2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
173
SILINDRIK KVANT IPDAGI ZARRACHALARNING ENERGETIK
SPEKTRI VA TO’LQIN FUNKSIYASI
U.I. Azimov
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Samarqand filiali
J.T.Parmanov
Mirzo Ulug‘bek nomidagi Samarqand davlat arxitektura-qurilish universiteti
https://doi.org/10.5281/zenodo.15087671
Annotatsiya. O’lchamlik va tanlangan silindrik ipdagi zarrachaning energetic holatlarini
va mos to’lqin funksiyalarini Shredinger tenglamasini chegaraviy shartlardan foydalangan
holda yechish orqali aniqlangan.
Kalit so’zlar: Kvant ip, to’lqin funksiya, de Broyl to’lqin uzunligi, o’lchamli effektlar,
energetik spektr.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ В
КВАНТОВОЙ ПРОВОЛОКЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ.
Аннотация. Определены уровни энергии и волновые функции частиц в квантовой
проволоке цилиндрической формы решением уравнение Шредин-гера с использованием
граничных условий.
Ключевые слова: Квантовая проволока, волновая функция, длина волны де Бройля,
размерные эффекты, энергетический спектр.
THEENERGY SPECTRUM AND WAVE FUNCTION OF ARE PARTICLES IN A
CYLINDRICAL QUANTUM WIRE
Abstract. Determined energy levels and wave function of are particles in a cylindrical
quantum wire solving Schrodinger equation using boundary condition.
Keywords: quantum wire, wave function, de Broyl wavelength, size effects, energy
spectrum.
Oxirgi o’n yiliklarda kichik o’lchamli yarim o’tkazgichlar fizikasi sohasida bir qancha
yangi kashfiyotlar qilindi. Bu kichik o’lchamli yarim o’tkazgichlar tizimida ko’pgina elektron
xossalari jiddiy ravishda o'zgaradi – katta sondagi yangi, o’lchamli effektlar deb ataluvchi effektlar
yuzaga keladi. Erkin zaryad tashuvchilarning o’lchamlari de Broyl to’lqin uzunligiga yaqin va
kichik bo’lgan sohalarda bitta, ikkita yoki barcha uchta koordinatalar yonalishlaridagi harakatlari
cheklanganligi tufayli vujudga keladigan kvant o’lchamli strukturalarda xossalar butunlay
o’zgaradi. Bunda kvant mexanika qonunlari kuchga kiradi va elektron tizimining eng fundamental
xarakteristikasi bo’lgan energetik spektri o’zgaradi. Harakati cheklangan koordinata bo’ylab
harakat uchun spektr uzluksiz holdan diskret ko’rinishga aylanadi. Agar harakat bir yoki ikki
yonalish bo’ylab cheklangan bo’lsa, tashqi maydonlar ta’sirida va sochuvchilar (fononlar,
aralashma atomlari) bilan o’zaro ta’sirlashuv electron va kovaklar impulsining uchta
komponentasi o’rniga faqat ikkita yoki bitta komponentasi o’zgarishi mumkin, natijada zaryad
tashuvchilar o’zlarini ikki o’lchamli yoki bir o’lchamli elektrongaz sifatida namayon etishadilar.
Harakatlari barcha uchyo’nalishda ham cheklangan kvant strukturalari suniy atomlarni eslatadi,
bunda energetic spektr to’liq diskret bo’ladi[1-3].
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
174
Bu maqolam o’lchamli kvantlangan ipdagi zarrachaning energetic holatlarini va mos
to’lqin funksiyalarini Shredinger tenglamasini chegaraviy shartlardan foydalangan holda yechish
orqali aniqlashga bogishlangan.
Kvant ip
– bu bir o’lchamli (1D) ob’ektdir (1
a
– rasm). Elektronlar harakati o’lchamlari
mos ravishda
a
va
b
bo’lgan kesmalar bilan
y
va
z
o’qlari bo’ylab cheklangan va
x
o’qi bo’yicha,
ya’ni ipning o’qi bo’ylab erkin harakat qiladi.
