет Узбекистана, ул. Университет, 4, Ташкент, 100174
Узбекистан
https://doi.org/10.5281/zenodo.15833856
Аннотация. В данной работе обсуждаются вопросы, связанные со свойствами
дифференцируемости логарифмический потенциалов, и изучается аналог теоремы Киши
для логарифмический потенциала. Также доказывается, что при некоторых
достаточных условиях, наложенных на Лебегов меру
, логарифмической потенциал
( )
l
U
x
принадлежит классу
( )
k
C
E
.
Ключевые
слова:
потенциал
Рисса,
логарифмический
потенциал,
дифференцируемость потенциалов, теорема Картана, теорема Киши, теорема Лузина о
непрерывности ёмкостей, класс
( )
k
C
E
.
LOGARIFMIK POTENSIALLAR UCHUN
k
C
−
LUZIN XOSSALARI
Annotatsiya. Ushbu maqolada logarifmik potentsiallarning differensiallanuvchanlik
xossalari bilan bog‘liq masalalar va logarifmik potensial uchun Kishi teoremasining analogi
o‘rganilgan. Shuningdek,
Lebeg o‘lchoviga qo‘yilgan ba’zi etarli shartlarda
( )
l
U
x
logarifmik potentsial
( )
k
C
E
sinfiga tegishli ekanligi isbotlangan.
Kalit
so‘zlar:
Riss
potensiali,
logarifmik
potensial,
potensiallarning
differensiallanuvchanligi, Kartan teoremasi, Kishi teoremasi, sig‘imlar uchun Luzinning
uzluksizlik teoremasi,
( )
k
C
E
sinfi.
k
C
−
LUZIN PROPERTIES FOR LOGARITHMIC POTENTIALS
Abstract. In this paper, we discuss issues related to the properties of differentiability of
logarithmic potentials and an analogue of the Kishi’s theorem for logarithmic potential is
studied. It is also proved that under some sufficient conditions imposed on the Lebesgue
measure
, the logarithmic potential
( )
l
U
x
belongs to the class
( )
k
C
E
.
Keywords: Riesz potential, logarithmic potential, differentiability of potentials, Cartan’s
theorem, Kishi’s theorem, Luzin’s theorem on the continuity of capacities, class
( )
k
C
E
.
1.Введение
Рассмотрим следующего логарифмического потенциала в пространстве
n
( )
ln
( ),
,
n
l
U
x
x
y d
y
x
=
−
где
−
конечная борелевская мера с компактным носителем
n
S
.
179
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
В работе Картана [1] (см. также [2, стр. 231]) доказана следующая аналог
C
−
свойства Лузина (см.[3, стр. 309] ) для потенциалов Рисса:
( )
( )
,
,0
.
n
n p
n
d
y
U
x
x
p
n
x
y
−
=
−
Теорема 1
(Картан). Для любого
0
существует открытое множество
n
O
с
ёмкостью
(
)
n р
C
O
−
такое, что потенциал
( )
n р
U
x
−
является непрерывной в дополнении
\
n
O
.
В работе [4] М.Киши доказал теорему Картана в случае более общего потенциала
( )
( ) ( )
,
,
.
n
K
U
x
K x y d
y
x
=
Здесь, также мера
с компактным носителем и ядро
( , )
K x y
,
( , )
n
n
x y
,
обладает следующими свойствами:
1)
( , )
K x y
−
положительнозначная поли непрерывная снизу функция такое,
что
( , )
,
n
K x x
x
= +
и непрерывная в
(
) (
)
\
,
,
n
n
n
x x x
,
2)
( , )
K x y
−
симметрическая, т.е.
( , )
( , )
K x y
K y x
=
.
Согласно условию 2) всегда выполняется закон взаимности: для любых меры
и
с компактными носителями верна
K
K
U d
U d
=
.
Теорема 2
(Киши). Для любого
0
существует открытое множество
n
O
с ёмкостью
(
)
K
C O
такое, что потенциал
( )
K
U
x
является
непрерывной в дополнении
\
n
O
.
