ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
858
IKKI O‘LCHOVLI TERMOELASTIK MASALALAR VA ULARNING CHEKLI
ELEMENTLAR USULI YORDAMIDA YECHISH
Islamov Xasan Toxtamuratovich
Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti,
«Amaliy matematika va intellektual texnologiyalar» fakulteti, 2-bosqich magistranti.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15210406
Annotatsiya
. Ushbu maqolada ikki o'lchovli termoelastiklik masalasining chekli
elementlar usuli yordamida sonli yechimi ko'rib chiqilgan. Tekis deformatsiya holatidagi
termoelastik muammoning matematik modeli, uni yechish algoritmi va Python dasturlash tilida
yaratilgan dastur kodi batafsil bayon qilingan. Issiqlik o'tkazuvchanlik va mexanik
deformatsiyalar bog'langan holda yechilgan bo'lib, hisoblash natijalari grafik shaklda taqdim
etilgan. Olingan natijalar asosida harorat taqsimoti, termik deformatsiyalar va kuchlanishlar
tahlil qilingan hamda yechimning amaliy ahamiyati ko'rsatilgan. Maqolada taklif etilgan
metodika mexanika va materiallar muhandisligi sohasida issiqlik va mexanik ta'sirlarni
baholash uchun foydalanilishi mumkin.
Kalit so‘zlar:
Termoelastiklik, ikki o‘lchovli masala, chekli elementlar usuli, tekis
deformatsiya, issiqlik o'tkazuvchanlik, termik kengayish, sonli yechim, Python dasturi,
deformatsiyalar, kuchlanish tahlili.
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ И ИХ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Аннотация.
В данной статье рассматривается численное решение двумерной
задачи термоупругости с использованием метода конечных элементов. Подробно
изложены математическая модель термоупругой задачи в условиях плоской деформации,
алгоритм её решения и программный код, реализованный на языке программирования
Python. Задача решалась с учетом взаимосвязи теплопроводности и механических
деформаций, а результаты расчетов представлены в графическом виде. На основе
полученных результатов проведён анализ распределения температуры, термических
деформаций и напряжений, а также показано практическое значение решения.
Предложенная методика может быть использована для оценки тепловых и
механических воздействий в области механики и инженерии материалов.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
859
Ключевые слова:
Термоупругость, двумерная задача, метод конечных элементов,
плоская деформация, теплопроводность, термическое расширение, численное решение,
программа на Python, деформации, анализ напряжений.
TWO-DIMENSIONAL THERMOELASTIC PROBLEMS AND THEIR SOLUTION
USING THE FINITE ELEMENT METHOD
Abstract.
This article discusses the numerical solution of a two-dimensional
thermoelasticity problem using the Finite Element Method. The mathematical model of the
thermoelastic problem under plane strain conditions, the solution algorithm, and the Python
program code are described in detail. The problem is solved by considering the coupling
between heat conduction and mechanical deformations, and the computational results are
presented in graphical form. Based on the obtained results, the temperature distribution, thermal
deformations, and stresses are analyzed, and the practical significance of the solution is
demonstrated. The proposed methodology can be applied to assess thermal and mechanical
effects in the fields of mechanics and materials engineering.
Keywords:
Thermoelasticity, two-dimensional problem, finite element method, plane
strain, heat conduction, thermal expansion, numerical solution, Python program, deformations,
stress analysis.
Kirish
.Termoelastiklik nazariyasi qattiq jismlarda issiqlik va mexanik maydonlarning
o'zaro ta'sirini o'rganadi. Bunda harorat o'zgarishi natijasida materiallarda qo'shimcha
deformatsiyalar va kuchlanishlar yuzaga keladi. Ushbu nazariyaning amaliy ahamiyati juda
yuqori, chunki aerokosmik injeneriya, mashinasozlik va qurilishda konstruksiyalar bir vaqtda
mexanik yuklama va harorat ta'siriga uchraydi. Termik kengayish va termal kuchlanishlarni
inobatga olmaslik materialning yorilishiga yoki konstruksiyaning ishdan chiqishiga olib kelishi
mumkin.
Shuning uchun termoelastiklik masalalarini aniq tahlil qilish va ularning sonli
yechimlarini topish dolzarb hisoblanadi. Ikki o'lchovli (tekis deformatsiya holati uchun)
termoelastik masalani ko'rib chiqish orqali biz issiqlik ta'siridagi deformatsiyalarni bashorat
qilish usullarini ko'rsatamiz.
Tekis deformatsiya holatidagi termoelastik masalaning matematik modeli ikkita fizik
jarayonni tavsiflovchi differensial tenglamalar sistemasidan iborat:
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
860
Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi Stasionar holatda (va ichki issiqlik manbalarisiz)
temperatura maydoni
Laplas tenglamasiga bo'ysunadi:
bu yerda
- harorat funksiyasi. Chegaraviy shartlar sifatida jismining
qirralarida haroratning berilgan qiymati (Dirixle sharti) yoki issiqlik oqimi (Neumann sharti)
belgilanishi mumkin.
