THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
24
SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YECHILMAYDIGAN KLASSIK
MASALALAR
Jongishaliyev Jahongir Xusanboy o’g’li
NamDU Fizika- matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 1-bosqich talabasi
Mahmudova Dilnoza Xaytmirzayeva
Ilmiy rahbar:
https://doi.org/10.5281/zenodo.15463096
Annotatsiya:
Ushbu kurs ishida antik davrda shakllangan va zamonaviy
matematikada katta ahamiyat kasb etgan sirkul va chizgʻich yordamida
yechilmaydigan klassik masalalar tahlil qilingan. Geometriya tarixida yuzaga
kelgan asosiy uchta muammo - kubni ikki barobar oshirish, burchakni uchga
boʻlish va doira kvadraturasi muammolari haqida keng maʼlumot berilgan.
Shuningdek, bu masalalarning tarixiy rivojlanishi, yechim imkoniyatlari va
ularning imkonsizligi zamirida yotgan asosiy matematik tushunchalar, masalan,
algebraik sonlar va konstruksiya nazariyasining o‘rni tahlil etilgan. Ishda Galois
nazariyasi va u bilan bogʻliq isbotlar ham koʻrib chiqilgan
.
Kalit soʻzlar
: Geometriya, klassik masalalar, sirkul va chizgʻich, Galois
nazariyasi, algebraik sonlar, konstruksiya, kvadratura, burchak uchga boʻlish,
kubni ikki baravar qilish.
Qadimiy yunon matematiklari tomonidan boshlangan klassik geometriya
bugungi kungacha saqlanib qolgan fundamental yo‘nalishlardan biridir.
Evklidning mashhur asari -
Elementlar
(Miloddan avvalgi III asr) - geometriya
fanining asosiy poydevorini yaratdi. Bu asarda sirkul va chizg‘ich yordamida
bajariladigan geometrik konstruksiyalar orqali ko‘plab muhim natijalar
isbotlangan. Antik matematiklar fikricha, ushbu ikkita oddiy vosita yordamida
har qanday geometrik masalani yechish mumkin bo‘lgan.
Shunga qaramay, miloddan avvalgi V–IV asrlarda uchta muhim muammo
shakllandi, ular ming yillar davomida matematiklar ongini band etib keldi. Bular
quyidagilardan iborat:
Kubni ikki baravar qilish (Delian masalasi): berilgan kubning hajmini ikki
barobar oshiradigan yangi kub yasash;
Burchakni uchga bo‘lish: ixtiyoriy burchakni teng uch qismga ajratish;
Doirani kvadratlarga aylantirish (kvadraturasi): doira yuzasiga teng yuzali
kvadrat yasash.
Ushbu masalalar o‘z davrida diniy, falsafiy va ilmiy ma’noga ega bo‘lgan.
Masalan, Delian masalasi yunonlar orasida Apollo xudosi g‘azabini tinchlantirish
uchun geometrik echim topish zarurati bilan bog‘liq edi. Har bir masala
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
25
soddadek tuyulsa-da, ularning umumiy holda sirkul va chizg‘ich yordamida
yechilmasligi bugungi kungacha o‘z ilmiy qiymatini yo‘qotmagan.
Antik davrda bu muammolarga ko‘plab urinishlar qilingan. Platon, Arximed,
Hipokrat kabi buyuk allomalar ularni echishga harakat qilishgan. Lekin faqat XIX
asrga kelib, algebra va Galois nazariyasi rivojlanishi natijasida bu masalalarning
imkonsizligi qat’iy isbotlandi. Bu isbotlar sonlar nazariyasi, algebraik va
tranzendental sonlar haqidagi chuqur bilimlarga asoslangan.
Ushbu maqolada mazkur uchta masalaning har biri alohida ko‘rib chiqilib,
ularning sirkul va chizg‘ich yordamida nima sababdan umumiy holda
yechilmasligi zamonaviy matematik asoslar bilan izohlanadi. Shuningdek, bu
muammolar orqali matematikaning turli sohalari-algebra, analitik geometriya,
va sonlar nazariyasi-o‘zaro qanday bog‘lanishini ham kuzatamiz.
