2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
321
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ (Л) С
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЧЛЕНОМ
У.О.Худаёров
Самаркандский государственный архитектурно-строительный университет
имени Мирзо Улугбек, преподаватель кафедры «Общественные и естественные науки»
Email:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15089488
Аннотация.
В данной работе метод обратной спектральной задачи применяется
для интегрирования нелинейного уравнения Лиувилля (Л) с дополнительным членом в классе
периодических бесконечнозонных функций. Доказано разрешимость задачи Коши для
бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе три раз
непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что
сумма равномерно сходящегося функционального ряда построенного с помощью решения
системы уравнений Дубровина и формула первого следа, удовлетворяет уравнения Л с
дополнительным членом.
Ключевые слова:
Уравнение Лиувилля (Л) с дополнительным членом, оператор
Дирака, спектральные данные, система уравнений Дубровина, формулы следов.
В настоящей работе рассматривается задача Коши для уравнения Лиувилля с
дополнительными членоми вида:
( , ),
,
0
,
q
xt
xx
q
ae
bq
q
q x t
x
R t
(1)
с начальным условием
3
0
0
0
0
(
( , )
( )
( )
( )
,
)
t
q x t
q x
q x
q x
C R
(2)
в классе действительных бесконечнозонных
- периодических по
x
функций:
2,1
,
(
, )
( , ),
( , )
(
0)
(
0)
x t
q x
t
q x t
q x t
C
t
C t
.
(3)
Здесь
0,
a
b
- константы.
В
данной
работе
предлагается
алгоритм
построения
периодических
бесконечнозонных решений
( , ),
,
0,
q x t
x
R t
задачи (1)-(3) сведением ее к обратной
спеткральной задачи для оператора Дирака:
( , )
(
, )
,
,
0,
dy
L
t y
B
x
t y
y x
R t
R
dx
,
(4)
где
0 1
( , )
( , )
,
( , )
,
1 0
( , )
( , )
P x t
Q x t
B
x t
Q x t
P x t
1
( , )
0,
( , )
( , )
2
x
P x t
Q x t
q x t
.
Обозначим
через
1
2
( , , , )
( ( , , , ),
( , , , ))
T
c x
t
c x
t c x
t
и
1
2
( , , , )
( ( , , , ),
( , , , ))
T
s x
t
s x
t s x
t
решения уравнения (4) с начальными условиями
(0, , , )
(1,0)
T
c
t
и
(0, , , )
(0,1)
T
s
t
.
Функция
1
2
( , , )
( , , , )
( , , , )
t
c
t
s
t
называется функцией Ляпунова для уравнения (4).
Спектр оператора Дирака
( , )
L
t
чисто непрерывен и состоит из множества
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
322
2
1
2
:
( )
2
\
,
n
n
n
L
R
R
.
Интервалы
2
1
2
(
,
),
\ 0
n
n
n
Z
, называются лакунами, где
n
, корни уравнения
( )
2
0
. Они совпадают с собственными значениями периодической или
антипериодической
(0, , , )
( , , , )
y
t
y
t
задачи для уравнения (4). Нетрудно
доказать, что
1
0
0
, т.е.
0
является двукратным собственным значением
периодической задачи для уравнения (4).
Корни уравнения
1
( , , , )
0
s
t
обозначим через
( , ),
\ 0
n
t n
Z
и при этом
2
1
2
( , ) [
,
],
\ 0
n
n
n
t
n
Z
. Так как коэффициент в уравнения (4) имеет вид
1
( , )
0,
( , )
( , )
2
x
P x t
Q x t
q x t
, то справедливо
1
0
0
0
, т.е.
0
является
собственным значением задачи Дирихле.
Числа
( , ),
\ 0
n
t n
Z
, и знаки
2
1
( , )
{ ( ,
, , )
( ,
, , )},
n
n
n
t
sign s
t
c
t
\ 0
n
Z
называются спектральными параметрами оператора
( , )
L
t
. Спектральные
параметры
( , ),
( , )
1,
\ 0
n
n
t
t
n
Z
и границы спектра
( , ),
\ 0
n
t n
Z
,
называются спектральными данными оператора Дирака
( , )
L
t
.
Задача восстановление коэффициента
,
x t
оператора
( , )
L
t
по спектральным
данным называется обратной задачей.
