2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
61
ASIMMETRIK KRIPTOGRAFIYADA AYRIM MUAMMOLAR
A.B. Mavlonov
Urganch Davlat universiteti
“Kompyuter ilmlari” kafedrasi o‘qituvchisi.
https://doi.org/10.5281/zenodo.14845757
Annotatsiya.
Ko‘pgina shifrlash usullari uchun asos bo‘lgan tub sonlar, modulli
arifmetika, elliptik egri chiziqlar va chekli maydonlarni yaratish ba’zi muhim masalalardir.
Maqolada, shuningdek, kriptografik turg‘unligini aniqlash uchun murakkablik
nazariyasidan qanday foydalanish mumkinligi haqida so‘z boradi. Bu xususan, RSA va ECC kabi
mashhur protokollarning murakkablik asosi bo‘lgan diskret logarifmlar va butun sonlar
faktorizatsiyasi bilan bog‘liq muammolar haqida xulosalar chiqariladi. Asimmetrik
kriptografiyaning tuzilish tamoyillari, asosan blokli shifrlar va ular asosidagi rejalar va
tarqalish usullari xavfsiz ekanligiga ishonch hosil qilish uchun almashtirish guruhlari va chiziqli
algebradan qanday foydalanishini ko‘rib chiqiladi.
Kalit so‘zlar:
matritsa, elliptik egri chiziqlar, chekli maydonlar, rsa.
Kirish
Algebraik qonuniyatlar va muammoli masalalar kriptografik tizimlarni ishlashining
muhim qismidir. U bizga tub sonlarni topish, modulli arifmetika va butun sonlarning xususiyatlari
kabi vositalarni beradi. Ochiq kalitli kriptografiyada tub sonlar juda muhim, ayniqsa RSA kabi
algoritmlarda, bunda yetarlicha katta (uzunligi 2048 bit va undan uzun) sonlarni tub
ko‘paytuvchiga ajratish qiyinligi ularni xavfsizligini ta’minlaydi. Ko‘pincha modulli arifmetika,
tub ko‘paytuvchilarga ajratish, darajaga oshirish raqamli imzolar, shifrlash va dastlabgi matnga
o‘girish kabi tizimlar uchun xavfsizlikni ta’minlash usullarida foydalaniladi [1]. Shifrlashda
guruhlar, halqalar va maydonlar kabi algebraik tuzilmalar ham juda muhimdir.
Elliptik egri chiziqli kriptografiya (EECh) nisbatan kichik kalit o‘lchamlari bilan bardoshli
xavfsizlikni ta’minlash uchun chekli maydonlarda elliptik egri chiziqlarning matematik
tuzilishidan foydalanadi.
Blokli shifrlarni va xatolarni tuzatish kodlarini chekli maydonlarda, ayniqsa Galois
maydonlarida samarali amalga oshirish imkoniyatlari mavjud bo‘ladi. Bu maydonlar xavfsizlik va
turg‘unlikni ta’minlashda yordam beradi. Shifrlash tizimlarini qo‘llab-quvvatlaydigan yana bir
muhim soha - bu murakkablik nazariyasi. Bu bizga kriptografik usullarning xavfsizligini
tekshirish uchun juda muhim bo‘lgan turli xil muammolarni hisoblash yo‘li bilan yechish
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
62
qanchalik qiyinligi haqida fikr yuritish imkonini beradi [2]. Butun sonlarni faktorizatsiya qilish va
diskret logarifmlash muammosi kabi masalalarni yechish qiyin deb hisoblanadi. Shunga asoslanib
ko‘plab shifrlash usullari xavfsiz deb qarab kelinmoqda. Biroq, kvant hisoblashlari va kvant
kompyuterlari soha mutaxassislari oldiga hal qilinishi kerak bo‘lgan yangi muammolarni keltirib
chiqardi. Bularni hisobga olib, 2016 yil fevral oyida AQSH NIST tomonidan postkvant
kriptoalgoritmlarni standartlashtirish jarayoni bilan bog‘liq yangi halqaro tanlov e’lon qilindi.Ushbu
tanlov postkvant asimmetrik algoritmlar va elektron raqamli imzo standartlarini tanlashga
qaratilgan. Ushbu holatlar, yangi matematik murakkabliklarga asoslangan (masalan: panjara
asosidagi[3], ko‘p o‘lchovli sistemalarga asoslangan[4]) asimmetrik kriptotizimlarni ishlab chiqish
zaruriyatini keltirib chiqaradi.