1 – rasm. Ikki y va z yo’nalishlarida davomiyligi cheklangan bir o’lchamli (1D) past
o’lchamli ob’ekt – kvant ip (a), elektron energiyasining kvazi to’lqin vektori k
x
ga bog’liqligi
grafigi (b).
Bunda elektronning energetic spektrini va to’lqin funksiyasini aniqlash uchun Shredinger
tenglamasi umumiy holda quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
−
ℏ
2
2𝑚
∗
(
𝜕
2
𝜕𝑥
2
+
𝜕
2
𝜕𝑦
2
+
𝜕
2
𝜕𝑧
2
) Ѱ(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑈(𝑦, 𝑧)Ѱ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸Ѱ(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(1)
Agar kvant ip ko’ndalang kesim yuzi radiusi
R
aylanadan iborat bo’lgan silindr shaklida
bo’lsa, silindrik koordinatalar sistemasida, ya’ni
x
=
x
,
y
=
rsin
𝜑
,
z
=
rcos
𝜑
,
tg
𝜑
=
y
/
z
,
𝑟 = √𝑦
2
+ 𝑧
2
= |𝐫⃗|
,
𝐫⃗ = (𝑦, 𝑧)
- ikki o’lchamli radius –vektor
Shredinger tenglamasi quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
−
ℏ
2
2𝑚
∗
𝜕
2
𝜕𝑥
2
Ѱ(𝑥, 𝒓
⃗⃗) −
ℏ
2
2𝑚
∗
[
𝜕
2
𝜕𝑟
2
+
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
+
1
𝑟
2
𝑑
2
𝑑𝜑
2
+ 𝑈(𝑟)] Ѱ(𝑥, 𝒓
⃗⃗) = 𝐸Ѱ(𝑥, 𝒓
⃗⃗)
(2)
(2) tenglamaning echimini quyidagi ko’rinishda tasavur qilish mumkin:
Ѱ(𝑥, 𝒓
⃗⃗) =
1
√𝐿
𝑥
𝑒
𝑖𝑘
𝑥
𝑥
𝜓(𝒓
⃗⃗)
, (3)
Bu erda
L
x
–
x
o’qi bo’yicha normallovchi uzunlik.
(3) echimni (2) tenglamaga qo’ysak, elektronning energiyasi va to’lqin funksiyasini
aniqlash uchun quyidagi tenglamani olamiz:
−
ℏ
2
2𝑚
∗
[
𝜕
2
𝜕𝑟
2
+
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
+
1
𝑟
2
𝑑
2
𝑑𝜑
2
+ 𝑈(𝑟)] 𝜓(𝒓
⃗⃗) = 𝐸′𝜓(𝒓
⃗⃗)
, (4)
Bu erda
𝐸
′
= 𝐸 −
ℏ
2
𝑘
𝑥
2
2𝑚
∗
. (5)
𝑈(𝑟)
– ikki o’lchamli cheksiz chuqur sferik simmetrik potensiyal o’rani quyidagi
ko’rinishda olamiz:
𝑈(𝑟) = {
0, 𝑟 < 𝑅
∞, 𝑟 ≥ 𝑅
. (6)
(3) echimi potensiyal o’raning (6) shakliga muvofiq quyidagi chegaraviy shartlarni
qanoatlantirishi zarur, ya’ni
𝜓(𝑟 ≥ 𝑅) = 0
va
𝜓(𝑟 < 𝑅) ≠ 0
.
(4) tenglamaning
𝑟 < 𝑅
echimini
𝜓(𝒓
⃗⃗) = 𝑒
𝑖𝑚𝜑
𝜒(𝑟)
(7)
ko’rinishda olamiz.
