https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
168
VOLTERRA INTEGRAL TENGLAMALARINI TAQRIBIY
YECHISH.
Aniq fanlarni absissial va ordinatal aloqadorlikda o’quvchi kreativ
faoliyatini rivojlantirish.
Мухторов Беҳруз Қудратулла ўғли
Термез давлат муҳандислик ва агротехнологиялар университети
академик лицейи математика фани ўқитувчиси
Integral tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, agar yadro uzluksiz bo'lsa,
ikkinchi tur Volterra integral tenglamasi
𝑦(𝑥) − 𝜆 ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠) 𝑦(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechimni quyidagi shaklda qidiramiz
𝑦(𝑥) = ∑ 𝜆
𝑘
𝜑
𝑘
(𝑥)
∞
𝑘=0
Ushbu qatorni
tenglamaga qo’yib
, X ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyent--
larni tenglashtirib quyidagilarni olamiz:
𝜑
0
(𝑥) = 𝑓(𝑥)
;
𝜑
𝑘+1
(𝑥) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑
𝑘
(𝑠)𝑑𝑠
∞
𝑎
.
Agar
𝑁 = max
𝑎≤𝑥𝑏
|𝑓(𝑥)|
,
𝑀 = max
𝑅
|𝐾(𝑥, 𝑠)|
,
bo’lsa,
u holda
|
𝜑
𝑘
(𝑥)| ≤
𝑀
𝑘
(𝑏−𝑎)
𝑘
𝑁
𝑘!
.
Bundan, tenglamaning taqribiy yechimi sifatida qatorning qismiy
yig’indisini
olsak:
𝑌
𝑛
(𝑥) = ∑ 𝜆
𝑘
𝜑
𝑘
(𝑥)
𝑛
𝑖=0
u holda uning xatosini quyidagicha baholash mumkin:
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
169
|𝑦(𝑥) − 𝑌
𝑛
(𝑥)| = |∑ 𝜆
𝑘
𝜑
𝑘
(𝑥)
𝑛
𝑖=0
| ≤ ∑
|𝜆|
𝑘
𝑀
𝑘
(𝑏 − 𝑎)
𝑘
𝑁
𝑘!
∞
𝑘−𝑛+1
Qo'polroq, lekin ayni paytda oddiyroq xato bahosi quyidagi bilan belgilanadi, biz
quyidagilarni olamiz:
|𝑦(𝑥) − 𝑌
𝑛
(𝑥)| ≤
𝐿
𝑛+1
𝑁
(𝑛 + 1)!
{1 +
𝐿
𝑛 + 2
+
𝐿
3
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
+ ⋯ }
Katta qavsdagi qatorni
1 +
𝐿
𝑛 + 2
+ (
𝐿
𝑛 + 2
)
2
+ (
𝐿
𝑛 + 2
)
3
+ ⋯
bilan almashtirib quyidagi bahoni olamiz:
|𝑦(𝑥) − 𝑌
𝑛
(𝑥)| ≤
𝐿
𝑛+1
𝑁
(𝑛 + 1)!
1
1 −
𝐿
𝑛 + 2
keyin biz quyidagi taxminni olamiz:
𝜑
𝑛+1,𝑘
= ∫ 𝐾(𝑥
𝑘
, 𝑠)𝜑
𝑛
(𝑠)𝑑𝑠
𝑥
𝑘
𝑎
≈
ℎ
2
[𝐾
𝑘
0
𝜑
𝑛
0
+ 2(𝐾
𝑘
1
𝜑
𝑛
1
+ 𝐾
𝑘
2
𝜑
𝑛
2
+ ⋯ + 𝐾
𝑘,𝑘−1
𝜑
𝑛,𝑘−1
)
+ 𝐾
𝑘𝑘
𝜑
𝑛𝑘
],
yoki
𝜑̅
𝑛+1,𝑘
=
ℎ
2
[𝐾
𝑘
0
𝜑̅
𝑛
0
+ 2(𝐾
𝑘
1
𝜑̅
𝑛
1
+ 𝐾
𝑘
2
𝜑̅
𝑛
2
+ ⋯ + 𝐾
𝑘,𝑘−1
𝜑̅
𝑛,𝑘−1
) +
𝐾
𝑘𝑘
𝜑̅
𝑛𝑘
]
(𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑠)
Hisoblab chiqqach, biz integral tenglamanung yechimining taqribiy
qiymatlarini tugun nuqtalarda quyidagi formulalar bo'yicha topamiz:
𝑌
𝑛,𝑘
= ∑
𝜆
𝑖
𝜑̅
𝑖,𝑘
𝑛
𝑖=0
(𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑠)
Umumlashtirilgan Simpson formulasidan foydalanganda segmentni nuqtalar
bo'yicha teng qismlarga ajratamiz. Keyin, integralni hisoblash uchun Simpson
formulasini qo'llaymiz
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
170
𝜑
𝑛+1,2𝑘
= ∫
𝐾(𝑥
2𝑘
, 𝑠)𝜑
𝑛
(𝑠)𝑑𝑠
𝑥
2𝑘
𝑎
.
