ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
811
FUNKSIYONAL TENGLAMALARNI YECHISHNING BA’ZI USULLARI
Sattarov Ermamat Norkulovich
Oʻzbekiston-Finlandiya Pedagogika Instituti, professori
E-mail:
Sattorov-e@rambler.ru
Baltabayev Javohir Bogʻibek oʻgʻli
Oʻzbekiston -Finlandiya Pedagogika Instituti 4- bosqich talabasi
E-mail:
javohirbaltabayev95@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15091382
Annotatsiya
. Mazkur maqolada akademik litsey va kasb-hunar kollejlari va matematika
faniga ixtisoslashgan maktabning yuqori sinf o‘quvchilari uchun olimpiyada masalalarida
uchraydigan ayrim funksiyonal tenglamalarning yechish usullariga urg‘u qaratilgan.
Kalit so‘zlar
: o‘zgaruvchi miqdor, noma’lum funksiya, funksional tenglama, uzliksiz
funksiya, umumiy yechim, metod , qulay usul,tushunarlilik,soda yechim.
SOME METHODS OF SOLVING FUNCTIONAL EQUATIONS
Abstract.
This article discusses ways to solve some of the functional equations encountered
in Olympic problems for high school and high school students.
Keywords:
variable, unknown function, functional equation, continuous function, general
solution.
Maktab va akademik litsey matematikasida o‘rganiladigan tenglamalarni yechishning
asosiy maqsadi bazi-bir noma’lum o‘zgaruvchi miqdorning sonli qiymatlarini topishdan iborat.
Shu bilan birga ayrim masalalar to‘plamida, olimpiada va konkurs masalalarida
uchraydigan tenglamalar ham uchraydiki, bu tenglamalarni yechishning asosiy maqsadi noma’lum
o‘zgaruvchi miqdorning sonli qiymatlarini emas, balki noma’lum funksiyalarni topishdan iborat.
Misol uchun
va yana boshqa shunday turdagi tenglamalar uchrashadi, bunday tenglamalarda noma’lum
o‘zgaruvchi endi bazi funksiyalardan iborat. Misol uchun yuqoridagi tenglamalarda noma’lum
o‘zgaruvchi ( ) f (x) funksiyasidan iborat.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
812
Bunday tenglamalar funksional tenglamalar bo‘lib hisoblanadi. Funksional
tenglamalarning yechimi umumiy yechim va xususiy yechim bo‘lib ajraladi.
Funksional tenglamalarni qanoatlantiradigan funksiya yoki funksiyalar sinfi xususiy
yechim bo‘lib topiladi. Funksional tenglamalarni qanoatlantiradigan funksiyalar yoki funksiyalar
sinfining yig‘indisi umumiy yechim bo‘lib hisoblanadi. Maktab va akademik litsey
matematikasida ko‘proq o‘rganiladigan funksional tenglamalarning biri Koshi tenglamalari
sinfiga kiradigan
ko‘rinishdagi tenglamalarni ham qaraydi. Shu sababli bu tenglamalar ko‘pincha Koshining
funksional tenglamalari deyiladi. Bu tenglamalarning yechimlari elementar matematikadan
ma’lum bo‘lgan ko‘rsatkichli, logarifmik va darajali funksiyalar orqali ko‘rsatiladi. Quyida Koshi
tenglamalarini yechishga olib kelinadigan matematikaning ayrim masalalarini qaraymiz. 1-misol.
Mayli tekislikda shunday egri chiziqni topish talab etilsinki, bu egri chiziqning bo‘yida
yotgan ixtiyoriy ikki nuqta uchun birining absissasi, ikkinchisining ordinatasiga ko‘paytmasining
yig‘indisi, absissasi shu ikki nuqtaning absissalarining ko‘paytmasiga teng bo‘lgan uchinchi
nuqtaning ordinatasiga teng bo‘lsin. Yechilishi. Masalani yechish uchun grafigi uzliksiz bo‘lgan
va argumentning musbat qiymatlarida aniqlangan funksiyani topish bilan chegaralanamiz.
