UCH QATLAMLI PLITALARNING BIR JINSLI BO‘LMAGAN ASOS BILAN UZLUKSIZ KONTAKT MUNOSABATIGA DOIR MASALANING YECHILISHI

2025-YIL

28-29-MART

“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA

YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”

Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi

295

UCH QATLAMLI PLITALARNING BIR JINSLI BO‘LMAGAN ASOS BILAN

UZLUKSIZ KONTAKT MUNOSABATIGA DOIR MASALANING YECHILISHI

Mamasoliyev Kazokboy

SamDAQU, professor f.-m.f.d. (DSc),

q-mamasoliev@mail.ru;

Sindarov Jamshid Abdalimovich

SamDAQU, o‘qituvchi,

sindarovjamshid1988.mail.ru;

https://doi.org/10.5281/zenodo.15089011

Annotatsiya.

Uch qatlamli plitalarning bir jinsli bo‘lmagan asos bilan uzluksiz kontakt

munosabatidagi uch qatlamli plitalarning ichki zo’riqish kuchlarini baholashga doir masala
qaralgan. Guruntli asosning bir jinslimasligi chuqurlik bo’yicha darajali qonuniyatga
bo’ysinuvchi o’zgaruvchi deb olingan. Plitalar orasiga elastik to’ldiruvchi qatlam joylashtirilgan.
To’ldiruvchi qatlamning plitalarga bosimi ularning egilishlari farqiga proporsional deb olingan.
Amaliyotda ko’p uchraydigan to’plangan kuch ta’siridagi uch qatlamli balka-plitalarning egilish
tenglamalari keltirilgan. Masalani yechuvchi yopiq tenglamalar sistemasidan iborat matematik
model yaratilgan. Ultrosferik ko‘phadlarning tadbiqiga asoslangan analitik hisoblash usuli ishlab
chiqilgan.

Kalit so’zlar:

Gurunt,

bir jinslimas, qatlam, to’plangan kuch, singulyarlik, kontakt

munosabat, yoyilma, ultrosferik, cheksiz algebraik tenglama.

Kirish.

Bilamizki, barcha bino va inshoatlar fundamentlari orqali guruntli asos bilan birga

ishlaydi. Bunda guruntning turli xususiyatlari va ko`tarib turgan turli qatlamli konstruktiv
qurilmalarning ichki zo`riqish faktorlariga ta’sir qiladi. Asos bilan kontakt munosabatdagi qatlamli
konstruksiyaning tashqi kuchlar ta’sirida zo’riqishlarini aniqlash va baholash elastiklik
nazariyasining muhim muammolaridan biridir. Bu muammolar bino va inshoatlarning qurilishi
bilan to`g`ridan-to`g`ri bog`liq ekanligini alohida qayt etish mumkin. Shu nuqtai nazaridan asos
bilan bevosita munosabatdagi turli mexanik, geometrik xususiyatli qatlam elementlari, hamda
asosning konstruksiyada bo’ladigan ichki zo’riqish kuchlarini imkon qadar aniqlashga va
baholashga xizmat qiladigan matematik model hamda hisoblash usullarini aniqlash mexanikaning
muhim aktual masalalaridir. Bunday muammolarni hal qilishga qaratilgan ko’plab masalalar
yechilgan va amaliyotda o’z tadbiqlarini topgan bo’lsada yechimini kutayotgan masalalar
yetarlicha ko’p.

Ushbu ilmiy tadqiqot ishi bir jinsli bo‘lmagan asosda yotuvchi uch qatlamli plitalalarning

kuchlanganlik-deformatsion holatini tadqiq qilish uchun matematik modelini ishlab chiqishga va
ultrosferik ko‘phadlarning qo‘llanilishiga asoslangan analitik hisoblash usulini yaratishga
bag‘ishlangan.

Masalaning qo`yilishi

Bir jinsli bo‘lmagan guruntli asosga jips joylashtirilgan ikki qatlamli plitalarni qaraymiz.