USLUB
Mazkur ilmiy maqolada klassik geometrik masalalarning sirkul va chizg‘ich
yordamida umumiy holda yechilmasligini asoslash uchun quyidagi matematik
yondashuvlar va metodlar qo‘llanildi.
Sirkul va chizg‘ich yordamida bajariladigan konstruksiyalar Evklid
geometriyasida quyidagi asosiy operatsiyalar orqali ifodalanadi:
Berilgan ikkita nuqtani birlashtirish (to‘g‘ri chiziq chizish),
Berilgan markaz va radius asosida aylana chizish,
Chiziq va aylana, ikki aylana yoki ikki chiziq kesishgan nuqtani
aniqlash.
Bu operatsiyalar orqali yaratiladigan nuqtalar to‘plami faqat kvadrat
ildizlar va to‘g‘ri bog‘liqliklar orqali ifodalanadigan sonlarni qamrab oladi.
Bunday konstruksiyalar natijasida hosil bo‘ladigan nuqtalar koordinatalari
kvadratik kengaytmalar orqali ifodalanadi.
Geometrik konstruksiyalarni algebraik jihatdan tahlil qilishda asosiy rolni
quyidagilar o‘ynaydi:
-Konstruksiya sonlari: sirkul va chizg‘ich yordamida qurilishi mumkin
bo‘lgan nuqtalarning koordinatalari algebraik sonlar bo‘lib, ular ketma-ket
kvadratik ildizlar orqali olinadi.
-Galois nazariyasi yordamida, bunday sonlarning daraja kengaytmalari
ustida tahlil olib boriladi. Masalan, kubni ikki barobar qilishda
√2
3
kabi kub
ildizlar paydo bo‘ladi, bu esa kvadratik kengaytmalar orqali ifodalanmaydi.
-Doirani kvadratlashda esa
𝜋
soni paydo bo‘ladi, u esa tranzendental son
bo‘lib, hech qanday algebraik tenglamaning ildizi emas.
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
26
Har bir masalaning yechilmasligi Galois nazariyasi va algebraik sonlar
nazariyasiga tayanadi. Masalan:
1.
Kubni ikki baravar qilish:
√2
3
soni kvadratik ildizlar orqali
ifodalanmaydi.
2.
Burchakni uchga bo‘lish:
cos (
𝜃
3
)
ko‘pincha uchinchi darajali
tenglamani qanoatlantiradi.
3.
Doirani kvadratlash:
𝜋
ning konstruksiya soni emasligi, uning
tranzendental ekanligi (Lindemann – 1882).
Har bir masalaga oid klassik chizma sirkul va chizg‘ich yordamida
tasvirlanadi. Shuningdek, ularning algebraik ifodalari grafigi yoki diagrammalari
orqali mantiqiy ziddiyatlar ko‘rsatiladi.
Masalan:
-Kubni ikki baravar qilish:
Agar
𝑎
3
= 𝑉
bo‘lsa, unda yangi kub uchun
𝑥
3
= 2𝑎
3
⇒ 𝑥 = 𝑎 ⋅ √2
3
bu
esa
kvadrat ildizlar orqali ifodalanmaydi.
-Doirani kvadratlash:
𝑆 = 𝜋𝑟
2
ga teng bo‘lgan kvadratning tomoni
𝑎 = √𝜋𝑟
bu esa
𝜋
ning kvadrat
ildizi orqali ifodalanishini talab qiladi.
NATIJALAR
Kubni
ikki
baravar
qilish
masalasi
quyidagicha
ifodalanadi:
Berilgan kub hajmi
𝑉 = 𝑎
3
bo‘lsa, unga hajm jihatidan teng bo‘lgan yangi kub
qurilsin:
𝑥
3
= 2𝑎
3
⇒ 𝑥 = 𝑎 ⋅ √2
3
Bu yerda
√2
3
ni sirkul va chizg‘ich yordamida qurish kerak bo‘ladi. Biroq
bu son kvadrat ildizlar ketma-ketligi orqali hosil bo‘ladigan konstruksiya sonlari
to‘plamiga kirmaydi.
Galois nazariyasiga ko‘ra:
√2
3
— uchinchi darajali tenglama ildizi bo‘lib, darajasi 3 bo‘lgan
kengaytmani talab qiladi, ya’ni kvadratik bo‘lmagan kengaytma. Shuning uchun
u sirkul va chizg‘ich yordamida qurib bo‘lmaydi.
