179
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 5
LOKAL ΌLSHEWLI OPERATORLAR ALGEBRASINIŃ 2-LOKAL
DIFFERENCIALLAWLARI
Otepbergenova D.
Qaraqalpaq mámleketlik universiteti 2-kurs magistrantı.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15364998
Annotaciya. Bul maqalada 2-lokal ólshewli operatorlar algebrasınıń lokal
differenciallanıwı túsinigi hám oniń tiykarģı qásiyetleri úyreniledi. Algebralıq strukturalar hám
operatorlar algebrasınıń lokal differenciallanıwı túsinigi keltirilip, oniń ózine tán qásiyetleri
talqılanadı. Nátiyjeler teoriyalıq jaqtan dálillenip, tiyisli mısallar menen bekkemlenedi.
Gilt sózler: 2-lokal ólshewli operatorlar algebrası, lokal differenciallaw, operatorlar
algebrası, algebralıq dúzilisler, differencial operatorlar.
АЛГЕБРА ЛОКАЛЬНЫХ РАЗМЕРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Аннотация. В статье изучается понятие локального дифференцирования алгебры
2-локальных измеримых операторов и его основные свойства. Изложено понятие
локального дифференцирования алгебраических структур и алгебры операторов и
проанализированы его особенности. Результаты обоснованы теоретически и
подкреплены соответствующими примерами.
Ключевые слова: алгебра 2-локальных измеримых операторов, локальное
дифференцирование, алгебра операторов, алгебраические структуры, дифференциальные
операторы
.
ALGEBRA OF LOCAL DIMENSIONAL OPERATORS
Abstract. This article studies the concept of local differentiation of 2-local measurable
operator algebras and its main properties. The concept of local differentiation of algebraic
structures and operator algebras is introduced and its specific properties are analyzed. The
results are theoretically proven and supported by relevant examples.
Keywords: 2-local measurable operator algebra, local differentiation, operator algebra,
algebraic structures, differential operators.
Bul bόlimde biz fon Neyman algebraları hám onıń subalgebralarına qarata lokal όlshewli
operatorlar algebrasında 2-lokal differenciallawlardı táriyiplew ushın 3.2.1 teoremasın
qollaymız.
[23, Juwmaq 3.11] ta dálillengen, eger associativ algebra (kolco) όz ishine
A
birlikti
alǵan
A
kommutativ bolmaǵan ápiwayı subalgebranı (subkalco) όz ishine alsa, onda hár qanday
M
–bimodulǵa
A
Jordan differenciallawı
A
differenciallawı boladı, yaǵnıy
A
(J)
qásiyetin
qanaatlantıradı. Tiykarınan, eger
0
A
2
n
ǵa izomorf bolǵan
( )
n
M
C
hám
A
birlikti όz
ishine alǵan subalgebra bar bolsa,
A
onda
A
(J)
qásiyetin qanaatlantıradı [23].
Bul bόlimniń tiykarǵı nátiyjelerinen biri tόmendegiler
3.3.1 teorema. Meyli
M
– Abel tuwrıdan-tuwrı qosındılarısız qálegen fon Neyman
algebrası hám
(
)
LS M
–
M
ǵa qarata barlıq lokal όlshewli operatorlar algebrası. Onda
(
)
LS M
nan alınǵan hár qanday
M
2-lokal differenciallawı
differenciallaw esaplanadı.
Dálilleniwi.
Meyli
z
–
M
da oraylıq proyektor. Sebebi
( ) = 0
D z
hár qanday
differenciallaw ushın, hár qanday
D
2 – lokal differenciallawı
ushın
M
kiriwi
(
)
LS M
anıq
180
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 5
( ) = 0
z
.
x
M
bolsın hám
D
– dan sonday
( ) =
( )
zx
D zx
qılıp
(
)
LS M
differenciallaw
M
,
( ) =
( )
x
D x
.
Onda mına teńlikke iye bolamız
(
) =
(
) =
( )
( ) =
( )
+
zx
D zx
D z x
zD x
z
x
. Bul hár
bir
2-lokal
differenciallawı
hár
bir
oraylıq proyektor
z
M
ushın
zM
(
)
(
)
zLS M
LS zM
bolıwın ańlatadı. Sonday etip, biz
zM
nan alınǵan
sheklewdi kόrip
shıǵıwımız múmkin. Sonday-aq Abel tuwrıdan-tuwrı qosındıları bolmaǵan ıxtıyarıy fon Neyman
algebrası tuwrıdan-tuwrı qosındıǵa ajralıwı múmkinligi sebepli
,
2
n
I
n
tip,
I
tip,
II
h
á
m
III
tiplerdi bόlek kόrip shıǵıwımız múmkin.
Eger
n
I
tipindegi
2
n
M
– fon Neyman algebrası, keyin 1.1.1 teoremadan
M
nan
alınǵan hár qanday 2-lokal differenciallawı
(
)
(
)
LS M
S M
differenciallawı ekenligi kelip
shıǵadı.
Meyli fon Neyman algebrası
M
I
,
II
yamasa
III
tiplerinen biri bolsın. Keyin lemma
1.1.1 di
I
tiptegi algebralar ushın hám lemma 1.1.2 ni
II
yaki
III
tiptegi algebralar ushın
qollasaq,
M
nan alınǵan birlik algebralar
1
2
3
, ,
e e e
όz-ara ekvivalent ortogonal proyekciyalar
qosındısı
M
sıpatında ańlatıw múmkin degen nátiyjege kelemiz. Onda bul
3
, =1
i
j
i j
x
e xe
sáwlelendiriw
M
algebrası hãm
3
( )
M
A
matricalıq algebrası arasındaǵı izomorfizmdi
belgileydi
M
, bul jerde
1,1
1,1
=
e Me
A
. Bunnan tısqarı,
(
)
LS M
algebrası
3
(
( ))
M LS
A
algebra ushın izomorf. Sonday-aq,
A
algebrası
M
algebrası menen birdey tipke iye hám sonıń
ushın
3
( )
M
C
izomorflıq subalgebrası bar. Demek,
A
algebrası
(J)
qásiyetin qanaatlantıradı.
