https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
162
МЕТОД КВАДРАТУР
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
II
РОДА
ИМЕЕТ СЛЕДУЮЩИЙ ВИД:
Мухторов Беҳруз Қудратулла ўғли
Термез давлат муҳандислик ва агротехнологиялар университети
академик лицейи математика фани ўқитувчиси
у(𝑥) − 𝜆 ∫ 𝐾(𝑥, 𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. (1)
𝑏
𝑎
Здесь
𝑦(𝑥)
неизвестная функция,
𝐾(𝑥, 𝑠)
ядро интегрального уравнения,
𝑓(𝑥)
свободный член (правая часть) интегрального уравнения. Для удобства
анализа в интелральном уравнении (1) по
традиции принято выделять
числовой параметр
𝜆
,
который называют параметром интегрального
уравнения.
На вопросы существования решения уравнения
(1) отвечает
классическая теория Фредгольма. Она применима, в частности, для
непрерывных в прямоугольнике
[𝑎, 𝑏] ∗ [𝑎, 𝑏]
ядер. Будем считать, что правая
часть уравнения (1) непрерывна на отрезке
[𝑎, 𝑏]
, а его решение будем
разыскивать в классе непрерывных на
[𝑎, 𝑏]
функций. Если однородное
уравниние
(
𝑓(𝑥) ≡ 0)
имеет только тривиальное рещение
то значение
параметра
𝜆
називается
правильным или регульярным.
Тогда у
неоднородного
уравнения при любой правой части
𝑓(𝑥)
существует
единственное решение. Всюду далее
в этой
главе будем считать это условие
выполненным.
Приложения интегральных уравнений Фредгольма второго рода весьма
разнообразны граничные задачи теории потенциала, граничные задачи для
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
163
обыкновенных дифференциальных уравнений, граничные задачи теории
упругости и т.д.
2. Описание метода.
Найдем приближенное решение уравнения
(1) методом квадратур. Построим на отреске
[𝑎, 𝑏]
сетку с узлами
𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
.
Запишем уравнение (1) в узлах сетки:
𝑦(𝑥
𝑖
) − 𝜆 ∫ 𝐾(𝑥
𝑖
, 𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑓(𝑥
𝑖
), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2)
𝑏
𝑎
Аппроксимируем интегралы в равенствах (2) конечными суммами с
помощью одной из квадратурных формул:
𝑦
𝑖
− 𝜆 ∑ 𝐴
𝑗
𝐾
𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑦
𝑖
= 𝑓
𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (3)
Здесь
𝑦
𝑖
= 𝑦̃(𝑥
𝑖
), 𝑓
𝑖
= 𝑓(𝑥
𝑖
), 𝐾
𝑖𝑗
= 𝐾(𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
), 𝑦̃
приближение к искомой
функции
𝑦, 𝐴
𝑗
веса квадратурной формулы.
Решение системы уравнений (3) дает приближенные значения искомой
функции в узлах
𝑥
𝑖
.
По ним с помощью интерполяции можно построить
приближенное решение интегрального уравнения (1) на всем отрезке
[𝑎, 𝑏]
.
Пусть
𝜆 = 1, а сетка 𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
равномерная с шагом
ℎ.
Используем
квадратурную формулу трапеций. Тогда система линейных алгебраических
уравнений (3) примет следующий вид:
𝑦
𝑖
− ℎ ∑ 𝜔
𝑗
𝐾
𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑦
𝑖
= 𝑓
𝑖
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. (4)
где
𝜔
1
= 𝜔
𝑛
=
1
2
, 𝜔
𝑗
= 1 при 𝑗 = 2,3, … , 𝑛 − 1.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
164
3. Компьютерная программа.
Напишем на язике
Matlab
функцию
Fred_II_Rest.m
, реализующую вычисления по формуле (4).
% Функция для решения уравнения Фредгольма второго
% рода методом квадратур. Используется формула
% трапеций с равноотстоящими узлами.