Заметим, что в частности потенциал
( )
K
U
x
может быть потенциалом Рисса или
логарифмическим потенциалом с ядром
( )
( )
(
) (
)
2
,
ln
,
,
0,
0,
,
R
K x y
x y
B
R
B
R
x
y
=
−
где
(0, )
:
n
B
R
x
x
R
=
(см. например. [2],[4]).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1.
([15, стр.160]). Для любого
0
существует открытое множество
n
O
с мерой Лебега
( )
m O
такое, что
а) семейство функций
(
)( )
T
x
сходится равномерно к
( )( )
T
x
при
0
→
на
множестве
\
.
n
O
б) семейства функций
( )
(
)
( )
(
)
,
,
B x t
m B x t
сходится равномерно к
( )
x
при
0
t
→
на множестве
\
.
n
O
180
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
Лемма 2.
([14, 171]). Пусть
−
конечная борелевская мера в
n
и
( )
( (0, ))
t
B
t
=
−
мера открытого шара (0, )
.
n
B
t
Тогда для любой гладкой в интервале
(0,
)
+
функции
( )
t
и для любых чисел , , 0
,
a b
a
b
+
имеет место следующее
соотношение, связывающее интеграл Лебега с интегралом Стилтьеса:
[ , ]
( )
( )
( )
( ).
a x b
a b
x d
x
t d
t
=
2. THE MAIN THEOREM OF THE PRESENT PAPER ISH THE FOLLOWING
В работах [5],[7],[8],[9] изучена дифференциальные свойства потенциалов Рисса и
Бесова. В этой работе мы изучаем
k
C
−
свойства Лузина для логарифмических
потенциалов.
Теорема 3. Для любого
0
существует открытое множество
n
O
с
Лебегова меры
(
)
m O
такое,
что логарифмический потенциал
( )
l
U
x
принадлежит классу
)
\
(
n
n
C
O
.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3
Доказательство теоремы 3. Нам достаточно доказать, что следующий
логарифмический потенциал
( )
ln
( ),
,
n
u x
x
y d
y x
=
−
для конечной борелевской меры
, сосредоточенной в единичном шаре
:
1 ,
,
n
B
x
x
supp
B
=
принадлежит классу
( \
),
n
C B O
где
O
некоторое открытое множество с мерой
Лебега
(
)
.
m O
Ясно, что вне носителя
supp
этот
потенциал является бесконечно
дифференцируемым. Поэтому дифференцируемость потенциала
( )
u x
достаточно изучать
в окрестности
,
supp
скажем в
( )
0,1 .
B
B
=
Сначала формально определим множество
.
O
Фиксируем точку
,
x
B
где существует плотность
( )
x
и рассмотрим заряд
( )
( )
( )
,
1,
x
r
d
d
y
x
y dy r
=
−
где
( )
0,
:
n
B
r
y
y
r
=
R
и
( )
( )
( )
1
0,
0
0,
.
r
y
B
r
y
y
B
r
=
Заряд
( )
x
d
y
(в общем случае неположительный) обладает тем свойством, что его
плотность в точке
x
равна нулю. Существует две меры
+
x
и
−
x
такие, что
+
−
=
−
x
x
x
и
x
x
supp
supp
+
−
=
(см. [2]). Обозначим
181
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
( , )
( ( , ))
( ) ,
x
B x t
V B x t
d
y
=
где
( )
( )
( ).
+
−
=
+
x
x
x
d
y
d
y
d
y
Для любого
0
в качестве
O
B
берём
открытое множество с мерой Лебега
(
)
m O
такое, что
1)
( )
( \
);
x
C B O
2)
( )
( \
),
.
l
U
x
C B O
n
x
=
Здесь частные производные понимаются в смысле предела (2).
Для некоторой монотонно неубывающей функции
( )
(
) ( )
0,
0,
0
t
t
t
+
→
при
0
t
→
имеют место следующие неравенства:
3)
( ( , ))
( ) ,
\
,
n
V B x t
t t
x
B O
где
n
v
−
объём единичного
шара.