Plitalar orasiga elastik qatlam joylashtirilgan bo‘lsin. Plitalar orasidagi elastik qatlamni
to‘ldiruvchi qatlam deb nomlaymiz. To‘ldiruvchi qatlamni uchinchi qatlam deb tushunish
mumkin. Yuqorida joylashgan plitaning simmetriya markazidagi bo‘ylama o‘qi bo‘ylab amalda
ko’p uchraydigan to‘plangan P tashqi kuch qo‘yilganda plitalardagi ichki zo`riqish kuchlarini
aniqlash va baholash masalasini qaraymiz.

2025-YIL

28-29-MART

“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA

YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”

Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi

296

Aytilgan uch qatlamli plita bilan asosning kontakt munosabatida plitalarning bo‘yi va eni

bir xil -

𝑏

va - 2

𝑙,

balandliklari turlicha -

ℎ

1

, ℎ

2

bo’lsin deb faraz qilamiz. Qaralayotgan

konstruksiyadagi qatlamli plitadan bir birlik kesimidan iborat bo‘lakchasini olamiz. Bu bo‘lakcha
yuqoridan simmetriya markaziga to‘plangan kuch qo‘yilgan uch qatlamli balka-plitalarni bildiradi.
Shu sabab qaralayotgan masala uch qatlamli balka-plitalarning hisobiga oid masalaga keltiriladi.

Masalaning matematik modellashtirilishi

Qulaylik maqsadida koordinatalar markazini balka-plitalarning simmetriya markaziga

joylashtiramiz. U holda asosning cho‘kishi, balka-plitalarning egilishlari (salqiliklari)

𝑥

o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘ladi.

Elastik bir jinsli bo‘lmagan asosning elastiklik moduli chuqurlik bo‘yicha darajali uzluksiz

funksiya bo‘lib,

𝐸 = 𝐸

𝑚

𝑦

𝑚

,

0 ≤ 𝑚 < 1 (1)

ko`rinishidagi qonuniyatga ega bo’lsin [1,2]. Bu yerda

𝑚

-asosning bir jinslimaslik

koeffitsiyenti;

𝐸

𝑚

-asosning mexanik parametrlaridan bog`liq o‘zgarmas miqdor.

Garbunov-Pasadov nazariyasi asosida bir jinssiz asosning

𝑊(𝑥)

cho`kishini reaktiv

𝑝(𝑥)

bosim bilan bog`lovchi [3,4,7]

𝑊(𝑥) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝑝(𝑠) 𝑑𝑠

𝑙

−𝑙

(2)

formuladan foydalanamiz. Bu yerda singulyar integral yadrosi uchun guruntli asosning

xususiyatlarini inobatga olib quyidagini olamiz [1,2,5]:

𝐾(𝑥, 𝑠) =

𝜃

𝑚

𝑚

1

|𝑥 − 𝑠|

𝑚

. (3)

Bu yerda

𝜃

𝑚

=

(1 − 𝜈

0

2

) sin

ɣ𝜋

2 Г

[1 + (1 − ɣ + 𝑚)/2] Г[1 + (1 + 𝛾 + 𝑚)/2]

𝜋(1 + 𝑚)𝐸

𝑚

2

−1−𝑚

Г (𝑚 + 2)

;

ɣ

2

= [1 − 𝜈

0

(𝑚 + 1)](𝑚 + 1)(1 − 𝜈

0

)

−1

;

Г(𝑥)

- Eylerning gamma funksiyasi.

Quyida joylashgan balka-plitaning egilishini

𝑊

1

(𝑥)

deb, yuqoridagisinikini

𝑊

2

(𝑥)

deb

belgilaymiz. To‘ldiruvchi qatlamning balka-plitalarga bo‘lgan

𝑝

𝑡

(𝑥)

bosimini balka-plitalar

egilishlari farqiga proporsional deb,

𝜆(𝑊

1

− 𝑊

2

) = 𝑝

𝑡

(4)

ko‘rinishda qabul qilamiz. Bu yerda

𝜆 −

to‘ldiruvchi qatlamning bikirlik koeffitsiyenti.

Aytilgan hisoblash sxemasiga muvofiq keltirilgan balka-plitalarning egilishlarini

ifodalovchi differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:

𝐷

1

𝑊

1

𝐼𝑉

= 𝑝

𝑡

(𝑥) − 𝑝(𝑥), 𝐷

2

𝑊

2

𝐼𝑉

= 𝑃 − 𝑝

𝑡

(𝑥). (5)

Bu yerda

𝐷

1

, 𝐷

2

- balka-plitalarning bikirlik koeffitsiyentlari. Asos bilan plitaning uzluksiz

kontakt munosabatini

𝑊

1

(𝑥) = 𝑉(𝑥), −𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 (6)

tenglik orqali yozib olamiz.