Illyustrativ chizma:
Kubning bir tomonini chizish (masalan,
𝑎 = 1
)
2 hajmli kub qurilishi uchun zarur bo‘lgan tomon uzunligini topish
(
𝑥 = √2
3
)
Burchakni uchga bo‘lish – Trissaksiya muammosi
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
27
Ushbu masalada ixtiyoriy burchak
𝜃
ni uch teng qismga bo‘lish kerak, ya’ni
𝜃
3
ni sirkul va chizg‘ich yordamida qurish zarur.
Ammo ba’zi burchaklar uchun bu mumkin emas:
Masalan,
𝜃 = 60
0
bo‘lsa:
cos (
60
0
3
) = cos(20
0
)
qiymat uchinchi darajali algebraik tenglama ildizi
bo‘lib, u ham kvadratik konstruksiya soni bo‘la olmaydi.
Illyustrativ chizma:
Burchak
∠𝐴𝑂𝐵 = 60
0
Uni teng 3 qismga bo‘lishga urinish
cos(20
0
)
sonining qurib bo‘lmasligi
Doirani kvadratlash –
𝜋
ning tranzendental xossasi
Bu masalada, radiusi
𝑟
bo‘lgan doiraning yuzasi bilan teng yuzali kvadrat
qurish kerak:
1882-yilda Lindemann tomonidan isbot qilinganidek,
𝜋
— tranzendental
son, ya’ni u hech qanday algebraik tenglamaning ildizi emas. Shuning uchun
√𝜋
sonini sirkul va chizg‘ich yordamida qurib bo‘lmaydi.
Illyustrativ chizma:
Radiusi
𝑟
bo‘lgan doira chiziladi
Teng yuzali kvadrat qurishga urinish
Konstruktsiya nuqtalarining koordinatalari
𝜋
ga bog‘liq bo‘lganligi
sababli amalda bajarib bo‘lmaydi
MUNOZARA
Yuqoridagi masalalar, xususan burchakni uchga bo‘lish (trisektsiya),
kvadratni doiraga aylantirish va kubni ikki barobar qilish muammolari qadim
yunon matematikasida markaziy o‘rin tutgan. Bu masalalar faqat chiziq va doira
yordamida, ya’ni faqat sirkul va lineyka orqali yechilishi kerak degan cheklov
asosida ko‘rib chiqilgan. Bunday yondashuv ko‘p asrlar davomida
matematiklarni bu muammolarning yechimlarini topishga undagan, ammo
ko‘plab sinovlarga qaramay, ularning yechilmasligi faqat 19-asrda qat’iy
isbotlandi.
Bu yerda Galois nazariyasining o‘rni beqiyosdir. Fransuz matematigi
Évariste Galois algebraik tenglamalarning ildizlarini konstruksion usulda
yechilishini simmetriya va guruh nazariyasi orqali o‘rgandi. Natijada, u
ko‘rsatdiki, ba’zi geometrik muammolar tegishli algebraik tenglamalar orqali
ifodalansa-da, bu tenglamalarning ildizlari radikal orqali ifodalanmaydi. Aynan
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
28
burchakni uchga bo‘lish muammosi kublik tenglama orqali ifodalanadi, va
umumiy holda bu tenglama konstruktiv yechimga ega emas. Demak, Galois
nazariyasi asosida ushbu muammoning klassik usullar bilan yechilmasligi
qat’iyan isbotlangan.
Soddalashtirilgan chizma:
Quyidagi soddalashtirilgan chizma burchakni uchga bo‘lish muammosini
tushunishga yordam beradi:
𝐴𝐶𝐵
burchagini uch teng qismga bo‘lish uchun sirkul va lineykadan
foydalanish kerak.
Izoh:
Garchi ba’zi burchaklar (masalan,
90°, 180°
kabi) osonlik bilan uchga
bo‘linishi mumkin bo‘lsa-da, umumiy burchaklar uchun bu har doim ham
mumkin emas. Masalan,
60°
burchakni uchga bo‘lish (ya’ni
20°
hosil qilish)
klassik konstruksiya vositalari bilan amalga oshirilmaydi.