4)
( )
( )
ln
,
\
.
n
x y t
x
y d
y
t
x
B O
x
−
−
В самом деле, существование множества
O
удовлетворяющего условии 1) и 2)
вытекает из того, что плотность борелевской меры и частные производные потенциала
являются измеримыми функциями и значит согласно теоремы (
C
−
свойство) Лузина
непрерывны вне множества малой меры Лебега. Условия 3) и 4) выполняются в силу
леммы 1.
В качестве
( )
( ), 0
u
x
n
определенных на компакте
\
B O
(см. определение
класса
k
C
), мы будем брать частные производные потенциала
( )
,
u x
определенные как в
параграфе 2. Легко можно убедиться, что функция
( )
( ), 0
u
x
n
определена и
принимает конечное значение в каждой точке компакта
\
.
B O
Теперь на компакте
\
B O
рассмотрим разностей
(
)
( )
( )
( , )
(
)
,
.
!
n
u
x
R x h
u
x
h
h
n
+
+
=
+
−
Здесь
(0)
( )
( ).
u
x
u x
Берём произвольную точку
0
\
x
B O
и разложим потенциал
( )
u x
на две части
0
0
1
2
( )
ln
( )
(
) ln
( )
( )
( ).
r
x
u x
x
y d
y
x
x
y
y dy
u x
u x
=
−
+
−
=
+
Соответственно этому, разность
( , )
j
R x h
также разлагается на две части:
(1)
(2)
( , )
( , )
( , ).
=
+
j
j
j
R x h
R
x h
R
x h
182
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
Рассмотрим наиболее важный случай
0,
=
j
а для
0
j
доказательство оценки
(1.1) проводится аналогично. Затем, оценка для
2
=
j
сразу следует из условия 2).
Так как функция
ln
( )
r
x
y
y dy
−
бесконечно гладкая в замыкании единичного
круга
,
B
а функция
( )
x
непрерывна на компакте
\
,
B G
то для функции
0
2
( )
(
) ln
( )
r
u x
x
x
y
y dy
=
−
имеет место оценка
( )
2
2
0
( )
(
)
( )
,
!
n
l
n
u
x
u x
h
h
h h
+
−
где
0
( )
0
h
→
при
0.
→
h
Так как
0
2
( )
(
)
ln
( )
r
u x
x
x
y
y dy
x
x
=
−
и
2
0
2
2
0
( )
lim
(
)
ln
( )
,
r
u x
x
x
y
y dy
x
x
→
=
−
+
то
2
(2)
0
0
0
0
0
(
, )
( )
,
,
\
.
R
x h
h h
x
x
h
B G
+
(8)
При оценке
(1)
0
0
(
, )
R
x h
мы заметим, что согласно равенствах (2) и (3) производные
1
( )
,
,
n
u x
n
x
=
где
0
1
( )
ln
( ),
x
u x
x
y d
y
=
−
в точке
0
x
совпадают с сингулярным интегралом
0
0
0
0
0
0
ln
( )
lim
ln
( ).
n
n
x
x
x
y
x
y d
y
x
y d
y
x
x
→
−
−
=
−
Поэтому
0
0
(1)
0
0
0
0
2
(
, )
ln
ln
( )
x
x
y
h
R
x h
x
y
h
x
y d
y
−
=
− + −
−
−
0
0
0
0
0
0
0
2
2
ln
( )
ln
( )
!
!
n
x
x
n
n
x
y
h
x
y
h
h
h
x
y d
y
x
y d
y
x
x
=
−
−
−
−
−
+
+
0
0
0
0
0
2
ln
ln
ln
( )
!
x
n
x y
h
h
x
y
h
x
y
x
y d
y
x
−
− + −
− −
−
=
0
0
0
0
1
2
3
4
(
, )
(
, )
(
, )
(
, ).