Masalani yechish usuli

Bir jinsli bo‘lmagan asosning cho`kishini ifodalovchi (3) formuladagi singulyar integral

uchun [5,6] quyidagi yoyilmani olamiz:

2025-YIL

28-29-MART

“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA

YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”

Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi

297

1

⌊𝑥 − 𝑠⌋

𝑚

=

2Г(

𝑚

2 )

Г(𝑚 + 1) cos

𝑚𝜋

2

∑ (

𝑚

2

+ 𝑛)

∞

𝑛=0

С

𝑛

𝑚

2

(𝑥)𝐶

𝑛

𝑚

2

(𝑠). (7)

Bu formuladan,

С

𝑛

𝑚

2

(𝑥)

- Gegenbauerning ultrosferik ko`phadi [5,6]. Keltirilgan (7)

yoyilmadan ko`rinadiki

𝐺

𝑛

𝑚

2

(𝑥)

- ko`phad (3) hisobga olinganda (2) tenglikdagi singulyar integral

uchun xos funksiyadir. Shuning uchun, bir jinsli bo‘lmagan asosning noma’lum

𝑝(𝑥)

bosimini

noma’lum

𝐴

𝑛

koeffitsiyentli ultrosferik ko‘phadlarning qatori

𝑝(𝑥) = 𝜌(𝑥) ∑ 𝐴

𝑛

𝐶

𝑛

𝑚

2

(𝑥)

∞

𝑛=0

(8)

ko‘rinishida qidiramiz. Bu yerda

𝜌(𝑥)

-qaralayotgan ko‘phadning vazn funksiyasi.

Shuni alohida ta’kidlash lozimki, tadqiqot [5] ishlarida

С

𝑛

𝑚

2

(𝑥)

ko`phad bir jinsli bo‘lmagan

asosning xususiyatlarini yaxshi ifodalashi ko`rsatilgan.

Keltirilgan (7), (8) ifodalarni (2), (3) formulalarga qo`yib, ko`phadlarning ortogonalligidan

foydalanib, bir jinssiz asosning cho`kishini topish uchun

𝑊(𝑥) = 𝛼

𝑚

∑ 𝐴

𝑛

∞

𝑛=0

(

𝑚

2

+ 𝑛) ‖𝐶

𝑛

𝑚

2

‖𝐶

𝑛

𝑚

2

(𝑥) (9)

formulani hosil qilamiz. Bu yerda

‖𝐶

𝑛

𝑚

2

‖

-tegishli ko`phadning normasi;

𝛼

𝑚

[5];

Tashqi kuch simmetrik qo`yilganligi uchun (8), (9) qatorlarning faqat juft raqamli

qo`shiluvchi hadlari olinishi lozim ekanligi tushunarli holdir.

Differensial tenglamalarning (5) sistemasi (8) qatorni hisobga olganda quyidagi umumiy

yechimga ega bo’ladi;

𝑊

1

=

1

𝐷

1

+ 𝐷

2

{ 𝐹

1

(𝑥) − 𝐷

2

𝐹

2

(𝑥) − ∑ 𝐴

2𝑛

[ 𝑓

2𝑛

(𝑥) +

𝐷

2

𝐷

1

𝜑

2𝑛

(𝑥)]}

∞

𝑛=0

(10)

𝑊

2

=

1

𝐷

1

+ 𝐷

2

{𝐹

1

(𝑥) + 𝐷

1

𝐹

2

(𝑥) − ∑ 𝐴

2𝑛

[ 𝑓

2𝑛

(𝑥) − 𝜑

2𝑛

(𝑥)]}.