% входные данные:
К
-
ядро уравнения,
𝑓
–
правая
% часть ( задаются аналитически ).
а
-
начало
% отрезка интегрирования,
𝑏
-
конец отрезка,
ℎ
-
шаг
% сетки. Результат –
вектор у приближений к
% решению в излах сетки
%
Автор
:
Файрушин
Р
.
function [y] = Fred_II_Rect(
К
,f,a,b,h)
x=a:h:b;
n=size(x,2);
wt=1/2;
wj=1;
A=zeros(n);
for i=1:n
A(i,1)= -h*wt*
К
(x(i),x(1));
for j=2:n-1
A(i,j)= -h*wj*
К
(x(i),x(j));
end;
A(i,n) =-h*wt*
К
(x(i),x(n));
A(i,i)=A(i,i)+1;
end;
B=zeros(n,1);
for j=1:n
B(j,1) = f(x(j));
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
165
end;
y=A\B;
4.
Пример.
Выполним с помощью функции
Fred_II_rect.m
упражнения 3,9
,
с.162,
из книги [3] .Дано уравнение (1) с границами отрезка
интегрирования
а = −𝜋
и
𝑏 = 𝜋
,
параметром
𝜆 = 3/(10𝜋),
ядром
𝐾(х, 𝑠) =
1
0.64𝑐𝑜𝑠
2
(
𝑥 + 𝑠
2 )
− 1
и
правой частью
𝑓(𝑥) = 25 − 16𝑠𝑖𝑛
2
(𝑥).
Точное решение этого
уравнения
𝑦(𝑥) = 17/2 + (128/17)𝑐𝑜𝑠(2𝑥).
Надо найти приближенное
решение этого уравнения методом квадратур, основанным на использовании
формулы трапеций с равномерной сеткой с шагом
ℎ = 𝜋/18
,
и сравнит с
точным.
На языке
Matlab
сценарий решения этой задачи выглядит
следующим образом. Для сравнения приближенного решения с точным
используется функция
plots.m
(см.с.13).
Рис. 1.Резулбтаты решения примера 4, с.24. Непрерывной линией
обозначено точное решение, кружочками –
прибложенное решение.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
166
% Сценарий решение задачи 3.9, с.162, из книги
% Верлань А.Ф, Сизиков В.С.
<<
Интегральные уравнения …
>>
% Автор: Файрушин Р.
close
all clear
all clc
format long;
h=pi/18;
a=-pi;
b=pi;
lambda = 3/(10*pi);
K=
@(x1,s)1/(0.64*(cos((x1+s)/2))ˆ2
-1)*lambda;
f=@(x1)25-
16*(sin(x1)) ˆ2;
y_exast=@(x1)17/2+128/17*cos(2*x1);
y_approx=Fred_II_Rest(K,f,a,b,h);
Таблиса
1. Результаты решения примера 4, с. 24.
𝑥
точное решение
приближенное
решение
0.00000000000000
0.17453292519943
1.57079632679490
2.96705972839036
3.14159265358979
16.02941176470588
15.57533267415272
00.97058823529412
15.57533267415272
16.02941176470588
16.02941176470589
15.57533267415272
00.97058823529412
15.57533267415273
16.02941176470588
plots( a,b,h,y_exast,y_approx)
Результаты счета представлены в таблице 1 и на рис. 1.
https://scientific-jl.com/luch/
Часть
-47
_ Том
-1_
июнь
-2025
167
1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М. Изд
-
во <<Наука>>, 1975. 632 с.
2. Березин И.С.Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 2. М.
Государсвенное издательство физико
-
математической литературы, 1959.
620 с.
3. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы,
алгоритмы, программы. Киев: Науково думка, 1986. 544 с.
4. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М: Издво
<<
Наука
>>
, 1967. 500 с.
5. Манжиров А.В. Полянин А.Д. Справочник по интегральным
уравнениям: методы решения. М. Изд
-
во
<<
Факториал Пресс
>>
, 2000. 384 с.