(7) echimni (4) tenglamaga qo’yib
𝜒(𝑟)
uchun quyidagi tenglamani
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
175
𝜒
′′
+
1
𝑟
𝜒
′
+ (𝜆
2
−
𝑚
2
𝑟
2
) 𝜒 = 0
, (8)
Bu erda
𝜆
2
=
2𝑚
∗
𝐸
′
ℏ
2
yoki
𝐸
′
=
ℏ
2
𝜆
2
2𝑚
∗
. (9)
O’lchamsiz o’zgaruvchi
𝑡 = 𝜆𝑟
ni kiritamiz. U holda (8) tenglama
𝜒
′′
+
1
𝑡
𝜒
′
+ (1 −
𝑚
2
𝑡
2
) 𝜒 = 0
. (10)
Bu tenglamaning echimi
m
tartibli Bessel funksiyasi hisoblanadi [4].
𝜒(𝑡) = 𝐶𝐽
𝑚
(𝑡)
, (11)
𝐽
𝑚
(𝑡)
funksiya
𝑡 → 0
da har qanday musbat va butun manfiy tartiblarda chekli bo’lib
qoladi.
|𝑡| ≪ 1𝑚 ≥ 0
tartibda quyidagi yaqinlashish
𝐽
𝑚
(𝑡) ≈
1
Г(𝑚+1)
(
𝑡
2
)
𝑚
(12)
orqali ifodalash mumkin.
𝜒(𝑟 = 𝑅) = 0
shartdan
𝐽
𝑚
(𝜆
𝑛
𝑅) = 0
yoki
𝐽
𝑚
(𝜘
𝑛
) = 0
(13)
Bu erda
𝜘
𝑛
- Bessel funksiyasining ildizlari.
U holda
𝜘
𝑛
= 𝜆
𝑛
𝑅
va bu erdan
𝜘
𝑛
2
= 𝜆
𝑛
2
𝑅
2
ni (9) ga qo’yib
𝐸
′
=
ℏ
2
𝜘
𝑛
2
2𝑚
∗
𝑅
2
va buni (5) ga qo’yib
𝐸 =
ℏ
2
𝜘
𝑛
2
2𝑚
∗
𝑅
2
+
ℏ
2
𝑘
𝑥
2
2𝑚
∗
(14)
Jadval – 3: Bessel funksiyasining ildizlari
m
= 0,
s
m = 1, p
m
= 2,
d
m = 3, f
n
𝜘
𝑛
𝜘
𝑛
𝜘
𝑛
𝜘
𝑛
1
2,405
3,832
5,136
6,380
2
5,520
7,016
8,417
9,761
3
8,654
10,173
11,620
13,015
Normallovchi koeffisient
𝐶
ni normallash shartidan aniqlaymiz:
𝐶
𝑛
=
1
√𝜋𝑅𝐽
𝑚+1
(𝜘
𝑛
)
, (15)
(15) ni (11) ga va (11) ni (7) ga qo’yib, hosil bo’lgan ifodani (3) ga va undan keyin (3) dan
to’lqin funksiyaning oxirgi ifodasini olamiz:
Ѱ(𝑥, 𝒓
⃗⃗) =
1
√𝜋𝐿
𝑥
𝑅𝐽
𝑚+1
(𝜘
𝑛
)
𝑒
𝑖𝑘
𝑥
𝑥
𝑒
𝑖𝑚𝜑
𝐽
𝑚
(𝜆
𝑛
𝑅)
. (16)
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Ando T., Fowler A. B., Stern F.
Electronic properties of two-dimensional systems
. Reviews
of Modern Phiysics, V.
54
, No. 2, pp. 437-466 (1982). Rustiliga tarjimasi:
Elektroniy i
svoystva dvumernix system.
Moskva, “Mir” (1985).
2.
A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, C. F. Musixin, C.A. Riykov.
Fizika nizkorazmernyix system
.
SPb.:Nauka, 2001, 160 s.
3.
V. Ya. Demixovskiy, G. A. Vugal’ter.
Fizika kvantovyix nizko razmernyix struktur.
M.:
Logos, 2000, 248 s.
4.
V. I. Smirnov.
Kurs vыsshey matematiki,
t.2. GITTL, Moskva, 1953, str. 94-95.