∞

𝑛=0

(11)

Bu yerda,

𝐹

1

(𝑥) = ∑ 𝐶

𝑖

𝑥

4−𝑖

4

𝑖=1

+

𝑝

24

𝑥

4

; 𝐹

2

(𝑥) = ∑ 𝐶

4+𝑖

𝑢

𝑖

(𝛼𝑥)

4

𝑖=1

−

1

4𝛼

4

[1 − 𝑢

𝑖

(𝛼𝑥)];

𝑓

2𝑛

4

= 𝜌(𝑥)𝐶

2𝑛

𝑚

2

(𝑥); 𝜑

2𝑛

(𝑥) =

1

4𝛼

3

∫ 𝑢

4

[𝛼(𝑥 − 𝑧)]𝜌(𝑥)

𝑥

0

𝐶

2𝑛

𝑚

2

(𝑥) 𝑑𝑥;

𝑢

1

(𝛼𝑥) = 𝑐ℎ𝛼𝑥 cos 𝛼𝑥

;

𝑢

2

(𝛼𝑥) = 𝑐ℎ𝛼𝑥 sin 𝛼𝑥 − 𝑠ℎ𝛼𝑥 cos 𝛼𝑥;

𝑢

3

(𝛼𝑥) = 𝑠ℎ𝛼𝑥 sin 𝛼𝑥

;

𝑢

4

(𝛼𝑥) = 𝑐ℎ𝛼𝑥 sin 𝛼𝑥 − 𝑠ℎ𝛼𝑥 cos 𝛼𝑥

;

𝛼

4

= (

1

𝐷

1

+

1

𝐷

2

)

𝝀

4

;

𝐶

𝑖

-integrallash o`zgarmaslari.

Chegara shartlarni qanoatlantiruvchi, quyidagi formulalarni olamiz:

𝑊

1

=

1

𝐷

1

+ 𝐷

2

{𝐹

11

− ∑ 𝐴

2𝑛

[

𝐷

2

𝐷

1

𝐹

2𝑛

(𝑥) + 𝑓

2𝑛

(𝑥)]

∞

𝑛=0

} ; (12)

2025-YIL

28-29-MART

“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA

YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”

Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi

298

𝑊

2

=

1

𝐷

1

+ 𝐷

2

{𝐹

11

+ ∑ 𝐴

2𝑛

[𝐹

2𝑛

(𝑥) − 𝑓

2𝑛

(𝑥)]

∞

𝑛=0

}. (13)

Bu formulalarda

𝐹

11

(𝑥) = 𝑃 [

𝑥

4

12

+ 𝜇𝑥

2

−

1

24

(1 −

𝐷

2

𝐷

1

)] ;

𝜇 = −0.5 −

2

𝑚 + 1

‖𝐶

0

𝑚

2

‖

−1

;

𝐹

2𝑛

(𝑥) = 𝛷

1,2𝑛

𝑢

1

(𝛼𝑥) + 𝛷

2,2𝑛

𝑢

3

(𝛼𝑥) + 𝜑

2𝑛

(𝑥);

𝛷

1,2𝑛

=

1

8𝛼

3

𝑏

∫{2𝑢

1

(𝛼)𝑢

1

[𝛼(𝑙 − 𝑥)] + 𝑢

4

(𝛼)𝑢

2

[𝛼(𝑙 − 𝑥)]}𝜌(𝑥)𝐶

2𝑛

𝑚

2

𝑙

0

(𝑥) 𝑑𝑥;

𝛷

2,2𝑛

=

1

8𝛼

3

𝑏

∫{2𝑢

3

(𝛼)𝑢

1

[𝛼(𝑙 − 𝑥)] − 𝑢

2

(𝛼)𝑢

2

[𝛼(𝑙 − 𝑥)]}𝜌(𝑥)𝐶

2𝑛

𝑚

2

𝑙

0

(𝑥) 𝑑𝑥;

𝑏 = 𝑢

1

(𝛼)𝑢

2

(𝛼) + 𝑢

3

(𝛼)𝑢

4

(𝛼).

Keltirilishiga binoan, asosning bosimi (8), asosning cho`kishi (9), balka-plitalarning

egilishlari (12), (13) formulalar noma’lum

𝐴

2𝑛

koeffitsiyentlar orqali ifodalandi. Ushbu noma’lum

𝐴

2𝑛

koeffitsiyentlarni topish uchun kontakt (6) shartdan foydalanamiz.