Berilgan masalani yechish
ko‘rinishdagi funksional tenglamani yechishga olib kelinadi. Mayli
belgilashni
kiritaylik. U holda berilgan tenglamadan Koshi tenglamalarining biri bo‘lib topiladigan
tenglamasiga ega bo‘lamiz. x
0uchun ( ) g( x) uzliksiz funksiya
bo‘lishidan, bu tenglamaning yechimi
bo‘ladi, bu erda C erkli o‘zgarmas.
1-misol.
x
0 uchun aniqlangan va
tenglamasini qanoatlantiradigan
uzliksiz f(x) funksiyasini toping.
Yechish. Tenglamaning ko‘rinishidan, noldan farqli hech qanday o‘zgarmas son (2)
tenglamani qanoatlantirmasligi aniq.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
813
Shuning bilan birga xning mumkin bo‘lgan qiymatlarida (2) dan f(x )>0 bo‘lishi kelib
chiqadi. Mayli f(x)= y bo‘lsin, u holda (2) ni f(y)= xy ko‘rinishda yozib, bundan f( f( y))= f( xy)
tengligi kelib chiqadi. Shu bilan birga (2) dan x ni y bilan almashtirib va y=f (x) ekanligini hisobga
olib
tengligiga ega bo‘lamiz. Bu Koshining funksional
tenglamasi bo‘lib topiladi. Uning noldan farqli uzliksiz yechimi
funksiyasi (2)
tenglamani a ning barcha qiymatlarida qanoatlantirmaydi. Shu maqsatda bu funksiyani berilgan
tenglamadagi o‘rinlariga qo‘yib, a ning kerakli qiymatlarini saylab olamiz.
ni (2) tenglamaga qo‘ysak
bo‘ladi. Bundan
bo‘lib,
bo‘ladi, demak
funksiyalari (2) tenglamani
qanoatlantiradi. Shunday qilib berilgan tenglamaning yechimlari
funksiyalari bo‘lib topiladi. Bazi-bir funksional tenglamalarni yechish jarayonida tenglamaning
ikki tomonidan hosila olish maqsadga muofiq bo‘ladi. Bu holda berilgan tenglamada noma’lum
funksiya bilan birga uning hosilasida qatnashib, tenglama differensial tenglamaning bir turiga
aylanadi. Bu usul Koshining funksional tenglamalarini yechish paytida yechimni
differensiallanuvchi funksiyalar sinfidan izlangan paytda foydalaniladi.
3-misol.
Agar f(1)=3 va f(2)=7 bo lsa
rekurrentlik nisbat yordamida berilgan ketma-ketlikning n hadining formulasini aniqlaylik.
Yechilishi. Masalani yechish uchun dastlab izlanuvchi funksiyaning bir necha qiymatlarini
aniqlaymiz:
Bu ikkalasidan quyidagicha xulosaga kelamiz
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
814
endi matematik induksiya yordamida topilgan bu formulaning to‘g‘riligini tekshiramiz. Dastlab
n
1
uchun
ni
hisoblaymiz.
Endi
uchun
tengligini to‘g‘ri deb faraz qilib, rekurrentlik nisbat bo‘yicha
tengligiga ega
bo‘lamiz. Shunday qilib (3) ning barcha natural sonlar uchun to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. Maktab
va akademik litsey o‘quvchilari bilan bu kabi dars va darsdan tashqari mashg‘ulotlarni tashkil etish
iqtidorli o‘quvchilarni matematika olimpiadalariga tayyorlashda o‘zining ijobiy natijasini beradi.
REFERENCES
1.
Азамов А.А., Кучкаров А.Ш., Бекимов М.А. Халқаро математика Cолимпиада
масалалари. Тошкент, 2012. –224 в.
2.
Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. Киев. «Вища школа».
1983.
3.
Satimov Farrux Zafarovich CHEMISTRY STUDENTS IN A SCHOOL CHEMISTRY
COURSE PISA TESTS FOR KNOWLEDGE BUILDING PLACE AND SIGNIFICANCE
// Modern Science and Research. 2024.T.3.-№. 5.-С. 1171-1174,
4.
SatimovFarruxZafarovich MAKTAB KIMYO KURSIDA O'QUVCHILARDA KIMYO
FANIGA OID BILIMLARINI SHAKLLANTIRISHDA PISA TESTLARNING O'RNI
VA AHAMIYATI// Modern Science and Research. 2024. T. 3.-№. 5.-C. 1171-1174,