Если с помощью начальной функции
0
(
),
,
q x
R
построим оператор Дирака
( ,0)
L
вида
0
( ,0)
(
)
,
,
dy
L
y
B
x
y
y
x
R
R
dx
,
1
0
0
0
2
0
( )
0 1
1
,
( )
,
( )
0
1 0
2
y
q x
B
x
y
q x
y
то мы увидим, что границы спектра
( ),
n
n
Z
, полученной задачи не зависят от
параметра
,
R
т.е.
( )
,
n
n
n
Z
, а спектральные параметры от параметра
зависят:
0
0
0
0
( ),
( )
1,
,
n
n
n
n
n
Z
и являются периодическими функциями:
0
0
0
0
(
)
( ),
(
)
( ),
,
.
n
n
n
n
R n
Z
Решая
прямую
задачу,
находим
спектральные
данные
0
0
,
( ),
( ),
\ 0
n
n
n
n
Z
оператора
( ,0)
L
.
Лемма 1.
Справедливы следующие формулы следов:
1
,
0
,
2
1
,
,
k
k
k
k
k
q
t
t h
t
,
(5)
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
323
2
2
2
2
2
1
2
,
0
1
1
,
,
,
2
2
2
k
k
k
k
k
q
t
q
t
t
.
(6)
Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме.
Теорема 1.
Пусть
( , ),
,
0,
q x t
x
R t
решение задачи (1)-(3). Тогда границы
спектра оператора
( , )
L
t
не зависят от параметров
и
t
т.е.
( , )
,
\ {0},
n
n
t
n
Z
а
спектральные параметры
( , ),
( , )
1,
\ {0}
n
n
n
n
t
t
n
Z
удовлетворяют
соответственно первому и второму системы дифференциальных уравнений Дубровина:
2
1
2
1
2( 1)
(
)
( , )
,
{ }
(
\
)
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
f
n
Z
;
(7)
2
1
2
2( 1)
(
)
( , )
,
\ {0
)
}
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
f
g
n
Z
t
.
(8)
Кроме того, выполняются следующие начальные условия
0
0
0
0
( , )
( ),
( , )
( ),
\ 0
n
n
n
n
t
t
t
t
n
Z
(9)
где
0
0
( ),
( )
1,
\ 0
n
n
n
Z
- спектральные параметры оператора Дирака
( ,0)
L
.
Последовательность
( )
n
f
и
( ),
\ 0
n
g
n
Z
участвующая в уравнении (8)
определяется по формулам:
2
1
2
2
(
( , ))(
( , ))
( )
( ( , )
( , ))
k
n
k
n
n
k
k
n
k n
t
t
f
t
t
,
( , )
( )
( , )
2
q
t
n
n
n
a
g
e
b
t
.
(10)
В результате замена переменных
2
2
1
2
2
1
( , )
(
)sin
( , ),
\ 0
n
n
n
n
n
t
x
t n
Z
(11)
систему дифференциальных уравнения Дубровина (8) и начальные условия (9) можно
переписать в виде одного уравнения в Банаховом пространстве
K
:
0
0
( , )
( ( , )),
( , )
( )
t
dx
t
H x
t
x
t
x
K
dt
,
(12)
где
1
1
2
2
1
,
0
( , )
(...,
( , ), ( , ),...) :
,
n
n
n
n
n
K
x
x
t
x
t x
t
x
x
1
1
( )
(...,
( ),
( ),...),
H x
H
x H x
0
( )
( 1)
( )
( , )
( , )
n
n
n
n
n
H x
g
x
t
f
x
t
.
Известно, что если
3
0
0
(
)
( )
( )
q x
q x
С R
, то
2
0
( )
( ).
q x
С R
Поэтому для длины
лакун оператора
( ,0)
L
, имеет место оценка (см. [14], стр. 98):
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
324
2
2
2
2
1
2
3
2
k
k
k
k
k
q
k
k
,
(13)
где
3
2
3
2
2
2
2
1
2
1
,
2
,
j
k
k
j
k
k
j
k
c k
k
q
k
2
2
2
2
,
(
)
,
k
k
k
k
k
k
k
q
.
Лемма 2.
Справедливы следующие оценки:
1
2
( , )
n
C
f
x
t
C
,
3
( , )
n
m
m
f
x
t
C
x
,
(14)
4
( , )
n
g
x
t
C n
,
5
( , )
n
m
m
g
x
t
С
x
,
,
\ {0}
m n
Z
(15)
где
0,
1, 2,3, 4,5,
j
С
j
не зависят от параметра
m
и
n
.
Лемма 3.