Metodologiya
Diffie-Hellman kalit almashinuvi kalitlarni himoyalanmagan kanallar orqali xavfsiz
uzatishning eng muhim usullaridan biridir. Tomonlar orasida maxfiy kalitni xavfsiz almashish
uchun cheklangan maydonlarda diskret logarifmlash muammosidan foydalanadi. Bu usul kuchli
himoyani ta’minlovchi ochiq kalitli kriptografiyaga yo‘l ochdi [5]. Biroq, “man-in-the-middle”
hujumlari, agar u tekshirish usullari bilan ishlatilmasa, muvaffaqiyatli sodir bo‘lishi mumkin.
Ochiq kalitli kriptografiyaning yana bir muhim qismi shifrlash va raqamli imzolarni
mumkin bo‘lgan RSA usulidir. Katta sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratish uchun hisoblash qiyin
bo‘lganligi sababli, RSA juda xavfsiz usuldir. U juda ko‘p xavfsiz ilovalarda qo‘llaniladi, chunki
u keng qo‘llaniladi va kuchli xavfsizlikka ega. Shunga qaramay, RSA xavfsizlikni yuqori darajada
ushlab turish uchun katta kalit o‘lchamlarini talab qiladi, bu esa kompyuterlar uchun qiyin bo‘lishi
mumkin [6]. Elliptik egri chiziqli kriptografiya (EECh) shifrlash uchun ochiq kalitlardan
foydalanishning eng yaxshi usuli hisoblanadi. EECh, RSA ga qaraganda afzalroq, chunki u
kichikroq kalitlarni yaratish uchun cheklangan maydonlar ustidagi elliptik egri chiziqlarning
algebraik tuzilishidan foydalanadi.
Gomomorf shifrlash - bu himoyalangan ma’lumotlarning shifrini ochmasdan hisob-
kitoblarni amalga oshirish imkonini beruvchi yangi usul. Bu siz hisob-kitoblarni amalga
oshirayotganda ma’lumotlarning maxfiyligini saqlaydi. Bu usul muhim ma’lumotlar bilan xavfsiz
ishlashni talab qiladigan foydalanish uchun mutlaqo yangi [7]. Lekin u keng qo‘llanilmaydi,
chunki uni hisoblash uchun ko‘p mehnat talab etiladi va amalda qo‘llash qiyin.
Ma’lumotlar xavfsizligi va identifikatsiyasi uchun [8] kriptografik xesh funksiyalari juda
muhimdir. Merkle-Damgard sxemasi kichikroq xesh-funksiyalarni qayta-qayta birlashtirib,
buzilmaydigan xesh-funksiyalarni yaratish usulidir.
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
63
Ko‘pgina xavfsiz xesh-funksiyalar uning asosiga qurilgan, biroq uning qiymatlariga
uzunlikni kengaytirish hujumlari sodir bo‘lishi mumkin.
Xavfsiz xesh-funksiyalar, oqim shifrlari va tasdiqlangan shifrlash uchun asos sifatida
sponge funktsiyalari juda moslashuvchan. Spongening xavfsizlik xususiyatlari ishlashiga ishonch
hosil qilish uchun ehtiyotkorlik bilan rejalashtirish kerak.
Matritsa ko‘paytirish amali asosida asimmetrik shifrlarni yaratish yondashuvlari
Matritsalarni ko‘paytirish operatsiyasini asosiy kriptografik almashtirish amali sifatida
qo‘llash asimmetrik shifrlash tizimlarida ham ishlatilishi mumkin. Biroq, simmetrik tizimlar
singari, faqat matritsa ko‘paytirishining o‘ziga tayanish zaiflikka olib kelishi mumkin.
Asimmetrik shifrlarda, ayniqsa, katta o‘zgaruvchan polinomial strukturaga ega bo‘lgan
algoritmlar uchun individual kirish bitlarining chiqish bitlariga ta’sirini to‘g‘ri tushunish
muhimdir. Bu kabi tizimlarda subbloklar va kalitlar odatda algebraik struktura sifatida qaraladi,
bu esa algebraik yondashuvlar orqali hujumlarni osonlashtirishi mumkin.
Asimmetrik blokli shifrlar uchun ko‘proq murakkab transformatsiyalar talab qilinadi.
Masalan, ma’lum yoki tanlangan manba matnlari asosida hujumlarga qarshi chidamlilikni
oshirish uchun bir necha turdagi algebraik almashtirishlar qo‘llanishi lozim. Faqat matritsa
ko‘paytirishga tayanadigan tizimlar oddiy chiziqli tenglamalar sistemasiga yechim orqali tahlil
qilinishi mumkin, bu esa kalitlar haqidagi muhim ma’lumotlarni ochib berishi mumkin. Shunday
qilib, asimmetrik shifrlash tizimida himoyani kuchaytirish uchun qo‘shimcha amallar, masalan,
bitlar darajasida ishlovchi almashtirishlar, mantiqiy amallar, darajali polinomlar, mantiqiy inkor
va boshqa matematik operatsiyalarni qo‘llash maqsadga muvofiqdir.
