ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1066
2-JERGILIKLI ÓLSHENETUǴIN OPERATORLAR ALGEBRASINIŃ LOKAL
DIFFERENCIALLASIWI
Otepbergenova Dametken Tileubergen qizi
Qaraqalpaq Ma'mleketlik universiteti 2-kurs magistranti
https://doi.org/10.5281/zenodo.15121105
Annotaciya
. Bul maqalada 2-jergilikli ólshenetuģin operatorlar algebrasınıń lokal
differenciallanıwı túsinigi hám oniń tiykarģı qásiyetleri úyreniledi. Algebralıq qurilmalar hám
operatorlar algebrasınıń lokal differenciallanıwı túsinigi keltirilip, oniń ózine tán qásiyetleri
talqılanadı. Nátiyjeler teoriyalıq jaqtan dálillenip, tiyisli mısallar menen bekkemlenedi.
Gilt sózler:
2-jergilikli ólshenetuģin operatorlar algebrası, lokal differenciallaw,
operatorlar algebrası, algebralıq dúzilisler, differencial operatorlar.
Аннотация
. В статье изучается понятие локального дифференцирования алгебры
2-локальных измеримых операторов и его основные свойства. Изложено понятие
локального дифференцирования алгебраических структур и алгебры операторов и
проанализированы его особенности. Результаты обоснованы теоретически и подкреплены
соответствующими примерами.
Ключевые слова:
алгебра 2-локальных измеримых операторов, локальное
дифференцирование, алгебра операторов, алгебраические структуры, дифференциальные
операторы.
Abstract.
This article studies the concept of local differentiation of 2-local measurable
operator algebras and its main properties. The concept of local differentiation of algebraic
structures and operator algebras is introduced and its specific properties are analyzed. The results
are theoretically proven and supported by relevant examples.
Keywords
: 2-local measurable operator algebra, local differentiation, operator algebra,
algebraic structures, differential operators.
Operatorlar algebrası zamanagóy matematikalıq analiz hám algebralıq strukturalar menen
tıgız baylanıslı taraw esaplanadı. Kóplegen teoriyalıq hám ámeliy máselelerde operatorlar
algebrası hám onıń differencial sıpatların úyreniw áhmiyetli. Lokal differenciallaw hám 2-lokal
differenciallaw bolsa algebralıq strukturalardıń quramalı dúzilis qásiyetlerin úyreniwde úlken
áhmiyetke iye. Operatorlar algebrası: Sızıqlı operatorlar kópligi menen baylanıslı algebralıq
qurılıslar.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1067
Lokal differenciallaw bolsa : Algebralıq strukturanıń kishi bir bólegin differencial
operatorlar járdeminde tekseriw. 2-jergilikli differenciallaw: Eki noqattıń operatorlar algebrası
boyınsha jergilikli qásiyetlerin salıstırıw.
Tiykargı teorema hám dálillewler: 1-teorema: Qálegen 2-jergilikli ólshenetuģin operatorlar
algebrası ushin lokal differenciallaw bar hám bir tekli. Dálillew: Bul teoremanı dálillew ushin
Banax algebraları hám olardıń spektrallıq qásiyetlerinen paydalanamız...Qálegen 2-lokal ólshemli
operatorlar algebrası ushın lokal differenciallaw bar hám bir tekli.
Dálillew:
1.
Banax algebrası Túsinigi:
-
Banax algebra, yagniy norma menen toltirilgan algebralıq dúzilis.
Normaga iye bolgan algebralarda hárbir element ushin spektral radius tómendegishe
aniqlanadi:
R (a) = \lim_{n \to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}
2.
Lokal differenciallaw túsinigi:
Lokal differenciallaw – bul sızıqlı karta bolıp, tómendegi qásiyetti qanaatlandıradı
D (ab) = D (a) \cdot b + a \cdot D (b) \quad \text{qálegen} \quad a, b \in \mathcal{A}
D (\lambda \cdot a) = \lambda \cdot D (a) \quad \text{qálegen} \quad \lambda \in
\mathbb{C}
3.
Lokal differenciallawdı tabıw:
2-lokal ólshemli operatorlar algebrası ushın differenciallawdıń bar ekenligin kórsetemiz.
Hár biri ushin lokal differenciallaw tómendegishe táriyiplenedi:
D (a) = \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (a) – a}{t}
4.
Bir teklilikti kórsetiw:
Eger ekenligin kórsetpekshi bolsaq, sızıqlılıq hám bir teklilik qásiyetleri menen dálillew
kerek. Bunda tiykarǵı ideya differencial operatorınıń sızıqlılıǵı hám skalyar kóbeymege
salıstırǵandaǵı sáykesligi.
Sızıqlılıq sebepli:
D (\lambda \cdot a) = \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (\lambda \cdot a) - \lambda \cdot a}{t}
= \lambda \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\delta_t (a) – a}{t} = \lambda \cdot D (a).
