ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
40
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕДУЦИРОВАННЫХ ПРОЦЕССАХ, ПОРОЖДЕННЫХ
ОТ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ, НАЧИНАЮЩИХСЯ С БОЛЬШОГО ЧИСЛА
ЧАСТИЦ
Hamroyeva M.A.
Национальный университет Узбекистана
shamroyev2025@gmail.com
https://doi.org/10.5281/zenodo.15401325
Пусть
,
0
Z k
k
-случайный
ветвящийся
процесс
Гальтона-Ватсона
начинающаяся с одной частицы, в котором число непосредственных потомков одной
частицы имеет производящую функцию
0
, 0
1.
k
k
k
f s
Es
p s
s
Пусть
1
.
A
f
Ветвящийся
процесс
,
0
Z k
k
называют
докритическим, критическим или надкритическим если
1,
1
A
A
или
1
A
соответственно.
Обозначим через
,
Z m n
число частиц в момент
m m
n
в процессе
,
0
Z k
k
, потомки которых существуют в момент
n
. Случайный процесс
,
,0
Z m n
m
n
называют
редуцированным
процессом,
порожденным
ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона
,
0
Z k
k
. Редуцированный процесс
,
,0
Z m n
m
n
называют докритическим, критическим или надкритическим,
если соответствующий ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона
,
0
Z k
k
является
таковым соответственно. Редуцированные процессы для процессов Гальтона-Ватсона
были введены Фляйшманном и Преном
1
. Фляйшманн и Зигмунд-Шульце
2
доказали функциональную предельную теорему для критических редуцированных
процессов.
Обозначим через
n
f
s n
-ю итерацию
f s
:
0
1
1
,
,...,
n
n
f
s
s f s
f s
f
s
f
f s
.
Если
2
1
1,
log
k
k
A
f
E
p k
k
, (1)
что существует конечное число
0
K
такое, что
0
1
0
0
1
n
n
n
Z n
P
f
KA
o A
Z
при
n
, (2)
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
41
а также справедлива условная предельная теорема Яглома:
существуют пределы
lim
0
1,
0
,
k
n
P Z n
k Z
Z n
b
(3)
причем
1
1
k
k
b
, а производящая функция
1
,0
1
k
k
k
g s
b s
s
удовлетворяет функциональному уравнению
1
1
,0
1
g f s
A
g s
s
. (4)
В работе
5
Жоффе и Спитцер доказали, что если
1
A
и
1
log
k
k
p k
k
, то для
любого
0
0
k
N
N
существуют пределы
lim
0
,
n
n
k
n
P Z n
k Z
cA
o A
d
c
где
0
c
фиксированное число, причем
0
0,
1
k
k
k
d c
d c
и
1
0
Kc
g s
k
k
k
d
c s
e
,
где
0
K
из соотношения (2), а функция
g s
та же, что и в (4).
Нами доказана следующая теорема.
Теорема
.Пусть для ветвящегося процесса
,
0
Z k
k
выполнены условия (1) и
с вероятностью 1
0
n
Z
n
cA
, где
0
c
фиксированное число. Тогда для
любого фиксированного
0
m
N
имеют место следующие асимптотические
соотношения:
1
,
0
m
m
cKA
g
s
Z n m n
E s
Z
n
e
при
n
,
1
,
0
,
0
1
m
m
cKA
g
s
cK
Z n m n
cK
e
e
E s
Z
n Z n
e
при
n
,
где
1
,
lim
0
1,
0
k
k
k
n
k
g s
b s
b
P Z n
k Z
Z n
,
ILM-FAN VA INNOVATSIYA
ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI
in-academy.uz/index.php/si
42
число
K
та же, что и в (6) и определяется соотношением
1
1
K
g
,
0
1
0
m
m
m
s
f
f
s
.
References:
Используемая литература:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Athreya K. B., Ney P. E. Branching Processes. Berlin, Germany: Springer-Verlag. 1972.
287p.
2.
Joffe A., Spitzer F. On multitype branching processes with
1
// Journal of Math.
Analysis and Applications.v.19(1967), 409-430.
3.
Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов.М.Мир.1966. 355с.