Matritsalarni ko‘paytirishni boshqa murakkab operatsiyalar bilan birlashtirish, asimmetrik
shifrlashda samaradorlikni oshirishga va kriptotahlilga qarshi mustahkam himoya yaratishga
yordam beradi. Shuning uchun asimmetrik blokli shifrlash algoritmlarini yaratishda matritsa
ko‘paytirishni qo‘shimcha almashtirishlar bilan uyg‘unlashtirgan holda qo‘llash zarurdir. Bu
yondashuv xavfsizlikni sezilarli darajada oshiradi va asimmetrik shifrlash algoritmlarini algebraik
kriptotahlillarga nisbatan kuchli qiladi.
Misol uchun, katta blokli asimmetrik algoritmda 800-bitlik blokni kichikroq subbloklarga
bo‘lib, har birini alohida qayta ishlash mumkin. Subbloklar yordamida kirish ma’lumotining
segmentlari kalit yoki boshqa kriptografik o‘zgaruvchilar bilan o‘zaro bog‘langan holda ishlanadi.
Matritsalar va ularning o‘lchamlarini belgilash uchun chekli maydonni tanlash
Matritsalar uchun chekli multiplikativ gruppalarni tanlashda, kirish ma’lumotlar blokini
o‘lchami aniq belgilangan elementlar matritsasi shaklida ifodalash zarur.
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
64
Shu bilan birga, ma’lumotlarni iqtisodiy sarflash uchun, masalan, mikrokontroller yoki
mikroprotsessor registrlari va xotirasi samarali foydalanishi uchun, matritsa yoki vektor
elementlarini belgilovchi kichik ma’lumot bloklari o‘lchami 8 bitga karrali bo‘lishi tavsiya etiladi.
Bunday holda, o‘lcham variantlari
𝑆 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
yoki 64 bit bo‘lishi
mumkin. Zamonaviy protsessorlar keng foydalanish imkonini beruvchi razryadlari hisobga olinsa,
dasturiy ta’minot yo‘naltirilgan blokli shifrlash algoritmlari uchun
𝑆 = 32
bit va
𝑆 = 64
bit
o‘lchamlar alohida ahamiyatga ega.
Xabar blokini
𝑆
o‘lchamli kichik bloklarga ajratilgandan so‘ng, bu bloklarni matritsaviy
ko‘paytirish orqali “axborotni yo‘qotmasdan” qayta ishlash uchun chekli maydon sifatida
𝐺𝐹(2
𝑆
)
ni tanlash lozim. Bunday maydonlar elementlari
1
S
darajadan oshmagan binar ko‘p hadli bo‘lib,
maydondagi ko‘paytirish amali
S
darajali ajralmas ko‘phadga bo‘lish orqali amalga oshiriladi.
Agar bu shart bajarilmasa, transformatsiyada ishtirok etuvchi “elementar” birlik (ya’ni,
qayta ishlash operatsiyalari uchun talab etiladigan element) mikroprotsessor yoki mikrokontroller
registriga to‘liq sig‘masligi mumkin va bu “elementar” birlik qismlarini yig‘ish uchun qo‘shimcha
elementar operatsiyalar bajarilishini talab etadi, bu esa blokli shifrlash algoritmining ishlash
samaradorligini sezilarli darajada pasaytirishi mumkin.
Hozirgi vaqtda mustahkam blokli shifrlashni ta’minlash uchun kirish ma’lumotlar bloki
o‘lchami kamida 64 bit bo‘lishi zarur deb hisoblanadi. Shuningdek, kirish ma’lumotlar bloki uchun
128, 256 va 512 bit o‘lchamlarini qo‘llash mumkin deb qabul qilinmoqda. Yuqoridagi afzal
ko‘riladigan blok o‘lchamlari va ularning kichik bloklari o‘lchamlari hisobga olinib, matritsa
parametrlarini tanlash bo‘yicha turli xil yechimlarni topish mumkin. 1 va 2-jadvalda kirish
ma’lumotlar bloki vektor
V
yoki matritsa
M
sifatida qayta ishlanganda, matritsa elementlari
o‘lchamlari va matritsa o‘lchamlarini tanlashning maqbul variantlari keltirilgan (Ma’lumotlar
blokini
V
vektor sifatida qayta ishlashda oxirgi vektor kalit matritsa
K
ga ko‘paytiriladi).
1-jadval.
T/r
M
va
K
matritsalar
elementlarining o‘lchami, bit
M
va
K
matritsa
o‘lchami
M
kirish ma’lumotlar
bloki, bit
1
16
2x2
64
2
8
4x4
128
3
32
2x2
128
4
64
2x2
256
5
16
4x4
256
6
32
4x4
512
7
128
2x2
512
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
65
2-jadval.