Aniqlangan (12) va (13) formulalarni (6) tenglikga qo`yib, natijani

𝜌(𝑥)𝐶

2𝑘

𝑚

2

(𝑥)

ifodaga

hadlab ko`paytirib, so`ngra tenglikni

−𝑙

dan

𝑙

gacha integrallaymiz. Integrallashda ko`phadlarning

ortogonalligidan foydalanib va

𝑏

2𝑘

=

1

𝐷

1

+ 𝐷

2

∫ 𝐹

11

(𝑥)𝜌(𝑥)𝐶

2𝑘

𝑚

2

(𝑥) 𝑑𝑥

𝑙

−𝑙

𝑏

2𝑛,2𝑘

=

1

(𝐷

1

+ 𝐷

2

)

∫ [

𝐷

2

𝐷

1

𝐹

2𝑛

(𝑥) + 𝑓

2𝑛

(𝑥)] 𝜌(𝑥)𝐶

2𝑘

𝑚

2

(𝑥) 𝑑𝑥

𝑙

−𝑙

belgilashlarni kiritib,

𝐴

2𝑛

noma’lumlarga nisbatdan

𝑏

2𝑘

+ ∑ 𝑏

2𝑛,2𝑘

𝐴

2𝑛

∞

𝑛=1

= 𝛼

𝑚

(0.5𝑚 + 2𝑘 ‖𝐶

2𝑘

𝑚

2

‖) 𝐴

2𝑘

, 𝑘 = 1,2, … (14)

ko`rinishdagi cheksiz algebraik chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Keltirilgan cheksiz algebraik tenglamalar sistemasi (14) ni reduksiya usulida yechib,

topilgan A

2k

koeffitsiyentlarning aniq qiymatlarini (8), (9), (12), (13) formulalarga qo`yib,

qaralayotgan masalaning asosiy tenglamalari uchun tegishli aniq yechimlarini olamiz. Olingan
yechimlardan foydalanib, ma`lum formulalarga asosan balka-plitalarning egilish burchaklari,
eguvchi momentlari, kesuvchi nurlari kabi ichki kuchlarini aniqlaymiz va baholaymiz

Xulosalar:

1.

Uch qatlamli plitalarining bir jinsli bo‘lmagan asos bilan kontakt munosabatiga doir
masalani yechish uchun matematik modul ishlab chiqilgan.

2.

Masalani yechish uchun ultrosferik ko`phadlarning qo`llanilishiga asoslangan analitik usul
qurulgan.

2025-YIL

28-29-MART

“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA

YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”

Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi

299

3.

Uch qatlamli balka-plitalardagi ichki zo`riqish kuchlarini aniqlash va baholash uchun
mukammallashtirilgan hisoblash algoritimi yaratilgan.

Adabiyotlar:

1.

Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов разрезов тонких
включений и подкреплений. – Москва: Наука, 1982. - 342 с.

2.

Ширинкулов Т.Ш., Зарецкий Ю.К. Ползучесть и консолидация грунтов. Ташкент:
«Фан», 1986. 392 стр.

3.

Mirsaidov M.M., Mamasoliev Q. Contact problems of slabs interaction on an elastic
foundation. ICECAE 2020. IOP Conf. Ser: Earth Envirin. Sci. 614012089.
Doi:10.1088/1755-1315/614/1/012089.

4.

М.M.Mirsaidov, K.Mamasoliev. Contact interactions of multi-layer plates with a
combined

base.

AIP

Conference

Proceedings 2637,

050001

(2022).

Doi:10.1063/5.0118870

5.

М.M.Mirsaidov, K.Mamasoliev. Contact interaction of multilayer slabs with an
inhomogeneous base. Magazine of Civil Engineering. 2022. 115(7). Article No. 11504.
DOI: 10.34910/MCE.115.4

6.

М.M.Mirsaidov, N.I.Vatin, K.Mamasoliev. Bending of multilayer beam slabs lying on an
elastic half-space. Magazine of Civil Engineering Russ. ISSN 2712-8172 DOI:
10.34910/MCE.130.4 2024

https://engstroy.spbstu.ru/en/article/2024.130.4

7.

М.M.Mirsaidov, K.Mamasoliev, J.A.Sindarov. Estimation of flexural deformation of
three-layer plates interacting with an elastic half-space. AIP Conference Proceedings 3244

USA

Doi:10.1063/5.0242467

2024,

020056-1–020056-11pp.

https://doi.org/10.1063/5.0242467