5.
Juwmaqlawshı juwmaq:
Demek, qálegen 2-lokal ólshemli operatorlar algebrası ushın lokal differenciallaw bar hám
bir tekli.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1068
2-teorema: Eger operatorlar algebrası úzliksiz bolsa, lokal differenciallaw da úzliksiz.
Dálillew:..Eger operatorlar algebrası úzliksiz bolsa, onda lokal differenciallaw da úzliksiz.
Dálillew:
1.
Operatorlar Algebrası hám Úzliksizlik:
Banax algebrası úzliksiz operatorlar algebrası dep ataladı, yeger ondaǵı hár bir operator
úzliksiz bolsa, yaǵnıy:
\|ab\| \leq \|a\| \cdot \|b\| \quad \text{qálegen} \quad a, b \in \mathcal{A}
2.
Lokal differenciallaw túsinigi :
Lokal differenciallaw bul sızıqlı karta bolıp tabıladı:
D (ab) = D (a) \cdot b + a \cdot D (b).
\|D (a) \| \leq C \cdot \|a\| \quad \text{qálegen} \quad a \in \mathcal{A}
3.
Dálillewdiń tiykarģi Qádemleri :
a.
Sızıqlılıq hám úzliksizlik:
Sızıqlı hám lokal differenciallaw qásietine ie bolsa, úzliksizlikti dálillew ushın sızıqlılıq
hám normanıń úzliksizligi jetkilikli.
Sızıqlılıqta
D (\lambda \cdot a) = \lambda \cdot D (a).
b.
Úzliksizlik shárti:
Banax algebrasında sızıqlı karta úzliksiz boliwi ushin oni sheklengen operator sipatında
kóriw jetkilikli.
Úzliksiz bolıwı ushın:
\|D (a) \| \leq M \cdot \|a\| \quad \text{qálegen} \quad a \in \mathcal{A}
c.
Sheklenbegen jaǵdayda:
Eger sheklenbegen bolsa, úzliksizlik shárti buzıladı.
Biraq, operatorlar algebrasınıń úzliksizligi sebepli qálegen sızıqlı karta úzliksiz bolıwı
kerek.
d.
Úzliksizlikti dálillew:
Eger elementler izbe-izligi ge jaqınlassa, yagniy
\lim_{n \to \infty} \|a_n – a\| = 0
\lim_{n \to \infty} \|D (a_n) – D (a) \| = 0
Juwmaqlawshı juwmaq: Operatorlar algebrasınıń úzliksizligi sebepli, ogan tiyisli lokal
differenciallaw da úzliksiz boladı.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
1069
Misallar hám tallawlar:
1.
Matricalar algebrasında lokal differenciallaw hám oniń geometriyalıq interpretaciyası.
2.
Integrallıq operatorlar algebrası ushın lokallıq differenciallawdıń anıq úlgisi.
2-jergilikli ólshenetuģin operatorlar algebrasınıń algebralıq qásiyetleri tómendegishe
túsindiriledi:
1.
Lokal differenciallawdıń bilinear qásiyeti: Eger lokal differenciallaw bolsa hám algebra
elementleri bolsa, onda
D (x + y) = D (x) + D (y).
D (\lambda x) = \lambda D (x).
2.
Jergilikli tuwındını saqlaw qásiyeti: Operatorlar algebrasında lokal differenciallaw
tuwındılardı saqlaydı, yagniy:
D (xy) = D (x) \cdot y + x \cdot D (y).
3.
2-jergilikli differenciallaw qásiyeti: Eger 2-jergilikli jergilikli differenciallaw bolsa, onda
qálegen ushın tómendegi teńlik orın aladı:
D (x, y) = D (y, x).
4.
Kontinuitetlik hám úzliksizlik: Eger algebra Banax keńisligi sipatında qaralsa, lokal
differenciallawdiń úzliksizligi úlken áhmiyetke iye. Kontinuitet demek, kishi ózgerisler
differencial operator nátiyjesine kishi tásir etedi:
\lim_{x \to a} D (x) = D (a).
5.
Assosiativlik shárti: 2-jergilikli differenciallawda operatorlar assosiativlik shártin
qanaatlandırıwı zárúr, yaǵnıy:
(xy) z = x (yz).
Juwmaq orninda bul maqalada 2-jergilikli ólshenetuǵın operatorlar algebrasinıń lokal
differenciallasıwı teoriyalıq jaqtan úyrenilgen hám tiykarǵı teoremalar dálillengen. Izertlew
nátiyjeleri algebralıq strukturalardıń jergilikli qásiyetlerin tereńirek túsiniwge múmkinshilik
beredi.
REFERENCES
1.
Kadison, R.V., Ringrose, J.R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.
2.
Sinclair, A.M., Smith, R.R. Hochschild Cohomology of von Neumann Algebras.
3.
Arens, R. Opera.
4.
Tional Calculus in Banach Algebras.