Quyidagilarga egamiz
𝜑̅
𝑛+1,2𝑘
=
ℎ
3
{𝐾
2𝑘
0
𝜑̅
𝑛
0
+ 4(𝐾
2𝑘
1
𝜑̅
𝑛
1
+ 𝐾
2𝑘
3
𝜑̅
𝑛
3
+ ⋯ + 𝐾
2𝑘,2𝑘−1
𝜑̅
𝑛,2𝑘−1
) +
2(𝐾
2𝑘
2
𝜑̅
𝑛
2
+ 𝐾
2𝑘
4
𝜑̅
𝑛
4
+ ⋯ + 𝐾
2𝑘,2𝑘−2
𝜑̅
𝑛,2𝑘−2
) + 𝐾
2𝑘,2𝑘
𝜑̅
𝑛,2𝑘
}
(𝑛 =
0, 1, 2, … ; 𝑘 = 1, 2, … , 𝑠)
Toq bo'lganlar uchun k ning qiymatlarini interpolyatsiya qilish orqali topish
kerak bo'ladi. Tenglamanung taqribiy yechimi uchun tenglamadagi integralni
qandaydir kvadratura formulasi bo'yicha chekli yig'indiga bevosita almashtirish
usulidan ham foydalanish mumkin. Masalan, umumlashtirilgan formuladan
foydalanganda
trapezoid, segmentni nuqtalar bo'yicha qismlarga bo'lib, biz quyidagilarga
ega bo'lamiz:
𝑦
𝑘
− 𝜆 ∫
≈ 𝑦
𝑘
−
ℎ𝜆
2
𝑓(𝑥
𝑘
)
𝑥
𝑘
𝑎
𝐾(𝑥
𝑘
, 𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 ≈
≈ [𝐾
𝑘
0
𝑦
0
+ 2(𝐾
𝑘
1
𝑦
1
+ 𝐾
𝑘
2
𝑦
2
+ ⋯ + 𝐾
𝑘,𝑘−1
𝑦
𝑘−1
) + 𝐾
𝑘,𝑘
𝑦
𝑘
]
yoki
𝑦
𝑘
−
ℎ𝜆
2
[𝐾
𝑘
0
𝑦
0
+ 2(𝐾
𝑘
1
𝑦
1
+ 𝐾
𝑘
2
𝑦
2
+ ⋯ + 𝐾
𝑘,𝑘−1
𝑦
𝑘−1
) + 𝐾
𝑘,𝑘
𝑦
𝑘
] − 𝑓(𝑥
𝑘
) = 0
bundan
𝑌
𝑘
=
1
1 −
𝜆ℎ
2
𝐾
𝑘𝑘
{𝑓
𝑘
+
𝜆ℎ
2
𝐾
𝑘
0
𝑦
0
+ ℎ𝜆 ∑ 𝐾
𝑘
𝑖
𝑦
𝑖
𝑘−1
𝑖=1
}
Shunday qilib, bosqichma-bosqich biz barcha qiymatlarni topamiz birinchi
turdagi Volterra integral tenglamalariga kelsak
𝜆 ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑎
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
171
keyin yadro uzluksiz differensiallanadi degan qo'shimcha faraz qilibuning
funksiyalarini ikkinchi turdagi Volterra integral tenglamasiga keltirish mumkin.
Haqiqatan ham, tenglamani differensiallashda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
𝜆𝐾(𝑥, 𝑦)𝑦(𝑥) + 𝜆 ∫ 𝐾
′
𝑥
(𝑥, 𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓′(𝑥)
𝑥
𝑎
va ikkinchi turdagi Volterra integral tenglamasining yechimi bo'ladi
𝑦(𝑥) + ∫
𝐾
′
𝑥
(𝑥, 𝑠)
𝐾(𝑥, 𝑥)
𝑥
𝑎
𝑦(𝑠)𝑑𝑠 =
1
𝜆
𝑓′(𝑥)
𝐾(𝑥, 𝑥)
Misol.
Integral tenglamaning yechimini toping
𝑦(𝑥) − ∫ 𝑒
−𝑥−𝑠
𝑦(𝑠)𝑑𝑠 =
𝑒
−𝑥
+ 𝑒
−3𝑥
2
𝑥
0
Echish:
Birinchi yo'l. Yechimni
𝑦(𝑥) ≈ 𝑌
4
(𝑥) = 𝜑
0
(𝑥) + 𝜑
1
(𝑥) + 𝜑
2
(𝑥) + 𝜑
3
(𝑥) + 𝜑
4
(𝑥)
bunda
𝜑
0
(𝑥) = 𝑓(𝑥); 𝜑
𝑘
(𝑥) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝜑
𝑘−1
(𝑠)𝑑𝑠
∞
0
ko’rinishda izlaymiz.
Integrallash natijasida biz quyidagilarni olamiz:
𝑌
4
(𝑥) =
1
3840
[3839𝑒
−𝑥
+ 5𝑒
−3𝑥
− 10𝑒
−5𝑥
− 10𝑒
−7𝑥
− 5𝑒
−9𝑥
+ 𝑒
−11𝑥
]
Bu tenglamaning aniq yechimi
𝑦(𝑥) = 𝑒
−𝑥
Taqqoslash uchun biz aniq echimning qiymatlarini va taxminiy echimini
taqdim etamiz
𝑦(0) = 1,00000, 𝑦(1) = 0,36788
𝑌
4
(0) = 1,00000, 𝑌
4
(1) = 0,36783
ЛИТЕРАТУРА
1.
Бахвалов Н.С. Численные методи. М.: “Наука”, 1975. 622
с.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
172
2.
Михлин С.Г.,Смолицский Х.Л. Приближенные методы
решения дифференциальных и интегралных уравнений. М.: Изд
-
во
“Наука”, 1965. 384 с.
3.
Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов . М.:
Изд
-
во “Наука”, 1967. 500 с.