Если
3
0
0
(
)
( )
( )
q x
q x
C R
, то вектор-функция
( ( , ))
H x
t
удовлетворяет условию Липщица в банаховом пространстве
K
, т.е. существует константа
0
L
такая, что для произвольных элементов
( , ), ( , )
x
t y
t
K
выполняется следующие
неравенство
( ( , ))
( ( , ))
( , )
( , )
H x
t
H y
t
L x
t
y
t
где
,
0
n
n
n
L
С
n
.
(16)
Замечание 1.
Теорема 1 и лемма 3 дает метод алгоритм нахождения решения задачи
(1) -(3):
1) Сначала найдем спектральные данные
0
0
,
( ),
( )
1,
\ 0
n
n
n
n
Z
,
оператора Дирака
( ,0)
L
.
2)
Обозначим
спектральные
данные
оператора
( , )
L
t
через
,
( , ),
( , )
1,
\ 0
n
n
n
t
t
n
Z
. Решая задачу Коши (8), (9) при произвольном
значении
, находим
( , ),
( , ),
\ 0
n
n
t
t
n
Z
.
3)
Из формулы следов (5) определим функция
( , )
q
t
, т.е. решение задачи (1)-(3).
Замечание 2.
Функция
( , )
q
t
построенная с помощью системы уравнений
Дубровина (8), (9) и формула следа (5) действительно удовлетворяет уравнение (1).
Замечание 3.
Равномерная сходимость рядов в (5), (6), (10) и (16) следует из равенств
(12) и оценки (14).
Теорема 2.
Если начальная функция
0
( )
q x
удовлетворяет условию
3
0
0
(
)
( )
( )
q x
q x
C R
,
2025-YIL
28-29-MART
“YANGI O‘ZBEKISTONDA MUHANDIS KADRLAR TAYORLASHNING ISTIQBOLLARI VA
YOSHLARNING IJTIMOIY - SIYOSIY FAOLLIGINI OSHIRISHNING DOLZARB MASALALARI”
Respublika ilmiy-texnik konferensiyasi
325
то существует глобальное решение
( , ),
,
0
x
q
t
t
x
x
R
задачи (1)-(3), которое
однозначно задается формулой (5).
Cписок литературы:
1.
Итс. А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-
солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза. ТМФ, 23:1(1975), с.51-68.
2.
Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги
многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. ЖЭТФ, 67:12(1974),
2131-2143.
3.
Итс. А.Р., Котляров В.П. Явные формулы для решений нелинейного уравнения
Шредингера. Докл.АНУССР. Сер. А, 1976, № 11, 965-968.
4.
Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и
модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. Матем. сб., 185:8 (1994), с.103-
114
5.
Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Решения типа «волнубийц» уравнений иерархии
Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сигура: единый подход. ТМФ, 2016, Т.186, №2, с. 191-
220.
6.
Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н (мл), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г.
Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-
геометрические аспекты. Киев: Наукова думка, 1987.
7.
Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов:
метод обратной задачи. Наука, М., 1980.
8.
Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory. Phil. Trans. R Soc. A (2008) 366,
pp. 837-875.
9.
Ince E.L. A Proof of the impossibility of the coexistence of two Mathien functions.
Proc.Cambridge Philos.1922, v.21, pp.117-120.
10.
Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических
операторов Шрёдингера и Дирака. УМН. 2006, т. 61, № 4 (370), с. 77-182.
11.
Хасанов
А.Б.,
Нормуродов
Х.Н,
Худаёров
У.О.
Интегрирование
модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–синус-Гордона в классе
периодических бесконечнозонных функций. ТМФ, 214:2 (2023), с. 198-210.
12.
Хасанов А.Б., Худаёров У.О. Интегрирование модифицированного уравнения
Кортевега-де Фриза-Лиувилля в классе периодических бесконечнозонных функций.
Мат. заметки Т.114., вып. 6, 2023, с. 894-908.
13.
Хасанов А.Б., Нормуродов Х.Н, Худаёров У.О. Задача Коши для нелинейного
уравнения Лиувилля в классе периодических бесконечнозонных функций.
Диф.урав., т.59, № 10, 2023, с. 1412-1424.
14.
Т. В. Мисюра, “Характеристика спектров периодической и антипериодической
краевых задач, порождаемых операцией Дирака I”, Теория функций,
функциональный анализ и их приложения, 30 ред. В.А. Марченко, Выща шикола,
Харьков, (1978), с. 90–101
