2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
18
РОЛЬ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ В НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ
Асадов К.У.
1
Юлдашева Н.О.
2
,
Гарифуллина Н.С.
2
1
профессор-преподаватель института ТМС,
+99897-774-56-78
quvonchbekurinovichasadov@gmail.com
2
студент института ТМС,
+99897-438-33-44,
+99895-013-69-39,
https://doi.org/10.5281/zenodo.14845088
Аннотация.
В этом статье изучается роль математики в одной из экономических
задач. Рассматривается задача оптимального планирования ассортимента продукции как
задача линейного программирования с использованием графического метода решения
данной экономической задачи. Построена математическая модель, определена область
допустимых решений и найден оптимальный производственный план, обеспечивающий
максимальный доход. Метод позволяет эффективно распределять ресурсы и может быть
полезен для экономистов и менеджеров.
Введение.
Экономисту необходимо опираться на математические методы т.к. математика – это
не только числа и расчеты, математика – это школа и культура мышления. Применение
математики в экономических исследованиях
позволяет объяснить прошлое, увидеть
будущее и оценить последствия своих действий
.
Во многих заводах или производствах основной задачей является получить
максимальную прибыль (или минимальные затраты). Допустим, если в условиях рыночной
экономики предприятия сталкиваются с необходимостью оптимизации производства и
распределения ресурсов. Одной из ключевых задач является определение оптимального
ассортимента продукции, который обеспечит максимальную прибыль при ограниченных
запасах сырья.
Графический метод решения задач линейного программирования позволяет
наглядно определить область допустимых решений и выбрать оптимальный
производственный план. В данной статье рассмотрен пример использования графического
метода для нахождения оптимального ассортимента продукции, производимой
предприятием, с учетом ограничений на ресурсы и спрос.
Работа состоит из следующих пунктов: Постановки задачи, построения
математической модели задачи, определены допустимые области решений, методы
решения и вывода.
Постановка задачи
Определение оптимального ассортимента продукции. Предприятие изготавливает
два вида продукции
P
1 и
P
2 которая поступает в оптовую продажу. Для производства
продукции используется два вида сырья и
–
А
и
В
.
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
19
Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц
соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида
P
1 и вида
P
2 дан в таблице 1.
Таблица 1.
Сырье
Расход сырья на 1 ед.
продукции
P
1
Расход сырья на 1 ед.
продукции
P
2
Запас сырья,
ед.
A
2
3
9
B
3
2
13
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию
P
1 никогда не превышает
спроса на продукцию
Р
2, более чем на 1 единиц. Кроме того, известно, что спрос на
продукцию
Р
2 никогда не превышает 2 единиц в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равны: 3 денежный единиц – для
Р
1 и 4
денежный единиц для
Р
2 .
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы
доход от реализации продукции был максимальным?
Построение математической модели задачи
Построим математический модель задачи:
F
= 3
x
1
+ 4
x
2
→ max
{
2𝑥
1
+ 3𝑥
2
≤ 9
3𝑥
1
+ 2𝑥
2
≤ 13
𝑥
1
− 𝑥
2
≤ 1
𝑥
2
≤ 2
𝑥
1
≥ 0, 𝑥
2
≥ 0.
где
x
1
– количество единиц продукцию
P
1 , а
x
2
– количество единиц продукцию
P
2 .
Методы решения
Эту задачу решим графическим методом. Построим многоугольник решений (рис.1).
Для этого на плоскости
R
2
, где введена прямоугольная декартовая система координат,
изобразим граничные прямые где
2
x
1
+ 3
x
2
= 9 (
L
1
),
3
x
1
+ 2
x
2
= 13 (
L
2
),
x
1
–
x
2
= 1 (
L
3
),
x
2
= 2 (
L
4
),
x
1
= 0,
x
2
= 0.
и установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно
граничной прямой. В результате получим многоугольник
OABCD
.
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
20
Рис. 1. Область допустимых решений.
Построим градиент
f
= (3;4) и прямую 3
х
1
+ 4
х
2
= 0 . Перемещаем прямую
f
= 0
параллельно самой себе в направлении вектора V
f
. Из рис.1 следует, что по отношению к
многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке
С
, где линейная функция
принимает максимальное значение. Точка
С
лежит на пересечении прямых
L
1
и
L
3
– для
определения ее координат решим систему уравнений
{
2𝑥
1
+ 3𝑥
2
= 9
𝑥
1
− 𝑥
2
= 1
Оптимальный план задачи:
x
1
= 2.4;
x
2
= 1.4, т.е
X
opt
= (2.4; 1.4),
F
max
=
F
(
X
opt
) = 3 ∙ 2.4 + 4 ∙ 1.4 = 12.8 .
Полученное решение означает, что объем производства продукции
Р
1 должен быть
равен 2.4 ед., а продукции
Р
2 – 1.4 ед. Максимальный доход, получаемый в этом случае,
составит 12.8 ден. ед.
Выводы
Математика действительно помогла решить эту экономическую задачу. Сначала
была составлена математическая модель, которая позволила четко определить, какие
ограничения есть у производства и какие варианты решений возможны. Затем, с помощью
графического метода, стало понятно, в каком именно сочетании продукция
P
1 и
P
2
принесет максимальную прибыль.
Этот метод оказался полезным, потому что он позволяет не просто гадать или
полагаться на интуицию, а точно вычислить оптимальный вариант. В итоге предприятие
сможет эффективнее использовать ресурсы и получать максимальный доход. Это еще раз
доказывает, что математические методы, такие как задачи линейного программирования,
играют важную роль в экономике и управлении.
Литература
1.
Асадов К.У., Холбоев И.А. WEB технологии в организации учебного процесса на
примере курса «Численные методы и программирование» / ВЫСШАЯ ШКОЛА
(Научно-практический журнал). 2017. N 11. P. 83-84.
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
21
2.
ШЕРДOР А., Шукруллoев Б. Многофакторный эконометрический анализ в
рыночной экономике многофакторный эконометрический анализ в рыночной
экономике //Science and Society. – 2024. – Т. 1. – №. 7. – С. 19-26.
3.
Аликулов Ё.К., Усмонов А.Х., Асадов К.У. Виды, формы и методы организации
научно-исследовательской
работы
студентов.
Материалы
конференции
Информатика: проблемы, методология, технологии-2016. 2016. P. 40-44.
4.
Кузнецов А.П. Методы оптимизации и их применение в экономике. – М.: Финансы
и статистика, 2010.
5.
Амирова Л.Э., Курганова М.В. Применение метода линейного программирования в
решении экономических задач. – Статья, 2021
6.
Ланкастер П. Введение в математические методы в экономике. – М.: Наука, 2003.