Demak 3.2.1 teoremadan,
(
)
LS M
nan alınǵan hár qanday 2-lokal differenciallawı
M
differenciallawı ekenligi kelip shıǵadı. Teorema dálillendi.
Abel fon Neyman algebrasındaǵı hár qanday differensiallaw trivial ekenligin esapqa
alsaq, 3.3.1 teoremadan tόmendegi nátiyje kelip shıǵadı ([10, teorema 2.1] hám [9, teorema 3.1]).
N
á
tiyje 3.3.1. Meyli
M
-
ıxtıyarıy fon Neyman algebrası. Onda
h
á
r qanday 2-lokal
differenciallanıwshı
M
da differenciallanadı.
Hár bir
(
)
x
LS M
ushın
( ) = ( )
( )
s x
l x
r x
orınlı, bul jerde
( )
l x
hám
( )
r x
x
funkciyanıń oń hám shep tasıwshıları.
Lemma 3.3.1. Meyli
B
–
(
)
LS M
da subalgebra, bunda
M
B
hám
:
(
)
LS M
→
B
2-lokal differenciallawı bolsın, bunda
|
0.
M
Onda
0.
Dálilleniwi.
Dáslep
(
)
x
S M
B
ıxtıyarıy elementin alayıq. Meyli
0
| |=
x
de
–
spektral bόliniw bolsın. Solay etip
(
)
x
S M
, onda
n
e
⊥
– jeterlishe úlken
n
ushın shekli
proyektor. Sonday
,
( ) =
( )
x xe
n
x
D
x
hám
,
(
) =
(
)
n
x xe
n
n
xe
D
xe
n
N
differencialın alayıq
,
x xe
n
D
. Sebebi bul
,
n
xe
M
barlıq
n
N
ushın sonday
(
) = 0
n
xe
. Bizde
181
ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 5
,
,
( ) = ( )
(
) =
( )
(
) =
n
x xe
x xe
n
n
n
x
x
xe
D
x
D
xe
−
−
,
,
=
(
) =
(
)
⊥
−
x xe
n
x xe
n
n
n
D
x
xe
D
xe
.
Meyli
– barlıq proyektorlar
M
tarmaǵındaǵı keńeytirilgen oraylıq reshetka
(
)
P M
([44]). Lemma 1.2.1 dan paydalanıp, tόmendegige iye bolamız
,
( ( ( ))) =
( (
(
)))
3 ( (
)) = 3 ( (
)
(
))
x xe
n
n
n
n
n
s
x
s D
xe
s xe
l xe
r xe
⊥
⊥
⊥
⊥
(
)
3
(
)
3 ( (
))
6 (
)
0
n
n
n
l xe
r xe
e
⊥
⊥
⊥
+
,
hám bunnan
( ) = 0
x
.
Endi
x
B
elementin alayıq. Lokal όlshewli operatordıń anıqlamasına kόre,
M
da
{ }
n
z
sonday
n
z
1
hám
(
)
n
xz
S M
barlıq
n
N
ushın oraylıq proyeksiyalar izbe-izligi bar
( 1.1.2 anıqlamaǵa qarań ). Aldınǵı jaǵdaydı esapqa alsaq, tόmendegi teńlikti alamız
,
,
,
( ) =
( ) =
(
)
( ) =
n
n
x z x
x z x
n
x z x
n
n
n
n
z
x
z D
x
D
z x
D
z x
−
,
=
(
) = (
) = 0
x z x
n
n
n
D
z x
z x
,
yaǵnıy barlıq
n
N
ushın
( ) = 0
n
z
x
boladı. Sonıń ushın
( ) = 0
x
. Lemma
dálillendi.
3.3.2 teorema. Meyli
M
–
Abel tuwrıdan-tuwrı qosındılarsız ıxtıyarıy fon Neyman
algebrası h
á
m
B
–
(
)
LS M
da subalgebra bolsın, bunda
.
M
B
Onda
qálegen 2-lokal
differencialı
B
da differenciallanıwshı boladı.
Dálilleniwi.
3.3.1 teoremadan
2-lokal differencialdıń
|
M
shekleniwi
(
)
LS M
da
M
differenciallawı boladı. 1.2.4 teoremaǵa kόre, differencialın biz
|
M
menen
B
(
),
LS M
belgilengen
D
differensiallanıwǵa keńeytiriw múmkin. 2-lokal differenciallanıwı
M
da
D
−
nolge teń bolǵanlıǵı sebepli, 3.3.1-Lemmadan
D
kelip shıǵadı. Teorema
dálillendi.
Eskertiw 3.3.1.
Itibar beriń, 2.2.2 teoremada
atom bolmaǵan reshetkalı
(
)
P M
Abel fon
Neyman algebrası ushın
M
algebra
(
)
S M
differencial bolmaǵan 2-lokal differenciallardı
qabıl qıladı.
REFERENCES
1.
Kadison, R.V., Ringrose, J.R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.
2.
Sinclair, A.M., Smith, R.R. Hochschild Cohomology of von Neumann Algebras.
3.
Arens, R. Opera.
4.
Tional Calculus in Banach Algebras.