I x h
I x h
I x h
I x h
=
−
−
+
183
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
Имеем
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
2
(
, )
ln
ln
( )
ln
( )
x
x
x
y
h
x
y
h
x
y
h
I x h
x
y
h
x
y d
y
d
y
x
y
−
−
− +
=
− + −
−
=
=
−
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
ln
( )
ln
( )
x
x
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y
h
d
y
d
y
x
y
x
y
+
−
−
−
− +
− +
=
−
=
−
−
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
ln
( )
ln
( )
+
−
−
−
− +
−
=
+
−
− +
x
x
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y
d
y
d
y
x
y
x
y
h
0
0
0
0
0
0
2
3
ln 1
( )
ln 1
( ).
x
x
x
y
h
x
h y
h
h
h
d
y
d
y
x
y
x
h
y
+
−
−
+ −
+
+
+
−
+ −
Согласно лемме 2 последнее можно переписать в следующем виде:
(
)
(
)
0
0
2
3
0
0
0
0
ln 1
(
, )
ln 1
(
, )
h
h
x
x
h
h
d
B x t
d
B x
h t
t
t
+
−
+
+
+
+
=
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
2
0
0
0
(
, )
3
4
(
,2 ) ln
(
,3 ) ln
2
3
h
x
x
x
B x t
h
B x
h
dt
B x
h
h
t
h
t
+
+
−
=
+
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
3
2
0
0
0
0
(
, )
(
, )
(
,2 )
(
,3 )
h
h
x
B x
h t
V B x t
h
dt
V B x
h
dt V B x
h
h
t
h
t
t
−
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
0
3
0
0
0
0
(
, )
(
)
(
)
(
,3 )
h
V B x
h t
x
h
x
m B x
h
h
dt
t
+
+
+ −
+
+
+
(
)
0
3
0
0
0
(
, )
(
)
(
)
.
h
m B x
h t
x
h
x
dt
t
+
+
+ −
Последние неравенства получаются из того, что
0
0
0
0
( )
( ) ,
( )
( )
x
x
x
x
d
y
d
y
d
y
d
y
+
−
и
0
0
0
0
( )
( )
(
)
(
)
( )
.
r
x
x
h
d
y
d
y
x
h
x
y dy
+
+
+ −
Так как
0
0
,
\
,
+
x x
h
B G
то из условий 1) и 3) следует, что
0
1
1
(
, )
( )
,
n
I x t
h h
(9)
где
1
( )
0
h
→
при
0.
h
→
Точно таким образом можно показать, что
0
1
1
(
, )
( )
n
I x t
h h
−
,
(10)
где
1
( )
0
h
→
при
0
→
h
. Объединяя неравенства (9) и (10) имеем
184
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
0
1
1
(
, )
( )
n
I x t
h h
,
(11)
где
( )
1
1
1
( )
max
,
) .
h
h
h
=
Аналогично доказывается, что
0
2
2
2
(
, )
( )
,
( )
0
n
I x t
h h
h
→
при
0.
→
h
(12)
Величина
0
3
(
, )
I x t
оценивается с помощью условия 4):
( )
0
0
0
0
3
3
2
1
(
, )
ln
( )
,
!
n
n
n
x
n
x
y
h
I x t
h
x
y d
y
h h
x
=
−
−
(13)
3
( )
0
h
→
при
0.
→
h
Остаётся оценить
0
4
(
, ).
I x t
Мы воспользуемся неравенством для ядра:
1
1
0
ln
ln
ln
.
!
n
n
n
h
h
x
y
h
x
y
x
y
C
x
x
y
+
+
− + −
− −
−
−
, ,
,
2
,
n
x y h
x
y
h
−
R
C
−
константа. Доказательство этого неравенства не
представляет труда. Его можно получить из формулы Тейлора. Имеем
0
0
0
3
1
0
4
1
1
0
2
2
( )
( (
, ))
(
, )
.