T/r
K
matritsa va
V
vektor
elementlarining o‘lchami, bit
K
matritsa (
V
vektor)
o‘lchami
V
kirish ma’lumotlar
bloki, bit
1
8
8x8 (8)
64
2
16
4x4 (4)
64
3
32
2x2 (2)
64
4
8
16x16 (16)
128
5
16
8x8 (8)
128
6
32
4x4 (4)
128
7
64
2x2 (2)
128
8
16
16x16 (16)
256
9
32
8x8 (8)
256
10
64
4x4 (4)
256
11
128
2x2 (2)
256
12
16
32x32 (32)
512
13
32
16x16 (16)
512
14
64
8x8(8)
512
15
128
4x4(4)
512
Ushbu jadval matritsa va vektor asosidagi blokli shifrlash algoritmi uchun matritsa
elementlarining o‘lchamlari, ularning o‘lchami va kirish ma’lumotlari bloki hajmi o‘rtasidagi
bog‘liqlikni ko‘rsatadi.
Ushbu turli kombinatsiyalar yordamida blokli shifrlash algoritmi yaratiladi, u protsessor
resurslarini samarali foydalanadi va shifrlash tezligini oshiradi.
Xulosa
Hozirgi kriptografiyada sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi, algebra va kombinatorika
kabi rivojlangan tushunchalar qo‘llaniladi. Sonlar nazariyasi, masalan, RSA kabi ochiq kalitli
kriptografiya tizimlarini yaratishda asosiy rol o‘ynaydi; bunday tizimlar katta tub sonlarni
faktorizatsiya qilishning murakkabligi tufayli yuqori xavfsizlikka ega. AES kabi simmetrik kalit
algoritmlari algebraik tuzilmalar (gruppalar, halqalar va maydonlar) asosida ishlaydi va aniq
matematik jarayonlar orqali tezkor shifrlash va shifrdan ochish imkonini beradi.
Statistik xususiyatlarni o‘rganish orqali kriptograflar o‘z algoritmlarining xavfsizligi va
samaradorligini oshirishlari, shuningdek, brutto fors va boshqa hujumlarga qarshi bardoshliligini
yaxshilashlari mumkin. Kriptografik tizimlar matematik asosga tayanganligi sababli, ularning
usullari ishonchli va muammolarga chidamli bo‘lishini ta’minlaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1.
G. U. Juraev and A. B. Mavlonov, "Delving into Potential Asymmetric Cryptographic
Algorithms for the PostQuantum Era," 2024 IEEE 25th International Conference of Young
2025 -Yil
13-Fevral
RAQAMLI DUNYO: MATEMATIK VA INFORMATIK
YONDASHUVLAR
Respublika ilmiy-uslubiy konferensiyasi
66
Professionals in Electron Devices and Materials (EDM), Altai, Russian Federation, 2024,
pp. 2510-2513
2.
A. Ikramov and G. Juraev, "The Complexity of Testing Cryptographic Devices on Input
Faults", Network and System Security: 15th International Conference NSS 2021 Tianjin
China October 23 2021 Proceedings 15, pp. 202- 209, 2021.
3.
A. J. Menezes, P. C. Van Oorschot and S. A. Vanstone, "Handbook of applied
cryptography", 2018.
4.
J. Ding and D. Schmidt, “Rainbow, a New Multivariable Polynomial Signature Scheme”,
in Applied Cryptography and Network Security, 2005, pp. 164–175.
5.
A. Mavlonov, "INVESTIGATION OF THE POSSIBILITY OF USING MATRIX
MULTIPLICATION IN ASYMMETRIC CRYPTOGRAPHIC SYSTEMS", Academic
research in educational sciences, vol. 2, no. 10, pp. 89-93, 2021.
6.
D. Tosh, O. Galindo, V. Kreinovich and O. Kosheleva, "Towards Security of Cyber-
Physical Systems using Quantum Computing Algorithms", 2020 IEEE 15th International
Conference of System of Systems Engineering (SoSE), pp. 313-320, 2020.
7.
Max Panoff, Honggang Yu, Haoqi Shan and Yier Jin, "A Review and Comparison of AI-
enhanced Side Channel Analysis", J. Emerg. Technol. Comput. Syst, vol. 18, no. 3, pp. 20,
July 2022.
8.
I. Moskovchenko, M. Pastukhov, A. Kuznetsov, T. Kuznetsova, V. Prokopenko and V.
Kropyvnytskyi, "Heuristic Methods of Hill Climbing of Cryptographic Boolean
Functions",
2018
International
Scientific-Practical
Conference
Problems
of
Infocommunications. Science and Technology (PIC S T), pp. 1-6, Oct. 2018.