Mexanik muvozanat tenglamalari
. Tekis deformatsiya holatida (z yo'nalishda
deformatsiya
deb faraz qilinadi) elastik muvozanat tenglamalari quyidagicha yoziladi:
bu yerda
komponentlari kuchlanish (stress) tensori bo'lib, ular
va
siljish (displacement) funksiyalari orqali aniqlanadi. Kichik deformatsiyalar chegarasida
nisbiy deformatsiya tenzori quyidagicha ifodalanadi:
Kuchlanish-deformatsiya bog'lanishi (Guk qonuni, termik kengayish bilan)
bu yerda: - siljish moduli, - Lamé doimiysi; u materialning Yung moduli va
Puasson koeffitsienti orqali quyidagicha aniqlanadi:
- termik kengayishdan kelib chiqadigan koeffitsient,
jismning dastlabki
haroratdan farqi, -chiziqli termik kengayish
koeffitsienti.
Natijalar
. Yuqorida bayon etilgan matematik model asosida ishlab chiqilgan dastur sinov
tarigasida kvadrat shaklidagi plastinkaning termoelastik masalasiga qo'llanildi. O'lchamlari
birlik bo'lgan plastina tekislikda tahlil qilinadi. Plastina issiqlik va elastiklik xossalariga ega:
elastiklik moduli: 500|00, Puasson koeffitsienti: 0.2, issiglik kengayish koeffitsienti:
,
Plastina uchburchak elementlarga bo'linadi va pastki chegara
, boshqa barcha
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
861
chegaralar
. Mexanik chegaraviy shartlar chap va o'ng chegaralarda
Masala issiglik tarqalishi va natijaviy termal deformatsiyalarni aniqlashga qaratilgan. Natijada
harorat taqsimoti va deformatsiyalangan shakl grafik ko'rinishda chiqadi. Plastinkaning
markaziy qismiga nisbatan yugori harorat, chetlariga esa nisbatan past harorat berildi (masalan,
markazda
, tashqi chegaralarda esa
). Chegaralarda haroratning bunday
taqsimlanishi plastinka markazida termik kengayishning katta bo'lishiga, chetlar esa sovuqroq
bo'lgani sababli kengayishning cheklanishiga olib keladi. Natijada, markaziy hududda yuqori
sigilish kuchlanishlari hosil bo'lishi kutiladi, chekkalarda esa cho'zilish kuchlanishlari paydo
bo'lishi mumkin.
Rasm 1. Plastinkadagi harorat taqsimoti va deformatsiyalangan shakl.
Xulosa.
Hisoblash natijalariga ko'ra, plastinka markazidagi tugun harorati
ga
yetgan. Shu nuqtada kuzatilgan gorizontal siljish taxminan
ni tashkil etdi.
Vertikal yo'nalishda esa sijjish sodir bo'lmagan (plastinka qalinligi yo'nalishida
deformatsiya mavjud emas), ya'ni plastinka faqat tekislikda kengaygan (tekis deformatsiya
holatida qalinlik bo'ylab sijjishlar nolga teng).
Plastinkaning chetlarida siljishlar nolga teng deb hisoblangan (chetlar mahkamlangan deb
faraz qilingan), eng katta deformatsiya esa markaziy qismda kuzatildi. Temperaturalar farqi
tufayli hosil bo'lgan maksimal ekvivalent termik kuchlanish ham markaziy mintaqada joylashgan
bo'lib, u materialning mustahkamlik chegarasidan oshmaganligi tasdiqlandi.
Olingan natijalar termoelastik nazariyaning sifat jihatidan bashoratlarini tasdiqlaydi:
erkin kengayishga to'sqinlik qilinganda, issiqlik ta'siri ostida siqilish kuchlanishlari hosil bo'ladi
va bu kuchlanishlar eng issiq (ya'ni eng katta
) hududda maksimal bo'ladi. Grafik tahlil
(Rasm 1) orqali ko'rinib turibdiki, harorat gradienti katta bo'lgan joylarda deformatsiya ham
sezilarli bo'ladi.
ISSN:
2181-3906
2025
International scientific journal
«MODERN SCIENCE АND RESEARCH»
VOLUME 4 / ISSUE 4 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ
862
Shuningdek, markaziy tugunlardagi harorat va siljish miqdorlari o'zaro bog'liq: harorat
qanchalik yuqori bo'lsa, siljish ham shunchalik katta bo'ladi.
REFERENCES
1.
Boley B.A., Weiner J.H. Theory of Thermal Stresses. – New York: John Wiley & Sons,
1960. – 586 p.
2.
Timoshenko S., Goodier J.N. Theory of Elasticity. 3rd ed. – New York: McGraw-Hill,
1970. – 567 p.
3.
Sokolnikoff I.S. Mathematical Theory of Elasticity. 2nd ed. – New York: McGraw-Hill,
1956. – 386 p.
4.
Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. 5th ed. – Oxford:
Butterworth-Heinemann, 2000. – 112 p.
5.
Bathe K.J. Finite Element Procedures. 2nd ed. - New Jersey: Prentice Hall, 2014. – 206 p.
6.
Reddy J.N. An Introduction to the Finite Element Method. 3rd ed. – New York:
McGraw-Hill, 2005. – 672 p.
7.
Reddy J.N. Energy and Variational Methods in Applied Mechanics. 2nd ed. – New York:
John Wiley & Sons, 2002. – 337 p.