n
x
n
n
h
x
y
h
d
y
dV B x t
I x t
С h
C h
t
x
y
+
+
+
−
−
Теперь итегрируем по частям последного интеграла и используя условие 3) при
достаточно малых
h
мы имеем
( )
(
)
( )
(
)
0
0
1
2
1
2
1
2
,
,
(
1)
h
n
n
n
n
h
dV B x t
V B x t
С h
n
C h
dt
t
t
+
+
+
+
+
+
+
=
( )
(
)
( )
(
)
0
0
1
1
2
2
1
2
1
,
)
,
1)
(
1
(
n
n
n
h
n
V B x t
V B x t
n
C h
dt
C h
dt
t
n
t
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
( )
(
)
( )
0
1
1
1
2
2
1
2
2
2
,
(
1)
(
1)
n
n
h
h
h
n
n
V B x t
t
n
C h
dt
M h
n
C h
dt
t
t
+
+
+
+
+ +
+
+
+
( )
( )
1
2
1
1
2
1
2
2
1
(
1)
(
1)
h
n
h
h
n
n
t
n
C h
dt
M h
n
C h
d
t
t
t
+
+
+
+ +
=
+
+
+
( )
( )
( )
2
1
2
1
1
1
(
1)
(
1
2
2
h
n
h
n
n
n
C h
d
t
M h
C h
h
h
t
n
+
+
+ +
=
+
−
+
+
( )
( )
,
(
2
1
2
2
n
C
h
h
h
n
+
−
+
185
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 7
где
(
)
(
)
,2
:
\
.
M
Sup V B x r
x
B G
=
В итоге мы имеем
0
4
4
4
(
, )
( )
,
( )
0
n
I x t
h h
h
→
при
0.
→
h
(14)
Наконец объединяя оценки (8), (11), (12), (13) и (14) мы получим оценку
0
( , )
( )
,
,
\
,
n
R x t
h h
x x
h
B G
+
где
( )
0
h
→
при
0.
→
h
Таким образом,
( )
u x
принадлежит классу
(
)
\
.
n
С B G
Теорема доказана
Литература
1.
Cartan H. Theori du Potential newtonien: energie, capacite, suites de potentials. Bull.
Soc. Math. France. 1945. V. 73. P. 74-106.
2.
Landkof N.S. Foundation of modern potential theory (in Russian). Мoskov,1966.
3.
Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального
анализа. 7-е издание.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
4.
Kishi M. Capacities of borelian sets and the continuity of potentials. Nagoya
Mathematical Journal. 1957. V. 12. P. 195-219.
5.
Stocke B.M. A Lusin type approximation of Bessel potentials and besov functions by
smooth functions. Mathematica Scandinavica. 1995. V. 77. № 1. pp. 60-70.
6.
Imomkulov S.A., Gadaev S.A.
-Properties of Subharmonic Functions. Lobachevskii
J. Math. 2025, Vol. 46, № 2, pp.672-682. https:// doi.org/ 10.1134/S19950802256001675
7.
Imomkulov S.A., Dauzhanov A.Sh. Differential properties of Riesz
8.
potentials // Boundary value problems for differential equations. Zb.nauk.
9.
Ave. Chernivtsi (Ukraine): Prut, 2005. – V, 12. – P. 120–128.
10.
Verdera J. Capacitary differentiability of potentials of finite Radon measures, Ark. Mat.,
57 (2019), 437–450.
11.
Cuf ́ı J. and Verdera J. Differentiability properties of Riesz potentials of finite measures
and non-doubling Calder ́on–Zygmund theory, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (5) 18
(2018), 1081–1123.
12.
Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in
13.
closed sets. // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V36. p.63-89.
14.
Malgrange B. Ideals of differentiable functions. Oxford University Press, London. 1966.
15.
Calder n A.P. and Zygmund A. On the existence of certain singular integrals,
Acta
Math.
88
(1952), 85-139.
16.
Stein E. M. Singular integrals and differentiability properties functions.
17.
Princeton University press, Prensiton, New Jersey, 1970.
18.
Sadullaev A.S., Madrakhimov R.M. Smoothness of subharm onic functions. Math.sb.
1990. T.181. № 2. pp.167-182.