XULOSA
Ushbu klassik masalalar -doirani kvadratlash, kubni ikki baravar qilish va
burchakni uchga bo‘lish-qadimgi yunon matematikasining eng muhim
muammolaridan bo‘lib, ming yillar davomida ko‘plab olimlarni o‘ziga jalb etgan.
Bu muammolar soddaligi bilan birga, ularni faqat sirkul va lineyka
yordamida yechish sharti tufayli, chuqur matematik tahlilni talab
qilgan.
Ushbu masalalarning yechilmasligi esa faqat tajriba yoki tasavvur
orqali emas, balki qat’iy matematik isbot orqali tasdiqlangan bo‘lib, bu
isbotlar 19-asrda algebra va sonlar nazariyasidagi ulkan yutuqlar,
ayniqsa Galois nazariyasi, filds nazariyasi va algebraik darajalar
tushunchalariga tayangan. Bunday yondashuvlar nafaqat klassik
geometriyadagi muammolarni aniqlik bilan tahlil qilishga imkon
berdi, balki umumiy matematik tafakkur doirasini kengaytirdi.
Shu jihatdan, ushbu masalalar faqat tarixiy qiziqish obyekti emas, balki
matematik mantiq, chegaralar va imkoniyatlar haqida chuqur tushuncha hosil
qilishda bugungi kunda ham katta ahamiyat kasb etadi. Ular zamonaviy
matematikani o‘rganuvchilar uchun imkonsizlikni isbotlash, algebra-geometriya
bog‘liqligini anglash va nazariy asoslarni mustahkamlash kabi jarayonlarda
muhim o‘quv materiali bo‘lib xizmat qiladi.
Shuningdek, bu muammolar orqali inson tafakkurining tarixiy
rivojlanishini, matematik yondashuvlar qanday murakkablik darajasiga
yetganini kuzatish mumkin. Shu sababli, ular faqat yechilmaydigan muammolar
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES
International scientific-online conference
29
emas, balki matematik tafakkurning eng ulug‘ yutuqlaridan biri sifatida e’tirof
etiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1.
Anvarova, M., & Mahmudova, D. (2025). THE APPLICATION OF ECOND-
ORDER CURVES. В THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF
PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4, Выпуск 5, сс. 188–191). Zenodo.
https://doi.org/10.5281/zenodo.15104205
2.
Abdulhayeva, G., & Mahmudova, D. (2025). TEKISLIKDA TO'G'RI CHIZIQ
TENGLAMALARI VA ULARNI AMALIYOTGA TADBIQI. В THEORETICAL ASPECTS
IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4, Выпуск 7, сс. 35–40).
Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15167776
3.
Karimberdiyeva, D., & Mahmudova, D. (2025). TEKISLIKDAGI
PERSPEKTIV-AFFIN
MOSLIKNING
O'ZIGA
XOS
XUSUSIYATLARI.
В
DEVELOPMENT OF PEDAGOGICAL TECHNOLOGIES IN MODERN SCIENCES (Т. 4,
Выпуск 3, сс. 114–117). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15123521
4.
Abduraxmonova, R., & Mahmudova, D. (2025). NUQTADAN TO'G'RI
CHIZIQQACHA BO'LGAN MASOFA. IKKI TO'G'RI CHIZIQ ORASIDAGI BURCHAK. В
THEORETICAL ASPECTS IN THE FORMATION OF PEDAGOGICAL SCIENCES (Т. 4,
Выпуск 7, сс. 74–78). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.15186643
5.
Ismoilova D., & Mahmudova, D. (2025). KO‘P O‘LCHOVLI YEVKLID FAZOSI:
O‘QITISH TEXNOLOGIYASI ASOSIDA YONDASHUV. Innov. Conf. Published online
April 17, 2025:1-7. Accessed April 18, 2025.
6.
Mamatkadirova Zebo Tohirjon qizi, & Dilnoza Xaytmirzayevna
Maxmudova. (2025). CONSTRUCTING AN ELLIPSE USING CONJUGATE
DIAMETERS AND ITS APPLICATIONS. International Scientific and Current
Research
Conferences,
1(01),
48–55.
Retrieved
from
https://orientalpublication.com/index.php/iscrc/article/view/1840
